Le premier est celui de la réflexion

.Soit avant d'atteindre la surface , soit au moment de 1 cidence, soit après avoir pénétré à une certaine profond dans le milieu , le rayon est rejeté à l'extérieur par les foi répulsives , et poursuit toute sa route hors du milieu. Si 1 décompose Tinlégrale en ses éléments primitifs au moD'

5îi5

oà le rayon approche de la surface, ceux->ci peaTent être té^ présentés par

etc. +Y' X -^<r + Y*' X - ^J^ + Y^' X - ^r+ftc-

Mais quand la particule sMIoigne, les vaUurs de^ augmen-' tent de nouveau par les mêmes degrés qu'elles avaient décru aiiparayan^ et deviennent identiques aVecies valeurs précé^ dentés. Lea quantités Y', Y% etc. , qui sont les valeurs de *¥ correspondantes aux valeurs successives de j-, re8teM;<^|ltti* conséquent les rnêmes, tant pour la forme que poijr la si;an* <ieur absolue, et les éléments de l'intégrale due a r?loignement de la particule sont ..^^ , ^. ^

elc. + Y'X + dj-'^Y" X + dy^Y''' X +<r + etc. :

de manière que cette intégrale d^rpit.exaotement laifiée- Dai^e* ce qui d-Qone- . :: :ï:r.l' >ni

/Y djr=Or

. nu î

quand on pre94 Tiotégrale entre les deax extrëinitëv dé'1^

trajectoire. . , 'ih ^,^) oi

^ous avons donc , dans le cas de la réflexion ,

v» — y> = o , ou V''=.v. . ". ■''"'

S3o. — Le second cas est celui où toute la route du rayoïi,^

*F^ l'incideiice, se fait dans ie milieu, c'est-à-dire le cas delà

'^fraction, ■ ■ ■ »• ■>>•

Ici les valeurs dejr avant l'incidence sont toutes positives,

^^ toutes négatives après ^ de plus, le changement de signe

dj", qui caractérise la réflexion , n'a plus lieu dans le cas

*^luel : ainsiyr dj- doit s'étendre depuis -j- ôD jusqu^è'— ' db ,

^^ 8a valeur ne s'évanouira point^ mais ( en ayant .égard an

^froissement rapide de la fonction Y ) elle aura une valeur

*^^€ , qui ne pourra dépendre que des quantités arbitraires

«^i entrent dans la composition de Y ( ou , en d'autres ter-

^, de la nature du milieu et du rayon) , et aucunement de»

constantes qui dëterminent la direction da rayon par rapport à la surface, telles que son inclinaison ou la position du. plan* d'incidence.

Nous pouvons donc supposer

k étant une constante, indépendante de la direction da rayon et relative i sa nature et i celle du milieu. Noos auroi^s ainsi

en posant

55 !• — Nous voyons par \k que, dans la réfiraction comme dans la réflexion , la vitesse du rayon dévié est la mtme dans cette h}fpothèse, quelle que soit la. route du rayon avaal l'incidence ; c'est-à-dire qu'elle est dans un rapport constaot avec la vitesse initiale , ce rapport étant celui d'égalité dans le cas de la réflexion.

552. — Considérons maintenant la direction du rayon infléchi. Faisons, à cet effet, G =: l'angle entre sa route et la perpendiculaire à la surface dans un instant quelconque, et

sin ô =^-;t^ j et écrivant ds pour \/^d x^ 4- dy , élément de l'arc. En intégrant l'équation

nous trouvons d'abord

-z — = constante = c, et d x zn c d t,

d'où

sm 0 z=

Mais X := — : par conséquent sin 0 =: -• Soient donc Bo

et Oi les valeurs initiale et finale de 9 , c'est-à-dire les angles d'incidence et de réflexion ou de réfraction des éléments rectilignes du rayon , et Ton aura

sin Oe = V7 et sin e, = •=-.

