Il est évident d'ailleurs q-ue, si nous faisons
comme dans la théorie àes catacaustiques , et si nous dénotons par S la longueur de la caustique, et paryia ligne P^-, nous aurons , de même que dans cette théorie ,
et
do = d f -À- d X . , y ■ r=rr.
•^ ^ Kl + P'
(Voyez lésait. iSg, i45, 144.)
Maintenait nous avons , en substituant à P .<^a va-
ïeur (e) , , . .
l^-rXi+p^)
ii6 et par consécpent la valear de ^S devient
parce que
{x -^pjr) dx ^ r dr.
Intégrant ensuite
S = const + fA — î
ainsi nous trouvons finalement ( fig. 54 )
arcFj^ = (CF — Pj-)4.^(QC- QP). . (/)
228. — Dans le cas de la réflexion , ^ = -^ 1 • mais , en même temps, le signe dey*est négatif, parce qu'alors le rayon réfléchi se trouve du même c6té du point d'incidence que le rayon incident : ainsi deux termes de la formule changent de signe à la fois, et cette expression devient celle de l'art. 144.
229. — Dans le cas de rayons parallèles, nous devons faire usage de la valeur de P trouvée à l'art. 225 , équations (g). Posant
. Le
^ -- d x' et efiectuant les opérations , on trouve alors
• • {rn)
25o. — Corollaire. En supposant p = 00 , c'est-à-dire le pouvoir réfringent infini, le rayon réfracté coïncidera avec la normale , et la caustique avec la développée : il est évident que les expressions (m) , quand |x = 00 9 deviennent
identiques avec les valeurs connues des coordonnées de la
développée.
25 1. Si les rayo];is incidents sur la courbe réfractante ne vont pas en divergeant d'un même point y mais qu'ils soient tous tangents à une courbe V V V'' (fig. 55) , nous devrons poser X — a pour x dans la valeur de P [éq. (e) , art. 224 ] » et fixer l'origine des coordonnées en A en faisant AQ =a. Si nous regardons alors a comme variant suivant une cer> taine loi ( ou x — a comme une fonction de j? ) , et que nous prenions la différentielle de P dans cette hypothèse, les équations (i) continueront à subsister, çt suffiront pour déterminer la caustique.
Problème.^
25a. — Etant donnés le point rayonnant et Pindice de réfraction , déterminer la nature de la surface courbe qui réfracterait tous les rayons en un même point.
Il faut ici chercher la relation entre x ^tjr, en supposant Qf invariable. Soit Q^ = c .* nous aurons
équation dans laquelle
Z=Kf.» {x-^j-) {iJ^p-) — {x-{'pyY.
Celle-ci donne
(^+^J*) C/'C^ — ^) — J*] == Z(a7 -c + ;>j-); carrant des deux parts, après avoir remplacez par sa valeur,
^""^Pyr [ [/^(^~c) — J-? + (:«: — c+pj-)' j ^ effectuant dans le premier membre les opérations in-
ii8
di<{aëe9, l'équation devient entièremelit dirisible par i -^-/^'y et se réduit à
qui devient, en y écrivant au lieu de/7 sa valeur -^^ , multipliant par dx^^^l extrayant la racine carrée ,
x,dx'\-j'dj {x — c ) dx -f-^ dj-
intégrant ensuite ( chaque membre étant une différentielle exacte)
K^' +jr' =T ^ + f* J/(a: — cy -^ jr^y . {n)
équation de Ja courbe cherchée , qui est en général du quatrième degré.
255. — CorolL i. Du point Q'Cfig* 56) comme centre^ avec un rayon Q A pris arbitrairement , décrivons un cercle A B D E : soit C P la courbe réfractante , et Q A = A , nous aurons
Q P = y'^' + y , P ^ = K^:r ~ cy +j'%
et la nature de la courbe sera exprimée par la propriété suivante :
B P = p . P ^ , ou B P : P ^ : : p : I .
254. — CorolL 2. Si ^ = o , c'est-à-dire si le cercle ABE est infiniment petit , l'on a
ce qui est une propriété du cercle bien connue. L'équation (n) donne alors simplement
>»9 Si nous changeons dans celle-ci l'origine des coordonnées, en substituant à x
elle se transformera en
Le rayon dn cercle est donc égal k
et la distance du centre au point lumineux est
Supposons maintenant un cercle HPC, dont le centre soit en E ( fig. 57), et deux points Q , ^, tels que
QE = ftXEC,etQC:C^::^: i.
Si les rayons divergent alors du point Q ) et tombent sur la surface P H au-delà du centre , ils iront tous diverger du point ^ après leur réfraction par le milieu M.
235. — CorolL 3. Si ^ == — i , après l'évanouissement des radicaux , l'équation (/i) entre x etj- ne monte qu'au second degré, et appartient par conséquent à une section conique : on trouvera alors, après réduction ,
ÇC qui fait voir que le point rayonnant Q occupe l'un des foyers, et q l'autre } résultat semblable k celui que nousayioos déjà obtenu par une autre méthode d'intégration.
