AM

mais A M= j-, et

11 a {x — ayA-r^ix — ^a) n a {x — û) -|- r*

ainsi

ag' r a — x-^-r ,

i32. — Quand l'ouverture est très petite , cette valeur se réduit à

i55. — Quand a est in^ni , ou que les rayons incidents sont parallèles , '

fg = l'aberration longitudinale =: — f g "=1 l'aberration latërale =: -^i-:-

Si les rayons tombent sur la partie convexe de la sphère | il faut supposer r négatif, ce qui ne fait que changer les signes des aberrations.

j V. — îies caustiques far réflexion , ou

catacaustiques.

D^nition des caustiques par réflexion. -«.Recherche dés coordoVinées de la caustique, dans l'hypothèse d'une divergence quelconque. — » Caustiques produites par des rayons divergents d*un ménie point. — Caustique (w rayons parallèles. — Distance entre les points^ correspondants sur la couroe et sur la caustique. — Relation générale entre les points conjugués ou les foyers de rayons réfléchis par une courbe quelconque. — Recherche de la longueur de la caustique. ->- Les caustiques sont toujours reclifiahles. — Recherche de la relation générale entre deux caustiques conjuguées et la courbe réfléchissante intermédiaii*e. — Caustique de la cycloïde j — est également une cycloïde. — Caustique d'un cercle. — Cercle de moindre aberration pour un réflecteur

j sphérique. — Cas où l'ouverture est peu considérable. — Cas où l'ouverture est très petite par rapport au rayon. — Recherche de la densité des rayons pour un point quelconque. •— Premier cas. — Deuxième cas. — Troisième cas. -—Quatrième cas. — Applications à des cas particuliers. — > Premier cas. — Deuxième cas. — Troisième cas. — Quatrième cas. — Cinquième cas. — £ clairement d'où écran qui reçoit les rayons réfléchis.

i54- — Si des rayons de lumière tombent sur un milieu ayant toute autre forme qu'une section conique dont le point rayonnant occupe le foyer, la réflexion ne les fera plus converger vers un même point ^ mais ils seront disperses suivant une loi qui dépendra de la nature de la courbe rëflëchissantc.

L'inclinaison sur Taxe variera pour chaque rayon avec le

point qni l'aura réfléchi , et elle ne sera pas la même pour deux rayons consécutifs. Chaque rayon coupera celui qui le suit immédiatement en un certain point , et le lieu de ces points d'interaection continuelle sera une courbe à laquelle tous les rayons' réfléchis seront nécessairement tangents, et qui porte le nom de caustique.

Si ces rayons tombent sur une autre courbe réfléchissante, ils seront dispersés de nouTeâu , et produiront une autre caustique en se coupant deux à deux , et ainsi de suite à l'infini.

i35. — Soient Q P, Q' P' (fig. i8 ) , deux rayons contigus tombant sur les points consécutifs P, P' , de la courbe réfléchissante P P', et P R, P' R', leurs directions après qu'ils auront été réfléchis : comme ils ne sont pas nécessairement parallèles, leur point d'intersection Y correspondra sur la caustique Y Y' Y' au point P de la courbe réfléchissante ; et si nous déterminons ainsi les points Y' Y', etc. , par les points consécutifs P' P*, etc. , leur lieu ou la courbe Y Y' Y' sera la caustique totale.

i56. — Puisque le rayon réfléchi passe par P , dont les coordonnées sont x^^^ son équation, ainsi que nous l'avons déjà vu ( art. 114)9 ^^ nécessairement de la forme '

Si nous regardons x,jr, P, comme variables, cette équation sera celle d'un rayon quelconque, et celle du rayon consécutif sera

Maintenant, puisque le point Y où les rayons se coupent leur est commun à tous deux , les coordonnées X et Y seront les mêmes en ce point pour les deux rayons , et par conséquent les dernières équations auront lieu en même temps pour cette intersection I et détermineront les valeurs de X et de Y, ou

la situation du point Y. Or la dernière de ces équations n'est autre que la première, en supposant X et Y constants, et en ajoutant à chaque variable sa différentielle. Nous avons donc à tirer les valeurs de X et de Y des deux équations

— €fj-=:(X— x) dP — Vdx,

qui donnent sur-le-«chanip

En substituant à P sa valeur

ap{x — a)— (i — p')jr z=i tane r ou ~ —^ — , . ^ — ^ ,

et en effectuant toutes les différentiations indiquées ou impL'cites pour éliminer x et j^ à l'aide des équations de la courbe et des conditions auxquelles la quantité a peut être soumise, on tombera nécessairement sur une équation entre X et Y, qui sera celle de la caustique.

Problème»

157. — Assigner la caustique quand les rayons divergent d'un point fixe pris sur l'axe ^d'une courbe réfléchissante donnée.

Dans ce cas , a est invariable , et P doit être différentié dans cette hypothèse.

On peut donc, pour plus de simplicité , poser

ou supposer l'origine des coordonnées au point rayonnant 3 alors ,

ïpy^i —p')x

équations dans lesquelles q = -r —

En portant ces valeurs dans les équations (X:) , celles - ci donnent

' i^+P") {p^—jr)—ixq {x--\-jr-)

Y 2 ., ^P ^ —^y + qj{^^ +r' )

i58. — CorolL i. Si les rayons incidents sont parallèles, c'est-à-dire si le point lumineux est à une distance infinie , nous pouvons fixer arbitrairement l'origine des coordonne'es r et puisque , dans ce cas , l'équation du rayon re'fléchi est , d'après les équations (/) et (k)^ art. 1 15 et 1 14,

Y— J- = (X — X), ;lf .1 • . . (^^,2) nous avons

d X ( I — jpa )»

\ \ A ^P 3 ^T en écrivant g ala place ae -—- ou de -r-:^'

u X CL X

Après ces substitution», nous obtenons les valeurs suivantes pour les coordonnées de la caustique :

159. — CoroU. a. Dans le cas gënëral , en posant/zz: la ligne ^y ou la distance entre un point de la courbe et le point correspondant sur Ja caustique , l'on a

qui devient , en y remplaçant X — x et Y — y par leurs valeurs trouvées plus haut ,

/=k7+lF.^^<^x, . . . . (o)

ou , en écrivant au lieu de P sa valeur, et eu effectuant le$ opérations ,