En divisant ces deux équations l'une par l'autre ,

sin B. V' sin B.'^V—^'

Ce qui signifie que les sinus d'incidence et de réfraction ou de réflexion sont dans un rapport constant , c'est-à-dire en raison inverse des vitesses du rayon avant et après l'inciiencei

SS5. — Cette analyse nous fait voir que l'hypothèse de Newton satisfait aux conditions fondamentales de la réfraction et de la réflexion , sans considérer la nature ou le mode d'action des forces qui produisent ces, phénomènes. Il peut y ^voir autant d'attractions et de répulsions alternatives que l'oa Youdra^^le rayon peut éprouver un nombre quelcon- 71e d'ondulations avant de quitter le milieu.

Hlle ne suppose que le décroissement rapide de la fonc- ^^ Y, qui exprime la force totale avant que la distance ait ^Ueîiit une grandeur sensible.

^^4. — Il résulte aussi de ce qui précède que, Y et Y' étant ^ vitesses avant et après l'incidence > et ft l'incidence de , '^fraction,

V' : Y :: pi : i;

^^ <lQi montre que. la vitesse du rayon croît en passant d'un I ^lieu plus r^re dans un milieu plus dense , et vice versa.

— D'ailleurs,

nous avons

kz=

\yj

Si nous supposons maintenant que Xa forme ie la fond Y soit la même pour tous les milieux , et que ces milieux diffèrent en pouvoir réfringent qu'en raison i* de leur d site, qui fait qu'un nombre plus ou moins grand de molëci passent dans la spliëre d'activité , 2® de l'affinité ou inten d'action de chaque molécule , la fonction Y pourra être présentée par S . n . f (j-) j S étant la pesanteur spécifi ou densité du milieu , n son pouvoir réfringent intrinsèq et ^ (^) une fonction absolument indépendante de la oal du milieu ) et la même pour tous les corps : de là

/(-. Y djr)z=iS . n ./—? (r) dj- = S. n X constao

parce que / — ^ (y) djr, étaat prise depuis jfzsi'^fo jusi j- = — QO , aura maintenant une valeur numérique c stantc.

D'après cette remarque , <

ix' - ■ ^ yi ■'

s ^ 2 . constant^*''

Si l'on regarde yL comme l'iadice de réfraction d'un < tain rayon venant du vide (que l'on aura pris pour terni< copaparaison , et dont la vitesse Y' dans le vide est supp connue et par conséquent invariable) , n, pouvoir réfrini intrinsèque du milieu , sera proportionnel à

( l'indice de réfraction )' — j

la pesanteur spécifique.

C'est ainsi que Newton considère le pouvoir réfringent i milieu comme différant de son indice de réfraction. C distinction ne repose cependant que sur une pure hypol

se, c'e8t*«-dire que la loi qui règle la force réfringente conserve la même expression pour tous les milieux ^ ce que nous ignorons complètement.

On trouvera à la fin de ce traité un tableau des pouvoirs réfringents de plusieurs milieux.

556. — L'invariabilité du rapport des sinus d'incidence et de réfraction a été démontrée ici par l'intégration directe des éqaations fondamentales.. Il est cependant une autre méthode de parvenir à cette loi importante, plus longue, il est vrai, dans le cas très simple que nous venons de traiter, mais qui offre plusieurs' avantages quand on l'applique aux phétomènes de la double réfraction : c'est pourquoi nous ^ dé?«lopperon6 ici, afin que le lecteur 9oit familiarisé d'avan- <% ATec le principe sur lequel elle se fonde, et avec la manière de l'eiKiployer. Cette méthode dépend de ce qu'on appelle ' ^ dynannque le principe de moindre action, en vertu du- ^«'la Mmime de tous les éléments de la trajectoire décrite f^vune «aplécttle en monvément , multipliés respectivement I P*f la vitesse de cette molécule ( oxifv ds ) , est un mini-' "■«m entre deux points fixes de cette trajectoire. ,

La courbe décrite par une molécule lumineuse peut être <^OQsic[^|.^e comme formée de deux lignes droites, ou de deux wanches d'hyperbole qui se confondent avec leurs asymptotes, I ^d'onepartif curviligne renfermée dans un espace infiniment f^ ipe Von peut regarder comme un point physique. C'est ^^poûi/MCilement que le rayon s'infléchit et que la vitesse ^▼ariablej sur les deux branches elle est uniforme.

