I -j- p « I = a'ott a' ==» I d: a
Le signe supérieur ne satisfait pas à la question, et donnerait
L'on prendra donc le signe inférieur^ qui donne
et remplit les conditions du problème t on en conclura que •c' .= i I , p ::i^ — i î , sin a == — f* . sîn ^ - j ,
sin p' « 4- ^ sin (^- j.
Cet cftat de choses est reprësenté par la figure 5 1, pour le cas o& fA^ I, c'est-à-dire que le prisme est plus dcn$e que le
miittii adibi«alf et par ta figure 5a « iaru|u-au eonCraire la matière du prisme estplsi rftm , c'est->à«dire quaiui ffc ^ i. Dans les deux cas, le signe négatif de « indique que le rayon ÎDcideiit 4pit %i^m}i^r.4u ç/^M ^ \^ peqiaiid^çttlaire C P, opposé ^ rarèt^ dp priante ( qomma S Ç ). {«•# éq^fillons
>(=:?«»') ^i t f- - V PCP)
et a' =* PC5' «^ + i PCF
signifient que le rayon rëfractë S* Ç D partage en deux parties égales Tangle P C P', et par conséquent que la partie C D dans le prisme fait des angles ^aùx arec les deux faces. Dans les deux cas aussi Pégalitë des angles a et p' ( en faisant abstraction de leurs signes ) montre que lei rayons incident et émergent font des angles égaux avec les mêmes faces , ce qui prouve que Ton peut indifféremment faire tomber le rayon incident sur l'une ou sur l'autre.
212, — CorvU. 5. Dans le cas actuel, la déviation totale
égale
B tm f .^ m -^ i «»2 «in- « { f* «in 5 j -^ I ^ (/)
ffM Ton tire
sm I — • I «a a . sm -.
ftiS. «-T- Carott. 6. Dans le mdme aas, I étant donné par la inàure directe ^ et D par Tebsenration de la déviation mirmsaa d'un rayon réfracté par un prisme, oii ^tientsnr^ ^«-«dianip la valeur de l'indice de râTraction ^ :
IW l«| I I ' I J '^'■1
Cette formule don se le moy«n Te plu* extct et le plut fa-
io6
cile de U^ouver l'ipdice d^ réfraction de tout iniUeM,«u4<^pili'r blé de prendre la fovme d'an pri««.
2i4* — Exemple» Un 'prisme de siilicate de plomb , composé d'un atome < de siUce et d'un atome d'oxide de plomb, a pour- angle réfringent 21*. j a'. La déviation minimum qu'il produit = 24® 4^' pour un rayon de lumière rouge homogène. Quel est l'indicç de réfraction pour ce rayon 2 ►
I == ai» la' , - = w se», D.=« 24/» 46', ^ = i2« 25? , , .
4kl]
sin 22« 59',' 9 • 59158;
sin - = sin ip° 56', . 9 . 26470,
fA = a . 125 , o . 52688.
21 5. — Troisième cas. Passons à un cas un peu plus général. Cherchons, par:exemple, la* direction finale et la déviation d'un rayon réfracté par un nombre quelconque de surfaces planes, toutes ces réfractions étant supposées avoir lieu dans un même plan , ce qui exige que les intersections des surfaces soient parallèles.
Représentons , comme ci-dessus , par I l'inclinaison de la première surface sur la secondei^'par F' celle dé- la seconde, sur la troisième, etc. : nous regarderons ces angles I, F, etc.^ comme positif^ lorsque les surfaces seront inclinées dans un. certain sens, et comme négatifs^^ lorsqu'elles le seront dans Je sens contraire. Désignant de plus par 8 , 8', 8% etc. , SC»— 0 ^ les déviations partielles du rayon à la première , seconde , troisième ...., /i™« surface, les autres- symboles restant lea mêmes , la déviation totale sera
D =.= 8 4- 8' -f .... 8C'»rO: t
MaiBtenanttioi» avons, puisque dans chaque cas 9 «z i8o» :
sin a = |x sin p , a' = p -j- 1 , ^' sin p' = sin a' , 5 = a — p , sina' = ^'8inp', a" = p'-f-lS fA^sinp* = sin a", 8'= a' — />', etc. ^ V
d'où nous tirons ( en reprësentant par n le nombre des sur*-
faces )
sm û = — . sm a ,
^^^9"==^" .sinCl'+pO»
sin>"-0 = Jj^^rr, sin [ K— ) + p(-') ] .
Et la série des valeurs de p , |d' , etc. , peut être continue'e aussi loin que l'on voudra. Ces valeurs ëtant déterminées , celles de a, a', etc., le seront également par les équations
et finalement
*a+[I+r.-f.p....-|-lC«-»)]— ^(«-0. ..