256. — CorolL 4- — Quand Q est infiniment éloigné , et *iue les rayons sont parallèles , il faut transporter l'origine
des coordonnëes du point Q au point q, en ckangeant or ^^ c — x^ et supposer ensuite c infini : il vient d'abord
Développant le premier membre en série descendante ,
Soit c — 6 = A ; puisque ^ est arbitraire , A l'est également, et peut avoir une valeur infinie. Ainsi, lorsque c, croissant de plus en plus , devient infini , l'équation précédente prend la forme
A — X = fi \/^ X* + y^ (o)
Soit C P une section conique , q son foyer , A B sa directrice ,
Q P est A — a:, en supposant qK='h, et l'équation (o) exprime , comme on le voit , cette propriété des sections coniques, que Q P : P ^ dans un rapport constant (|x : i ).
257. — ÇorolL 5. La courbe est une ellipse quand Q P ^ P ^ , c'est-à-dire quand le rayon passe d'un milieu plus rare dans un milieu plus dense } et une hyperbole dans le cas contraire.
Si Q P = P ^ , la courbe est une parabole : dans ce cas , a == I , et les rayons convergent vers un foyer infiniment éloigné, c'est-à-dire demeurent parallèles.
2.58. — Pour donner un exemple, de la recherche d'une diacaustique au moyen des équations générales exposées plus haut, prenons un plan pour surface réfractante, et supposons l'origine des coordonnées au point rayonnant , et l'axe des X perpendiculaire au plan réfractant ACB (fig. 39 et 40 } : nous aurons alors
d Y j:== constante == QC = a, p =^ -~- =00^
d'où
Par la substitution de ces valeurs dans les équations (1) , l'on trouve
(.' a= ( a — X) = [ (fL» — I ) ^' 4- ft' a' ]
éliDiiiiant^ entre ces deux équations :
équation de la caustique et de la développée d'une section conique dont le centre est C et le foyer Q.
Si ^surpasse l'unit^ ou si la réfraction se fait en passant d'an milieu plus dense dans un milieu plus rare , la section conique est une ellipse ( Vôy. fig. 59 }; et une hyperbole dans le cas contraire ( fig. 40 )•
§ IX. — Foyers des rayofis centraux pour des
surfaces sphériques.
Définition de la courbure. — Proximité. —Distance focale. — Longueur focale. — Pouvoir. — Expressions générales de la distance focale d'un anneau quelconque d'une surface sphcrique. — Foyer des rayons centraux. — Foyer des rayons parallèles. — Équation fondamentale pour déterminer les foyers des rayons centraux. — Expression générale duix)uvoir d'une surface sphérique. — Formules fondamentales pour les foyers des rayon? centraux dans le cas de la réflexion. — Recherche
pour les rayons centraux ; cette hypothèse fera du point F le foyer principal , et il viendra
C F = -JEii- , ou C E : C F : : Lt — I : Li CE : EF :: fi — i : i , et CF : FE :: ;x : i
247- — Nous donnerons à ces résultats une forme plus appropriée à l'usage que nous devons en faire dans la suite ^ en adoptant une autre notation.
Soient donc
R = - = la courbure de la surface , les valeurs positive»
de r et de R correspondant au cas où le centre £ se trouve à droite du sommet C, ou dans la direction des rayons incidents ;
D = YTT* ^ ^6* 4^ ) = la proximité du foyer des rayons incidents par rapport à la surface / D étant regardé comme positif quand Q se trouve à la droite de C, comme dans la fîg. 42 , et commis négatif quand il est à sa gauche , comme dans la fîg. 4 1 • Alors , puisque Q E = a , et que ; dans l'analyse précédente , a est regardé comme positif lorsque Q est à gauche du point E, nous devons avoir (fîg. 42)^
QE = — û,etQC = QE + EC = r — a-
de manière que
Soient
aussi m =
F == ^=r« = le pouvoir de la surface ^
f = p — = la proximité du foyer des rayons réfractés par
rapport à la surface.
Les valeurs positives de F et àef, ainsi que de D et de R , sont relatives à la situation des points F,y^ Q, £, par rapportà la droite de C ou à la direction de la lumière ificidente : ce qui revient à regarder toutes les donnëes comme positives dans le cas où les rayons incidents convergent en tombant sur MifitsmîdLce convexe , et passent dans un milieu plus dense. Nous aurons alors
Mais réqnation {b) donne
etnoas trouverons, en substituant,
/= (i ni)R-f-mD {e)
Cette équation comprend toute la théorie des foyers des rayons centraux pour des surfaces sphériques , et peut être regardée comme fondamentale.
248. — Quand les rayons sont parallèles , on a D = o , loit que les rayons tombent de gauche à droite ou de droite à gauche : dans les deux cas , y* a la même valeur, c'est-à-dire ( I — TO ) R , ainsi que la principale distance focale F donnée par Féquation
F = ( I — m) Rj ....(/)
ce qui fait voir, en outre, que le pouvoir d'une surface sphérique est en raison directe de sa courbure.