Soient maintenant A et B deux points fixes sur ces bran* ^es, quQ p^n regardera comme les points de départ et d'ar- 'ivée du rayon j nommons C le point de la surface où se fait "'«^flexion , et posons

^lent encore o' la portion curviligne infiniment petite de ^^^t^ du rayon au point G , k la vitesse variable qui a servi

i la décrire , V et V les vitesses analogues pour S et '9. Xégrale/vds pourra se décomposer en trois parties :

/\ dS+/9da+/Y' dS\

La seconde est sensiblement nulle , i cause de la peti infinie de a-. Quant aux deux autres , Y et Y' étant stantes , elles deviennent simplement Y • S -|- Y' .S'.

La position de C par rapport à A sera déterminée pas ri condition

Y . S -f- V' . S' tu minimum ,

A et ^ étant supposés fixes, tandis que C est un point encore inconnu de la surface. D'ailleurs , comme nous l'avons démontré aux art. 629 et 550, la vitesse Y de la lumière avani l'incidence et Y' après l'incidence sont toutes deux indépendantes de la direction du rayon incident et du rayon réfl^* chi ou réfracté , et de la position du point C On doit les te garder comme des constantes dans ce problème de minimufl^ qui se réduit ainsi à une question de pure géométrie :

Étant donnés A et B , trouver sur un plan déterminé ^ point G , tel que

Y (= constante) X AC+ V' (= constante ) X BC

soit un minimum. La solution de ce problème est bien fac Soient a, b, c, a', h', c'> les coordonnées de A et àe X, y, o , celles de C 9 en prenant le plan donné pour * des xjr ; alors

Y . S+ Y' . S' = Y . i/^(x-'ay + {j- — br +

+ Y' . K(^ — a'Y + ir— ^'r -+

doit être un minimum, en faisant varier scpardiiient. ce qui donne , par la différentiation ,

^ [{a-x)dx+(b-j) dj-]+|| [ {a'-x)dx+(b'-jr) <

Cette éqaation devant te vërifier pour des valeurs qnelonques de dx et de dj', puisque les variables a: et ^ sont idépendantes l'une de l'autre, on doit avoir sëparëment

r yr V V

r(a— ap)-fgj(a»— a:)=oj §-(é--jr)+g7(&'— ^) = o. (d)

Ces équations donnent respectivement

'où

In effectuant les multiplications et réductions,

* — ^ . aV — ha'

jznx . A

fit par conséquent

Cette équation signifie que les deux parties S ,et S' du rayon, avant et après son incidence sur la surface au point C, se trouvent dans un même plan perpei^diculalre à la surface, c'est-à-dire au plan des xjr.

558. — Maintenant reprenons les équations (d), en leur donnant la forme

S'(a-x)==^'s(a'-x) ; S'{b-j')=z~Sl]b'-y) j il viendra, en faisant la somme de leurs carrés,

Nommant 9 l'angle entre la partie S et la perpendiculaire

à la surface, c'est-i-dire Pangle d*kneidence du fâyoïi, 0* l'angle entre S' et cette même perpendiculaire, c'est-à-dxi l'angle de réfraction , nous aurons

siuO=: 5"^ =^— , et smô'=— — ^7 *^—

ce qui réduit l'équation précédente à

sin 0 =: 77 . sin 6' :

résultat identique avec celui que nous avions obtenu par l'autre méthode.