Or '
est l'inclinaison de là première surface sur la dernière , ou l'angle (A) du prisme composé résultant 'âe leur assemblage } ae manière que Ton a généralement
?.i6. — Cherchons maintenant quelle doit être rincidencc «'un rayon sûr un pareil système de surfaces, pour que la déviation totale soit un minimum.
iq8
Pui^ue rf P *» o^ ^ Qt qtie 1 , 1' , elc. , toni dot cobsUaIcs^ nous dçvons avoir
d QL -i^ d f*^»- *).
Mais
d'où
fA fin p a* tin a >
fftf sin p' •« tin ( /» -jr I ) ,
etc. ;
fk d p cos 'p ss ^ a cos oc 9
fx' </ p' cos p' =»€//» cos (/) + ^)»
pt(«-0 ^pC—O cos pC*^») « 1/ p(»-«) cos [ pC««) + IC»-«) ]. Faisant le produit de toutes ces équations ,
f* fi' .... fA^**"*) COS p cos p' .... cos p("""') — ^
«=« cos « . cos (p 4- J ) .... cos [ p(»-') -j- I^*»-') ] ,
ou simplement
/ytft'. . . ft^**"*) cos p COS p', . . COS pC*^*)» COS a cos dt'. . . cos a^"""'). (i)
Cette équation , combinée avec les relations déjà établies entre les valeurs successives de p et de «, fournit la solution du problème ; mais les équations finales auxquelles on est conduit sont d'une grande complication et de degrés très élevés. Ainsi , dans le cas de trois réflexions seulement , l'équation finale en sin p ou sin p', etc. , s'élève au seizième degré 'y et, quoique sa forme soit celle d'une équation du huitième, on ne peut cependant par aucune substitution abaisser davantage son degré. Le seul cas où elle prend une forme qui permette de la résoudre est celui de deux surfaces. L'équation (£)j que l'on peut écrire généralement de la manière suivante ,
fi* ft'' .... ftC")' (i — sin» p) (i — sin'p') .... etc. \ « ( I — ^^ sin^ p ) ( I — p.'^* sin** p' ) .... etc. , 4 '^
log
se rédoit alors, en pesàht sin^ p =* x ctsin* p' ^=^y^ ^
En la combinant avec Tëquation
fi' sin p' =^ sin (/> -|-I )^
ou
( f'' J'^" ^ — ^^^^ I )' =a 4 fi'» cos» I . xjr,
elle donne une e'quatîon finale du quatrième degrë, résoluble à la manière de celles ^u second , pour déterminer x on /. Dans le cas particulier de fi ^a' «=: i , qui est celui où le rayon émerge dans le même milieu qu'il occupait avant sa première incidence, elle donne le même résultat ^ue la méthode déjà employée pour ce cas. Quoiqu'il soit impossible de résoudre l'équation finale dans le cas général , l'équation (y) fournit sur la grandeur de la moindre déviation des données précieuses dans une foule de cas particuliers.
217. — Quatrième cas. Quand les plans de première et cle deaxième réfraction sont à angles droits , quelles sont les relations qui résultent de cette condition ?
Nous avons alors
0 xsa go* , cos G e= o , sin 0 ss I , ^ fjxi change l'équation générale [ (B) , 199 ] ifn
sin oc =s fi sin p ,
sin tJ «s ^' sin p' I
«n «' n» sin i • sin ^ ,
€(08 a' tas cos p • cos I -f- sin p • sin I . cos ^>
Après avoir changé de place et élevé au carré les termes de cette dernière équation , il vient
cos «»» — a cos «' . tos p . côs I -f- cos» p . cos' I =« sin* p . sin» I ( 1 — sin» ^ ).
IIO
sin gt!
Remplaçant sin -^ par sa valeur —. — ^ , déduite de la troisièuie équation , on obtient, après réduction ,
cos' a' . cos* p — 2 côs a' ces p . ces I -[- cos* 1 = o : cette équation , étant un carré parfait, donne simplement
cos p . cos a' = cos I {k)
Celle-ci répond à l'équation
cos a • cos ff! =c cos I ,
due à la même hypothèse, dans le cas de la réflexion (104}. En effet, ce dernier cas étant compris dans celui de la réfraction, en posant ji = — i (art. 192), nous avons alors
*.; *« =a= -1— p et cos p =* cos a.
