Analjrse générale. Soit
c szr S G F le pfeimer angle d'îneidcttce ,
II' =! S' G P' l^angle d'incidence ft la seconde surface ,
! ::=: P C P' Tinclinaison des plans donnés.
Déttt>tons en outre par
0 =3 P S' P' = Tangle entre les plans de première et de
seconde réfraction |
^ =;^ S P P' sa: Tangl^ eptre U pUn 4e première réfr#^
ti&m ei la it^iUm principalfi dm iUm , ipjpemièrei aur&cee réfractantes ,
f ss S' P' P us V^^gle entre ie plan de seconde réfraction
4t cette mènie section principale t
p ==: PCS' == le premier angle de réfraction,
p' ^ P'GS' :sz le /second anglç de réfraction ,
D :^ SCSF s; la déviation après la seconde réfraction*
En r^ardant SS'-S^PP' comme faisant partie de la sur« face d'une sphère dont C serait le centre , nous connaissons dans le triangle spBérique S S' S^ les cÀtés S S', S' S', et Pangle S 9 S'^, ce qui suffit pour déterminer la déviation S S^. En écrivant algébriquement les conditions du problème, puisque p et p' sont les angles de réfraction correspondants aux angles d'incidence k el^cS ^ ^"^ indices de réfraction ^ et fi.' j Ton a
sm « =z f/. • sm |0,
cos a' =: cos p . cos I -|- sin |9 . sin I cos 1}/,
sin a' zr: p' . siti p\
sin «' . sLp G = sin I . sin ^p,
Sin
sin a' . sin 7 zz:: sin p . sin >p, ,,
[:osD=:cos(a — p). cos(a' — p') — 8in(« — p)sin (a' — p')cosQ.
200. — Au ipoyc» decei équations , qui sont cependanl plus compliquëçs que dans. 1^ oas de la réflexipn [art. .^9, ëq. (A) ] , nous pouvons déterminer dans toutes les circonstances la route d'un rayon après deiix réfractions 5 et, de même que pour la réflexion , il suffit de çonn^iitre cinq ^es onze quantités «, a\ p, p\ f*, fi', I, 0, y, i|», D , pour trouver les Six autres , et passer de là , si l'on veut , k une nouvelle ré*fraction. Il est inutile de faire observer qu'à l'exception de qtfelqufe^^as {>articBlier8 , la complication de- la formula la l^etiid ex^iss^ivecnent embarrassante quand on considère plus de deuX' réfractions. Maintenant le problème est résolu généralement ; mais son importance en bptique exige que nous discutions avec détail plusieurs cas particuliers.
201. -y- Premier cas. Quand on ne considère que deux surfaces planes, et que la réfraction se fait pour toutes deux dàds' un même plan , c'est-à-dire dans celui de la section principale de ces deux plans ou du prisme qu'ils renferment.
Soit -S G (fig. 28) un rayon venant du vide et tombant sur la surface réfractante A G du prisme G A D , dans le plan de sa section principale ^ menons P G perpendiculaire à cette surface , et G S' de manière à ce que
sin P'G S' : sin- F G S : ? i s fi ,
et S' G sera la direction du rayon réfracté G D.
«^ Elevons maintenant C P' peqpendiculaire à A D, et prenons l'angle P'C S% tel que
sin PC S*' : sm P'CS' : : i : p'.
uJ étant l'indice de réfraction relatif du milieu A CD par rapport au milieu À D E , S'' C sera alors parallèle ati rayon après la seconde réfraction. Tirons donc DE parallèlement à S' C , et cette droite représentera le rayon deux fois ré^ fracté.
Nommant , comme dans le cas général ,
SCP, u; S'CP, p} S'CF, a'j S'^CF, p'; etPCP', I,
noas avons
sin a = fA sin p , a' = i -}^ p , sin «^ = /x' sin p' ,
et±.B=zSCS''î=zoc — p' + ï, e = o, î> = o.
La première de ces équations donne |9, quand on connaît f* et a; la seconde donne la valeur de a' quand on a déterminé pjla. troisième doiine p\en foiiction de a' et de a', et la dernière donne la déviation D.
202. — Le signe 4e D est ambigu. Si nous regardons comme positive la déviation du raypn qui se rapproche du côté le plus épais duprisiaie, et s'écarte pair conséquent de l'arête, noDs devons prendre le signe inférieur, ou
Dans le, cas rcontraire, il faudrait prendre le signe supérieur.
Nous adopterons la première. convention , que le^ calculs subséquents nous ont fait trouver plus commode.
2o5. — Deuxième cas. Si dans le premier cas nous^ supposons que le milieu dans lequel passe le rayon émergent soit
lOO
le mime que celui qu'il a quitté pbul* etttrter dans le pi'ikaie ( le vide 9 par exemple ) ) nousayoni
Cest le cas de la rëfraction à travers un prisme ordinaire de verre ou d'une autre matière transparente : I est aloi*s Taugle réfringent du prisme , ^ son indice de rëfraction , absolu si le prisme est place dans le vide, relatif s'il est dans un autre milieu } et le système d'équations représentant la déviation et la direction du rayon réfracté devient
sin ee zz fA • sin p )
Bin p^ zs: it sm a',
204* — CorolL I . La déviation peut encore s'exprimer sous une autre forme , que nous aurons occasion d'employer plus tard. L'on a
sin ( I -{- D -f- « ) = sin p' =: fA sin a' :r: ft sin ( I -|- /> )
=3 fi ( sin jft oos I -^ cos p sin I ) ,
r. . /. IV, I .1-]
= p I sm p — a sm p I sm ^ I -J- 2 cos p . cos — . sm- 1 ^
parce que cos Mais
I =3 I — 2 jsm - 1 et sm I =2 sm-cos-.
Il sm p zs sm « I en vertu de la première des équations (c) : il résulte de là que
siki (r-|-b-f-«)=^na-|-2fitsin- .cos j f-p);
loi
d'où l'on lire fafiîlemtai la yalear de D , quand i et a sont dosnéi , et que l'on a <»lcultf p au moyen de 1 -ëquation
tin D ciz. — ' • «in «.
205. — ÇotoU. 2. Si 4e r= o , on que le rayon entre perpendiculairement dans le premier milieu, nous avons aussi p =i: o , et l'expression {d) devient simplement
sin ( I -|- 1) ) = fA un I f • • • • . ifi)
d'où
sin a -f D)
^ ■ sm I ^^
Noqs voyons aipsi que^ si pi sin I ^ i ^ ou si I , angle cLu
prisfla^, spppaj^^ m" ^ - (0 ^ogM ^m\P ou le pl^s pe-
tit angle de réflexion interne totale , la déviation devient imaginaire, et le rayon ne peut être transmis sona une telle incidence-
206. '■ — CorolL 5. L'équation (f) fournit une méthode directe de déterminer par l'expérience l'indice de réfraction d'un milieu quelconque auquel peut donner la forme d'un prisme^ il suffit de mesurer l'angle du prisme et l'angle de déviation d'un rayon qui le traverse en tombant perpendiculairement sur une de ses faces : ainsi I et D étant donnés par l'observation, ^ est connu. Cette méthode n'est cependant pas la plus avantageuse : nous en ferons bientôt cppnaître une meilleure.