559. — Dans la question que nous venons de traiter^ le principe de moindre action nous a dispensé d'intégrer' les équations différentielles du mouvement de la molécule lumineuse. Son applicabilité dépend, comme nous l'avons VQ) de la relation entre V et V, vitesses de la lumière avant et après l'incidence , que nous avons supposées connues. Cette relation a été conclue ici a priori; mais, en la regardant simplement comme un fait, comme un résultat de l'expérience, elle n'en était pas moins applicable à la question , et l'on pouvait en déduire également les lois de la réfraction et àe la réflexion. Il y aurait eu cependant cette différence essentielle, que, dans ce dernier cas, l'on n'aurait pas dû avoir recours aux équations différentielles, ni entrer par conséqueï^^ dans la considération de la nature ou du mode d'action des forces agissant sur la molécule lumineuse. Indépendant d< toute hypothèse particulière sur les forces qui produise^ l'inflexion du rayon lumineux, si ce n'est que ces forces soi^ des fonctions de leur distance à leur origine ou centr^ le principe de moindre action établit une relation analytiq^ entre les vitesses avant et après l'incidence, et les direction des trajectoires. Cette relation , presque aussi générale q"^ les lois mêmes de la dynamique , n'exprime au fond que

coadîftîoii UBÎqae rapportée plus haut. Sa forme nous permet d'assigner les rouies des deux parties du rayon , pourvu que Ton oonnaisse le rapport des vitesses , et réciproquement « sans recourir aux équations différentielles. La simplicitéde ces équations , dans le cas précédent 9 a pu faire regarder remploi du principe dont il s'agit comme une recherche superfliie; mais il n'en est plus de même dans la théorie de la double réfraction. Dans ce cas, on ne connaît ni l'intensité des forces ni leurs directions ; et , bien loin de pouvoir intégrer les équations du mouvement , on ne peut même les exprimer analytiqucment. Le principe de moindre action est la seule base sur laquelle on puisse s'appuyer. C'est par son secours, et par une analyse aussi ingénieuse qu'élégante, que Laplace est parvenu à soumettre au calcul les lois compliquées de la double réfraction.

540. — Supposons, en effet, que les vitesses des deux par* tits du rayon, au lieu d'être les mêmes dans toutes les directions^ varient avec les positions de ces parties pbr rapport à la surface du milieu ou à quelques lignes fixes pu axes dans l'espace : alors Y et V, au lieu de rester invariables , seront '«présentées par des fonctions des trois coordonnées du oiat G , rectangulaires comme x, jr, z, ou polaires comme 0 et 7 , et les parties S et S' du rayon intercepté entre A ,

et la surface C , seront pareillement des fonctions de ces

ordonnées. De manière que la condition

V S + V S' = minimum

nera par la différentiation , et en posant la différentielle e à Eéro , une équation de la forme

L </y4-MrfO-{-NflÎ7=:o, it l'espèce des coordonnées. L'équation de la surface,

ëtant aussi diffërentiëe, fournit une relation da même f^etk. et ces conditions étant les seules auxquelles les diffërentieJ d X, dy, dZf soient soumises , on pourra en éliminer uni et égaler séparément & zéro les 'coefficients des deux antn Nous obtiendrons ainsi , entre les coordonnée» , deux éqiu tions qui suffiront pour les déterminer t en y joignant celi de la surface^ ce qui fîxerala position du point C, où le rayo A G doit rencontrer la surface , et se diriger vers B après soi inflexion par le milieu. Le problème de la réflexion ou del réfraction sera donc résolu dans tonte sa généralité dès qa l'on connaîtra la nature des fonctions Y et Y'.

541* — Considérons un peu plus en détail ce qui arrive ai rayon près de la surface du milieu. Nous pouvons supposa qu'en cet endroit le milieu se compose d'une série de huno ou couches infiniment minces, ou les forces attractives et répulsives des molécules du milieu dominent aitemativement. Le nombre de ces couches peut être indéfini, et chacune peiil être considérée comme extérieure à celles qui la suivent* C'est leur assemblage que l'on peut regarder comme la 5urface du milieu.

Soit A a ( fig. 119) un rayon qui se dirige vers cette surface : sa route sera rectiligne jusqu'en a , où il commence à éprouver l'action du milieu. Si la première couche dans laquelle il entre est une couche attractive ^ sa route s'infléchira comme ah , exk prenant la forme d'ao^ courbe concave du côté de la surface C , et sa vitesse croîtra dans la direction perpendiculaire à la surface. Arrivé en hi la force devenant répulsive, la trajectoire aura en h un point d'inflexion , et la partie h c dans cette couche aura sa convexité tournée vers la surface^ la vitesse dans le sens delà perpendiculaire diminuera pendant ce trajet; et ainsi desoite pour un nombre quelconque de couches.