218. -^ CoroU. i.Soienti et i* les inclinaisons sur la première et sur la deuxième surface de la partie du rayon qu'elles comprennent : Ton a
. r = 90* — p et i' = go^ — a';
ce qui donne , en vertu de l'équation (k) ,
sin i . sin i' = co« I ,
c'est-à-dire que le produit des sinus des inclinaisons du rayon entre les deux surfaces sur chacune d'elles est égal au cosinus de l'inclinaison des deux surfaces. On peut encore exprimer autrement la même relation : en' regardant le rayon comme provenant de l'intérieur du prisme , le produit des cosinus des angles d'incidence sur les deux surfaces égale le cosinus de leur inclinaison. Cette manière d'énoncer la loi • comprend le cas de la réflexion:
219, —, CoroU* .2. Nous avons aussi-, dans le cas actuel ,
sm p .= — . sm a «
i I ypt' sin' I — sin^ a
V a* — sin» a '
sm /)' =*^ ^ I v^ C — T ■.,,♦ . ,
et C08 D ^=^'' cos ( « — p ) . C08 <a' — /»' ) f'
de manière que, a étant donné, Tonpeat assignerlôùsies antres éléments. La dei%ière ëqi^^an corfetpond à celle qui donne la valeur de ^
.. cos D «=» 003 2 a • ces a a'
dans le cas de fei réflexion.
$ VII. — De la réfraction ordinaire sur des surfaces courbes ^ . des diacaul^ tiques ou caustiques par réfraction.
Recherche génërale^ des foyeA Vl'oBe «tttface de révolution donnée.
220. — La réfraction sur une surface courbe étant la même que sur le plan tangent au point d'incidence, si l'on connaît la nature de Ift surface, l'on peut, dans tous les cas^ déterminer la route d^i rayon réfracté en combinant les lois de la réfraction à l'égard des plans avec les équations de la surface. Nous ne traiterons que le cas d'une surface de révolution ayant le point llmikieux sunson a^e.
221. — Etant donné le point lumineux sur l'axe d'une surface réfractante'," on demande où doit se trouver le foyer <l'un anneau quelconque de la surface.
Soit C P la coUrl>e (fSg. 55) , Q le point rtyotmant , Qq'H Taxe, P M une ordonnée, P N une normale et 1^ 9 ou ^ P la direction du rayon réfracté, et par consi^quent ç le foyer de l'anneau décrit par ta révolution de P.
Désignant alors par fx l'indice de réfraction, prenant Q pour l'origine déà coordonnées ,' et |)Qsant
nous aroAS
Éîa QPM mé^ co9i^9H^^,
sin NPM-^y-, '^; J . côsNPM^fcfajy V -.
Donc
sin NPQ ^ sin QPM . cos NPM-f sin NPM . cos QPM
et par conséquent
sin N P^ -. i ;. «n WP Q « — "^.te^.
Si l'on prend
Z = Kfi' r» ( i +;È^ J — (i -p>^)' ,
cos NPtf «=» , V — ==. ... (a)
Et puUque
MP^-i'NP^-^NPM,
l'on a
ctco»MP7= ^TTTT+T)""'
ii5
d'où
Or
M ^ =:= F M . tang M Pqr =^ . tang M P ^
"" Z—pix + pjr)
donc
Q (jr = X -j"^ • **°g M P ç
222. -— CoroU. I. Si nous appelons s Tare CP de* la courbe, nous aurons, puisque
rdr =^ X dX'-^jrdjr=^dx (3^-\-pj')^
^25. — CorolL 2. Si ^ = — i , ce qui change la réfraction en re'flexion , l'on a
Z = [/i^ (I -^-p') — {X +pj-y ==j"^px,/
€n écrivant, au lieu de r", sa valeur x^ +^'-
La valeur géne'rale de Q ^ trouvée plus haut se réduit
alors à
^ ^ %px — j- ( I — p^)
<îu» est la même que. celle de l'art. 109, équat. (i).
ii4
224* — CoroU» 5. Si nous posons P = tang M ^P = cotang M P ^ = j;j2^-i^^ ,
il viendra
et l'ëquation du rayon réfracte, eipriinée en fonction des coordonnées X et Y, comptëes à partir de l'origine Q , sera
parce que les coordonnées Y sont dans le sens oppose' à celles de la courbe.
aaS. — Dans le cas de rayons parallèles , ces expressions deviennent ( en mettant x -^ a à la place de j:^ et faisant a infini )
J VIII. — Des caustiques par réfraction^ oc=
diacaustîqties.
Pour des rayons parallèles , la courbe est une section conique. -—
Caustique d'un plan réfractant.
226. — La théorie des diacaustiques est en tout poin^ analogue à celle des catacaustiques que nous avons dëjà ex^
posée. Pour trouver les coordonnées X et Y du point de Ja diacaustique correspondant au point P sur la courbe réfractante, nous n'avons qu'à regarder l'équation {f) , et sa différentielle par rapport h. Xfj- et p, comme subsistant simultanément , et nous obtiendrons ainsi en fonction de x et de j-, de même que dans le cas de la réflexion, les équations nécessaires pour déterminer X et Y. Ces équations sont
Il n'y a de différence que dans les signes et dans la valeur de P, qui, au lieu de la formule (c), art. iio, est exprimée ici par la fonction plus compliquée {é) , art. 224*
L'écpiAtion de la diac<a«i$tique s'obtiendra également en élimii^ant X et Y en^tre ces dernières équations.
