CorolL 5. Posant
dV
roo a
— :s 1 + — ^— d X * dx f
tix / • €/ ar ' dx \ ' dxj^
d'où il suit que
P est donc pour la caustique ^ par rapport aux coordonnëes X et Y, ce qu'est p pour la courbe réfléchissante , par rapport au point dont les coordonnées sont xetjr.
i44* — CoroU. 6. Dénotons par S la longueur de la causti(jue rectifiée z:z arc A H K Y,
L'on sait que
dS = l^dX- + dY- =i/X .|/^i 4- P'
=^{d X -^ d M) Kl + P'i
et à cause de
dfzzzdn . y i + p» 4- M •
yrr^'
,^ V dV
mais
M . rf P =:(P — p) tf a?:
ainsi
Ce qui devient, en mettant pour P sa valeur ,
^ p X — {i—p^)jr
intégrant des deux parts :
S = constante -|- / "h p^x» -^-T**
II suit de là que la caustique est toujours une courbe recti<it fiable ; et que sa longueur
= AKj-=:QP-j-Pj*-j- constante j
mats
arc A K F ;=: Q C -^ C F 4" constante :
il vient donc , par soustraction ,
arcFj-z=:(QC + CF)-^(QP4-PY).
Ce qui fait voir que. la caustique est nécessaîrettieut tu^e courbe rectifiable^ pourvu que la courbe réfléchissante ne soit pas elle-même transcendante.
14S. — Si les rayons PR, F R', P R^, etc. , après leur réflexion sur la courbe P P' P'^, tombent sur un autre réflec-^ teur R R' R*, et sont réfléchis dans les directions R S , R' S% R*' S*, etc. (fig. ao), leurs intersections successives produiront une nouvelle caustique Z 7J 7J' , que l'on détermine-^ ra par uneanaljse semblable, et ainsi à l'infini.
Réciproquement, quelle que'^oit la loi que suivent les rayons Q P, Q' P', etc. , chacun d'eux peut être considéré* comme la caustique d'une autre courbe réfléchissautc , et ainsi de suite.
Soit VV V* cette courbe : puisque PV Qlui est tangente, si les courbes V V V* et P P' P" étaient connues ^ le point Q^ sur l'axe ( d'où l'on peut supposer émis le rayon Q P ) serais
détermine en fonction des coordonnées de P, et la quantité' a disparaîtrait *entièreaieBl. Le problème suivant nous offre un exemple des calculs à effectuer dans cette circonstance.
Problème,
146. — Dëterrainer les relations entre deux caustiques consécutives ou conjug^^es ( si Ton peut les appeler ainsi ) , VV'V*i Y y y, et la courbe réfléchissante intermédiaire PFP»,
Soient toujours Y et Y deux points conjugués sur les caustiques, P le point réfléchissapt , et nommons
Ç et n les coordonnées de Y , X et j^ celles de P , "
X et Y celles de Y.
Puisque la ligne P Y Q est tangçute à la première çourbo en Y, noua avons évidemment
et cette équation, combinée avec celle entre >i et Ç, qui re-^ présente la courbe Y Y' Y*, suffira pour déterminer ïj et Ç en fonction de x et dejr, ou réciproquement a: et j^ en fonction . de 5 et de »|.
Ornons avons aussi, d'après Tart. 1149 équation (2),
et par conséquent
X — a zn: jr . , a ziz
Ainsi a est également exprimé en fonction de x et àej-, 014^ de \ et de t^^ Il ne s'agit plus que de substituer sa valeur dans. celle de P,
Ainsi , en posant , pour simplifier^ r =? i ( ce qui ne peut altërer le résultat),
4Y» = 4— I2X* + 12x4— 4x«, faisant la somme
De manière qu*en substituant pour oc* cette valeur dans celle de Y, l'on trouve , après réduction ,
ce qui est l'équation de la caustique.
Cette équation appartient à une épicycloïde engendrée par la révolution d'un cercle dont le rayon est le quart de celui du cercle réflecteur. La figure ai représente la caustique dans ce cas , Q P étant le rayon incident et P Y le rayon réfléchi. Elle a^un point de rebroussement en F, qui est le fi3yer principal des rayons réfléchis par la surface concave 6 G D , et un autre en F' , qui est le foyer des rayons réfléchis par la surface convexe B A D.