Supposons maintenant qu'en traversant une lame repol' sive comme C , la répulsion soit assez forte, ou la vitesse q^^ portait le rayon vers la surface, assez faible, pour que cett^

vitesse soit totalement anéantie : le rayon se mouyra alors , pour un moment , dans une direction parallèle à la surface en C; mais la répulsion continuant toujours, il sera forcé de retourner; et les forces étant toutes égales à ce qu'elles étaient auparavant, mais agissant en sens contraire par rapport au mouvement de la molécule , celle-ci décrira la bran* che C ^ c' V a' B égale à la première , de l'autre côté de C. Tel est le cas de la réflexion. Mais en supposant , comme dans la figure 1 20 , que le rayouait une vitesse initiale assez grande, ou que les forces répulsives soient assez faibles, par rapport à celles d'attraction , pour qu'il puisse traverser les couches et entrer dans la région où les forces qui sollicitent les molécules sont en équilibre, avant que sa vitesse dans le sens perpendiculaire à la surface soit détruite , sa route sera rectiligne et toute dans le milieu : c'est le cas de la réfraction, Dans les deux cas nous ne connaissons que la route qu'il prend en dernier lieu , c'est-à-dire la direction des branches ^^ptotiques «' B ou e B. Le nombre des ondulations qu'il prouve entre a et a! ou e nous est tout-à-fait inconnu.

54^. — Le même raisonnement peut s'appliquer au mou^^ renient d'une molécule lumineuse près de la surface de deux oulieux comme près de la surface qui sépare un milieu du vide. Si l'on suppose les molécules matérielles uniformément dis^ ^f^^ifuées, ejt agissant également dans toutes les directions aU" ^^^à!eUôS, la résultante de toutes leurs forces, par rapport à ^ molécule lumineuse, doit être perpendiculaire à la surface ^^mane : c'est aussi la condition qu'exige la théorie précé- *inte.

S45. — Dans la doctrine corpusculaire , le rayon lumi- ^Xe$t regardé comme une série continue de molécules qui ^c meuvent toutes eu ligne droite avec la même vitesse, et qui ^^1 assez rapprochées pour tenir la rétine dans un état d'ex- ^^tion constante, c'est-à-dire pour que l'impression produite P^ la première ne soit pas effacée avant l'arrivée de la se-

coude. L'expérience nous apprend que , poUr produire sensation continue , il yiffit de répéter un éclat de Ion huit ou. dix fois par seconde. Si l'on fait tourner un c bon ardent de manière à décrire un cercle , et que la ri de rotation surpasse huit ou dix circonférenees par seco l'œil ne pourra plus distinguer la place du charbon à ch; instant, et l'on verra un cercle entier d'un éclat uni me : ce qui prouve à l'évidence que la sensation proc par la lumière qui tombe sur un point de la rétine reste,] que sans s'affaiblir, jusqu'à ce que l'impression se répète une nouvelle révolution du luminaire.

Mainieilant, si l'on peut obtenir une vision non interr pue par des impressions instantanées , à des intervalles i grands qu'un dixième de seconde , l'on conçoit aisén qu'il n'est pas nécessaire que toutes les molécules d'an rs se suivent à intervalles égaux pour que nos organes ëpr vent une sensation continue de lumière. Gomme la vil de la lumière est d'environ 200,000 milles par seconde, de CCS molécules par seconde frapperaient constamment tre rétine , quand même elles se trouveraient séparées 1' de l'autre par des intervalles de 1,000 milles.

Cette observation lève toute difficulté à l'égard de la n larité de leur mouvement dans l'espace, et explique en 'me temps comment une infinité de rayons peuvent se crc sans confusion en un même point, surtout si l'on consic l'excessive ténuité qu'il faut leur supposer pour qu'ils n'of sent point nos organes, malgré leur extrême vitesse.

