Mais il faut maintenant distinguer plusieurs cas
1* Quand S se trouve dans les espaces K H V, N D W, et qu'ainsi l'on ne peut mener de tangente qui coupe le réflectear dans son ouverture A B : par conséquent ces espaces ne reçoivent point de rayons , et la densité =: o pour chaque point.
162. — 2^ Quand S se trouve dans les espaces A G B , VHFE , E F D W, on ne peut mener qu'une seule tangente qni coupe le réflecteur entre A et B : de manière que , pour cesespaceS) la densité est représentée simplement par
i65. — 3* Dans les espaces K G H et M G D ( fig, aS ) on pent mener deux tangentes qui passent par le point S , et qui touchent toutes deux la branche FK du même c6té de l'axe que le point S. Soient P, Y^ S^, et P, Y, S q^ ces tan^gentes : le point S recevra les rayons appartenants à ces deux Gonoides convergents, et la densité sera, par conséquent, la somme de leurs densités respectives , ou
JZ*.
164. — 4^ Dans l'espace FHGD Ton peut mener troii tangentes , q^SY^ P, , q^ S Y^ P, et q^ S Y3 P^ , tombant toutes entre A et B. Les deux premières ( fig. 26 ) touchent la branche F A: du même cote que S , et la troisième du côté opposé : celles-là appartiennent à des c6nes de rayons convergents vers q^ q^ , et la dernière à un cône convergent vers q^y mais ^intercepté par S après sa rencontre avec q^ , et divergent de nouveau.
Il suit de là que la densité, dans ce cas, aura pour expression
PY. .Py. PY. .Py. PY3.Py3
"-SY. .Sy."T"SY. .S<7.fSY,.S93-
Gomme le développement de ces fractions en fonction des coordonnées du point S nous conduirait à des calculs d'une complication excessive, nous nous contenterons de donner quelques applications relatives à des positions remarquables du point S.
i65r — Premier cas. S est sur l'axe au-delà du foyer principal ou entre le miroir et le foyer des rayons extrêmes G.
/ F F \* Ici Y coïncide avec F, ainsi que ^ , D :z= ( ^-=- ) -, ce qui
montre que la densité est en raison inverse du carré de la distance de S au foyer principal..
166. — Deuxième cas. S est sur l'axe entre le foyer principal et le foyer des rayons extrêmes G , c'est-à-dire sur la ligne G F. Ici S ^, zi: o , S ^^ = o , S ^3 = o , ce qui rend infinis les trois termes dont est composée la valeur de D : il en résulte que la densité y est infiniment plus grande qu'à la surface du réflecteur.
167. — Troisième cas. S test en F. Ici non seulement 8^ = 0, mais encore S Y : par conséquent la densité est ii^finiment plus grande que dans le cas précédent , et atteint son maximum.
)68. — Quatrième ,cas. S est sur la caustique même. Ici S Y=2 o , et par conséquent D est encore infini , c'est-à-dire qae la densité y est infiniment plus grande qu'à la surface du réflecteur 5 et plus S approche de F, plus cette densité augmente par la diminution des valeurs de S q,
169. — Cinquième cas. S est quelque part en H z D dans le cercle de moindre aberration. Au centre z et à la circonfeVence H la densité est infinie : entrç ces deux positions elle devient finie , et diminue jusqu'à ce qu'elle atteigne son minimum 5 après quoi elle recommence à croître , d'après une loi trop compliquée pour en faire ici la recherche. On observera que les relations énoncées dans ces articles ( 160- 169) sont générales , et ne sont point restreintes au cas oh. la surface réfléchissante est purement sphérique.
170. — Dans toute la discussion précédente , nous avons supposé que le poinit S recevait les rayons perpendiculairement. On doit donc entendre par la densité des rayons, non le nombre des rayons qui tombent sur une surface plane donnée, mais le nombre de ceux qui j)assent par une ouvertore circulaire infiniment petite de la voûte céleste, ou qui sont reçus en S sur un corps sphérique infiniment petit.
Cependant, lorsque l'ouverture est petite, un écran perpendiculaire à l'axe recevra les rayons partis de chaque point, sous un angle d'incidence presque droit 5 et par £on- ' séqaent les expressions précédemment obtenues représenteroot l'intensité d'éclairement pour chaque point d'une telle surface, en supposant toutefois que l'écran n'intercepte au cnn rayon incident.
Nous renvoyons le lecteur qui désirerait plus de développements, au sujet des caustiques , aux ouvrages suivants . Tschirnàus , Actes de Leipzig, 1682, et Histoire de l'Académie, tome II, page 54 , 1688; De la Hire , Traité des épicy^ cloïdes, et Aîémi de l'A Cad., y oLtl} Smilb's Optics ; Carré ^ Mém. de VAcad., 17035 J. Bernouilli Opéra omnia, vol. m,
page 464; L'H6pital , Analyse des infiniment petits; Hayes's Fluxions; Petit, Correspondance de V Ecole polxtechniqj^ l II, 555; Malus , Journal de l'Ecole pàfyi. , voL vi; Gergonne, Annales des Mathématiques, xi, p. 229; De la Rive, Dissertation sur les caustiques, etc.; Sturm , Annales des Math., XVI ; Gergoone, idem.