Dans ce dernier cas^, ce ne sont point les rayons mêmes qui touchent la caustique, mais leurs prolongements derrière la surface.
i4g, — Corolle Quand Y est très petit ou très voisin da point F, la forme de la caustique approche indéfiniment de celle de la parabole semi-cubique; car l'on a généralement
et quand la petitesse de Y permet de négliger Y' yis-à-vis deYT,
X=l + |Yf,onY.=(4y(x-iy. . M
)5o. — Nous avons vu que ce n^est que dans quelques ca» très particuliers que les rayons provenant d'un <:ertain point et réfléchis par une courbe se^ dirigent tous, en. divergeant ou en convergeant^ vers un même point. En général, ils se distribuent de la manière décrite aux art. i45 et 146, et sont tous tangents à la caustique* La densité des rayons pour un point quelconque de cette courbe est infiniment plus grande que pour l'espace qui ^environne; et pour l'espace, entre la caustique et la courbe réfléchissante P C F Y (fig. ai }, cette densité est plus grande que pour l'espace extérieur à la caus« tique Q Y F.
Cette dernière proposition est évidente , car Tespace Q Y F^ n'est éclairé que par les rayons incidents , tandis que l'autre espace l'est par tous les rayons , tant réfléchis qu'incidents.
i5i. — Cette assertion peut se démontrer d'une manière très satisfaisante par l'expérience suivante , imaginée par le docteur Brewster.
On prend une lame d'acier poli, déforme concave (fig. 22), que l'on place perpendiculairement sur une feuille de pa^ pier blanc. Si l'on expose alors cet appareil aux rayons du soleil j en tenant le plan du papier de telle façon qu'il passe près du soleil sans cependant le toucher, la caustique viendra se peindre sur le papier, et sera marquée par un trait de lumière bien tranché. La partie intérieure sera plus brillante que la partie extérieure, et la lumière s'aflfaiblira graduellement et d'une manière très rapide à partir de la caustique. Si l'on fait varier la forme de la lame, toutes les différentes espèces de cata caustiques avec leurs points singuliers, de rebroussement, d'inflexion, etc., se développeront admirable-* ment. Cette expérience est à la fois amusante et instructive.
La ligne brillante que l'on aperçoit dans un verre plein de lait, ou mieux encore d'encre, que l'on expose au soleil, nous offre précisément un exemple de la caustique du cercle, dont nous nous sommes occupés plus haut.
i52. — Si Ton fait tourner la figure i8 autour de son àke, la ^courbe réfléchissante engendrera une surface de révolu* tion j qui deviendra un miroir quand on la supposera polie à l'intérieur ou à l'extérieur, suivant que le cas l'exigera : ainsi la caustique engendrera une surface conoïdale , à laquelle tous les rayons réfléchis par le miroir devront être tangents. ^ Aucun miroir qui n'est pas formé par la révolution d'une section oonique ayant le point rayonnant à son foyer ne peut donc réunir tous les rayons réfléchis en un même point ou foyer. Cependant il y aura toujours un point qui recevra les rayons réfléchis dans un état plus dense que tout autre : c'est le point F, comine nous le verrons bîefhtôt. La déviation de chaque rayon réfléchi, par rapport à ce point, se nomme son aberration.
i55. — La concentration et la dispersion des rayons par des surfaces réfléchissantes ou réfractantes étant d'une extrême importance dans V optique pratique, il sera nécessaire de traiter ce sujet avec plus de développement. Nous commencerons par chercher jusqu'à quel point les rayons peuvent être concentrés par un réflecteur donné qui les reçoit, À cet effet, nous nous proposerons le problème suivant :
Problème.
i54'. — Trouver pour un réflecteur de figure et à! ouverture A B données le cercle de moindre aberration , c'est-àdire l'endroit où il faut placer un écran pour y recevoir tous les rayons réfléchis par une surface, dans le plus petit cercle possible , et assigner le diamètre de ce cercle.
Soient AGB (fig. 25) le miroir, Q le point rayonnant, G Y^fkg la caustique , y le foyer des rayons centraux , q le foyer des rayons extrêmes X q,B q, et prolongeons ces lignes jusqu'à ce qu'elles coupent là caustique en Y j*. Puisque tous les rayons réfléchis par la partie ACB du réflecteur sont tan-
genlsaax points de la caustique entre Ky*ft kf, il est évident qu'ils doivent toust passer par la ligne Y ^. Conservant la notation des problèmes précédents ( c'est-à-dire Q a: zz: X , X/ ziz Y ) , posons f
QL = Xo, LK=:Yo, QD=Xo, DAnzj-o,
et représentons parP©, /7oi, les valeurs de P et de^ correspondantes aux points K et A de la caustique et de la courbe réfléchissante : l'équation delà ligne A K ^ / sera alors
Y et X étant les coordonnées d'un point quelconque de cette ligne. Mais an point j-, où elle coupe l'autre branche de la caustique , ces coordonnées sont communes à la droite et à cette courbe. Pour ce point donc , l'équation précédente et celles qui expriment la nature de la caustique doivent avoir lieu simultanément^ mais ces dernières sont les équations {k\ art. i36, combinées avec l'équation de la courbe réfléchissante. Eliminant alors xr et j^ à l'aide de deux de ces équations , et déterminant les valeurs de X et de Y au moyen de celles qui restent, le problème se trouve résolu.
i55. — Maintenant la nâême équation qui donne la valeur ^ty ou X j" doit donner aussi celle de L K , parce que le point K est commun à la caustique et à la ligne A K j- aussi* bien que jr. ^
Hais d'ailleurs, puisque AK^est une tangente, le point K est doublé , et par conséquent l'équation finale en Y doit avoir nécessairement deux racines égales, outre la valeur de
Y que l'on cherche; et celles-là étant connues, le degré de l'équation s'abaissera, et Y s'obtiendra plus facilement.