Si une molécule de lumière pesait un seul grain , son < serait égal à celui d'un boulet de canon de plus de 1 5o liv animé d'une vitesse de 1,000 pieds par seconde. Quelle donc être cette ténuité si des milliards de molécules renc trées par des lentilles ou des miroirs n'ont jamais pa c( rauniquer le moindre mouvement aux appareils les plas licats, imaginés exprès pour ces expériences? ( Voye«, < les TranSi philos, de 1792, vol. LXXXII, page 87, lèse: riences de M. Bennet. )

S44* — Quand un rayon de lumière tombe lur une surface réfractante on réflëcnissantc, puisque ses molécules se meuvent toutes avec la même vitesse et dans la même direction , il parait que toutes doivent éprouver les mêmes e£Pet§ ^ ^iSf À Is première est réfléchie) il en sera de même des au« très, et que, si au contraire l'une d'elles pénètre dans le roilien, elles doivent y pénétrer toutes.

Cependant l'expérience nous prouve le contraire } et, chaque fois qu'un rayon tombe sur la surface extérieyre d'un oûbea , qne partie seulement est réfractée et l'autre est ré* fléchie. Aucune théorie ne peut être regardée comme satis- &ittinte si elle ne rend compte d'un fait si important. La doctrine de Newton l'explique par les accès de facile ré» &xioa et de facile transmission. Pour s'en rendre compte , il &ut aroir recours à la neuvième demande (art. 526), et sup« poser qoe deux molécules arrivent en même temps k la sur^ bce sous la même incidence , l'une dans un accès de facile r^iion et l'autre dans un accès de facile transmission. La piVBiière sera alors sous l'influence des forces répulsives dB >iuliea, tandis que la seconde cédera aux forces attractives t il est donc évident qu'avec des circonstances égales, sous le nême angle d'incidence, etc. , l'une sera réfléchie et l'autre '«ractée.

" Celte di£Eérence tiendra uniquement à la nature du miliev, ^ à la vitesse initiale de la ii\plécule au moment où elle en- ^daas le milieu ^'vitesse proportionnelle au cosinus de l*angle d'incidence.

Si le concours de toutes les force;3 répulsives, agissant avec l^r plus grande énergie , est nécessaire pour détruire cette ^tesse et produite la réflexion , il n'y aura que les molécules V^^e trouveront dans la disposUion la plus Jayontble , ou ^^^ phase la plus intense d'accès de facile réflexion , qui '^'^nit -réfléchies. Dans le cas où il sufGit d'une partie des for^ ^ rtfpnkîves, les molécules qui arriveront dans des disposi«* ^'^ moins favorables ou dans des phases moins intenses ^^^uteat auasi être réfléchies ; et même , si les forces répnl-

sives du milieu sont très intenses , ou si l'obliquité est « grande {K>ur que la vitesse dans le sens perpendiculaire i surface soit très petite, les molécules qui arriveront dans phases d'accès de facile transmission les moins énergiq n'auront jamais la force nécessaire pour traverser les c ches répulsives.

545. — Nous voyons par là que le nombre plus on m< grand des molécules lumineuses qui seront réfléchies i surface d'un milieu, dans une phase d'accès quelconque, pendra de la nature de ce milieu. Si le rayon tombe su surface commune de deux milieux , ce nombre dépendre la nature de tous les deux; il variera aussi avec Tai d'incidence. Pour de grandes obliquités , la réflexion i considérable ) cependant, même sous l'obliquité la plus gi de, quand le rayon incident ne fait qu'eflleurer la surfa on ne doit pas en conclure que chaque molécule, ou mém pins grande partie , doit être réfléchie. Dans leurs phases plus favorables d'accès de facile transmission , les moléci obéiront aux forces attractives plutôt qu'aux forces repu yes} mais c'est la nature seule du milieu qui fera préva les unes ou les autres. Suivant la doctrine de Newton , accès disposentles molécules à la réflexion ou à la transe sion , exaltent les forces qui tendent à produire l'une , et priment celles qui agissent en faveur de l'autre; mais ils déterminent jamais la réflexion ou la transmission sanf concours de circonstances favorables.