De la réfraction de la lumière par des milieux non
cristallises.
$ VI. — De la réfraction d^une lumière homogène par rapport à des surfaces planes.
Indice de réfraction, — Réfraction, dans le vide, d'un rayon sortant d'un milieu. —Limite de l'angle de réfraction. -^ Limite de la possibilité d'émergence d'un rayon hors d'un milieu. — Quand le rayon ne peut plus émerger , il se réfléchit. — Cette réflexion est totale.-— Expérience qui prouve la totalité de cette réflexion. — Apparences des objets eX' ternes pour un spectateur placé sous l'eau. — Explication de la forme el'iptique du soleil couchant. •— Réfraction à travers des surfaces parallèles. —Preuve expérimentale. — Réfraction à la surface commune de deux milieux en contact. — Loi de la réfraction d'un milieu à l'égard d'un autre. — Indices de réfraction absolus et relatifs. — Problème général de la réfraction , à travers un système quelconque de surfaces planes. — Premier cas : lorsque deux réfractions ont lieu dans le même plan. -—Deuxième cas : les deux réfractions se font dans un
Slan , sur les faces d'un prisme dans le vide. — Première manière de éterminer , par l'expérience , l'indice de réfraction. — Limite de l'angle réfringent d'un prisme. — Angle d'un prisme. — Cas de la mcMndre déviation. — Expression de la plus petite déviation. — Autre manière de déterminer rindice de réfraction d'un prisme par l'expérience. — Cas de la moindre déviation , après un nombre quelconque de réfractions. — Cas où les plans de première et de deuxième réfraction sont à angles droits.
171. — Quand un rayon de lumière tombe sur la surface d*un milieu transparent non cristallise' , une partie de ce rayon se réfléchit 5 une autre partie se répand dans tous les sens , et sert à rendre la surface visible : le reste entre dans le milieu et y poursuit sa route.
17a. — Dans le phënomène de la réflexton , la toi d'oà dépend la direction du rayon réfléchi est la niékne pour tons Jes milieux , c'est-à-dire que Tangle de réflexion égale toujours Pangle d'incidence; Il n'en est pas de même de la réfraction y et chaque milieu exerce une action particulière sur la lumière : les uns font dévier le rayon incident beaucdup plus que les autres.
Quelle que soit la nature du milieu dirimant , les lois suivantes s'observent toujours , et suffisent pour déterminer la direction du rayon réfracté, pourvu que l'on connaisse la sature du milieu.
175. — Première loi. Le rayon incident , là perpencficukdre à la surface, au point d'incidence, et le rayon réfracté, sont tous dans un même plan.
174» — Deuxième loi. Le rayon incident et-le rayon réfracté se trouvent des deux côtés de la perpendiculaire.
l'jSé — Troisième loi. Quelle que soit l'inclinaison du rayon incident sur la surface du milieu , le sinus de l'angle entre- le rayon incident et la perpendiculaire est, avec le sinus de l'angle entre cette droite et le rayon réfracté, dans Qtt^ rapport constant,
176. — » Ces lois ont lieu également pour des surfaces courbes : elles ont été vérifiées avec le plus grand soin., à l'aide d'expériences très délicates; et tous les phénomènes de la lumière réfractée se sont trouvés exactement conformes aux résultats de la théorie mathématique .
177. — Soient A»C B (fig. 25) la surface réfractante, VCp la perpendiculaire au point d'incidence C, SG et C^ les rayons incident et réfracté : nous aurons
sin P C S : sin ^ C f :: p : 1 ,
frétant une quantité contante i, c'est-à-dire qu'elle reste la
mètù€ pour le milieu A B , quoique ta Taltlif T«fio ftmé^ que milieu différent.
178. — Pour abréger le discours , on dii âmplaBntll sinus d'incidence et le sinus de réfraction^ an lieu du nmà] l'angle d'incidence et de l'angle de réfraction.
'79' — ^'^° ^^^^ s'assurer de la râleur numérique llli
. ^ , sinus d'incidence ... • jj
cfuantité a ou de -: î — 77 : — , pour un muiea ooiun
^ ^ sinus de réfraction "^
avant de pouvoir regarder sa loi de réfraction comme pW
faitement connue. On peut obtenir cette valeur par l'expé
rience , soit en mesurant directement l'angle de réfradioi
correspondait à un angle d'incidence donné ( car la Ttkl
de la fraction précédente restera la même, quelque foifcPli
gle d'incidence) , soit en employant des procédés plu ^bfSt
et plus précis, que nous décrirons plus tard.
Cette quantité fi s'appelle Vindice de réfraction du mfli