La naarche que nous venons de suivre semble différer de celle que l'on emploie ordinairement, et qui consiste à regarder comme un maximi;im la valeur de Y , déterminée par l'intersection du rayon réfléchi extrême A K^, et d'un autre rayon quelconque réfléchi au point P. Mais cette différence n'est qu'apparente , car, dans la dernière méthode , nous
devons supposer Y matimum , on 4^:^0j en re^rdânt cette quantité comme déterminée par les "dent équations* coexistantes
Y— j-o = Po(X— a:o) et Y-j- = P(X — X).
Or, dans ce cas, la première de ces équations donne aussi
i/Xr:^05
et par conséquent, en différentiant la seconde, il vient
tfoù
et par conséquent
Ces équations ne sont autres que celles de Tart. i56, qui expriment les propriétés générales de la caustique : de ma* nière que cette considération de maximum ne sert qu'à ren* dre le chemin plus long pour parvenir aux mêmes équations, et ce n'est au fond qu'une méthode différente de détermi^uer la caustique.
1 56. — Appliquons ces raisonnements au cas d'un réflec*teuf sphérique. £n reprenant les équations et la notation de l'art. j4^, et désignant par a In valeur extrême àejr, ou la ^emi'Ouverture du miroir, et par b la valeur correspondante de X, celle de P sera
'i.p 12. a b '>.ab
Par \h l'équation ( m, a), art. i38, du rayon réfléchi extrême devient
d'où l'on iire
Prenant pour z une valeur telle que X zzn^ ^ ^ z étant une autre inconnue , il Tient
Ecrivant cette dernière valeur au lieu de 4 X% et «^ z^ au Jieu de Y"*, dans l'équation (t;) de la caustique, art. 148 , après avoir extrait la racine cubique et opéré les réductions, nous trouvons , pour déterminer z,
Maisi d'après la remarque que nous avons faite à l'art. i55, cette équation doit avoir deux racines égales, savoir, quand x=: & ou Y = a^, c'est-à-dire quand jzz=: i : ainsi elledoit être divisible par (z — 1 )*. Effectuant cette division, on reconnaîtra qu'elle se fait exactement, et l^on trouvera pour quotient
d'où l'on déduira les autres valeurs de z.
Comme cette analyse est rigoureuse, puisque nous n'avons rieb négligé comme très petit , la solution du problème est complète, quelle que soit l'ouverture du miroir.
187. — En la supposant assez petite par rapport au rayon, on obtiendra une valeur approchée de z, à l'aide de la série suivante fournie par l'équation (j^),
Et par suite , puisque Y = a^ z' ,
i58. — Le premier terme de cette série suffit dam la phi' part des cas qu'offre la pratique , et Ton a simplement
— a' Y=-ft-, . («)
ou, en nommant r le rayon de courbure du réflecteur,
L'aberration latérale correspondant à la demi-ouverture a
est égale à — -^^ en vertu de Tëquation (/)^ art. i55 : par
conséquent , dans le cas de petites ouvertures , le rayon du cercle de moindre aberration est égal au quart de l'aberration latérale (au foyer) de Tannean extérieur.
i59* -^ CorolL Le cercle de moindre aberration est plus
rapproché du miroir que le foyer principal , de "T^f^ ^^ ^®
■y X l'aberration longitudinale = ->.—.
i6o. — Pour compléter la théorie des caustiques, il ne reste plus qu^à examiner le degré de conceutratit>n des rayons réfléchis en un point donné.
A cet effet , soit S ( fig. 24 ) un point quelconque , et menons par ce point la droite P S Y ^ tangente à la caustique en Y. L'on peut alors regarder S comme appartenant à une surface conique engendrée par la révolution de la tangente F Y 5 9 autour de Taxe, et tous les rayons réfléchis par l'anneau engendré par la révolution de l'élément PP' seront contenus dans le solide conoïdal formé par la révolution de la û^nré PP* Y g' g autour de ce même axe. Ainsi les rayons seront concentrés : i^dans un plan parallèle à celui du papier, dans le rapport de PP' à. S S' ou de P Y à S Y j 2® dans un plan perpendiculaire à celui du papier, dans le rapport des circonférences des cercles engendrés par la révolution de P
et de S, ou de leurs rayons P M et ST. En vertu de-ces deux rapports, la concentratioo en S sera reprësentëe par
