PAT

z = dl? 7 —c? + Différentiant cette équation :

27 dy (=rprdr=s.2r.ar, à cause de p = Z )

cz =d( + =) =aszdztrds—cd(- £ ):

ce qui donne

ou

Il est évident que l’on peut satisfaire à cette équation de deux manières : la première en posant le facteur

c° C à CI EE a): 12?

d’où résulte simplement x+ py =c, en remettant à la

œ2 0 OUT

eh NS Dr Il She re

ee

place de z sa valeur 27. Eliminant p entre cette équation et

l'équation primitive (a), on trouve, après réduction,

Ce résultat n’est cependant qu’une solution singulière de l'équation différentielle; ce qui provient de la marche que

nous avons suivie pour l'obtenir : comme la valeur de y que

l’on en déduit est toujours imaginaire , elle ne peut remplir

les conditions du problème.

La seconde manière de satisfaire à l’équation (b) est de poser dz — 0, ou z = constante.

Représentons cette constante par — À : alors, puisque

== 22, nous aurons RER NIN RER EEN sh xdx

Cette équation ; étant intégrée, donne

a étant une autre constante : c’est l’équation générale des sections coniques ; et il est clair, d’après les propriétés de ces courbes , qu’elles satisfont aux conditions exigées. En effet, deux lignes tirées de leurs foyers à un point quelconque de la courbe forment toujours des angles égaux avecla tangente en

ce point, et par conséquent un rayon convergent ou divergent provenu de l’un des foyers, et réfléchi par la courbe, se dirige nécessairement vers l’autre foyer; mais l’analyse précédente, étant directe, fait voir que les sections coniques possèdent cette propriété à l’exclusion de toutes les autres

courbes.

118. — Ainsi, dans le cas de l’ellipse, tous les rayons (fig. 12) S P, SP, etc., divergents du foyer S, convergeront

après leur réflexion vers l’autre foyer H, la surface intérieure de l’ellipse:étant polie : aù contraire, tons les rayons Q PP, QP', qui convergeaient du pointS;! iront, après leur réflexion ; en divergeant vers lepoint H.

129. — Dans l’hyperbole (fig. 15), les rayons QP,Q'P, etc., convergents vers le foyer S, et tombant sur la partie convexe et polie de la courbe ; iront, après leur réflexion, converger vers l’autre foyer H; s’ils divergeaient du points, et qu'ils fussent réfléchis sur la surface polie et concave P P!, ils divergeraient également du point H.

120. — Dans le cas de la parabole , les rayons parallèles à l'axe, et tombant sur la surface intérieure ou concave de la courbe , seront tous réfléchis vers le foyer S (fig. 14); s'ils étaient réfléchis par la surface extérieure ou convexe, ils divergeraient tous de ce même foyer.

121. — Les rayons convergents ou divergents, par rapport au centre d’une sphère , divergeront ou convergeront vers ce même centre, après leur réflexion. 2e :

Essayons d'appliquer notre formule générale (6)[art:109]

à quelques cas particuliers.

Problème.

122. — Supposons que la surface réfléchissante soit un plan, ou que la courbe P C dégénère en ligne droite, et cherchons le foyer des'rayons réfléchis.

Nous avons par hypothèse

= constante = the === SAP ,

et la formule générale devient simplement

Aïnsi le foyer des rayons réfléchis est un point de l’autre côté du plan réflecteur, et qui s’en trouve:à une distance égale:à celle du point lumineux à cemême plan.

Comme ce résultat est indépendant de la valeur de y ou de la position du point P, nous voyons que tous les rayons réfléchis divergeront de ce point (fig. 15).

Problème.

125. — Assigner le foyer d’un anneau d’un réflecteur sphérique.

Soit z le rayon de la sphère : si l’on prend pour origine des coordonnées le point lumineux même, l’équation du cercle générateur sera

P=(x a) +, qui donne par la différentiation (x —a)dr +ydy =; et par conséquent dy T—a 2Y°— 7

Pr pet 1—p —= =

En portant ces valeurs dans l'équation générale (b) , Von trouve pour distance focale Q 2a[r+a(x—a)] Sn) (a) Telle est dans tous les cas l'expression de la distance du foyer des rayons réfléchis au point rayonnant. En optique, cependant, il est plus avantageux de connaitre la distance au centre ou à la surface.

La distance au centre E g (fig. 16) est

2a(axz—a +r)

Re NE pre

IR re ON %

. an

Les valeurs positives de E ge trouventà la droite du point E, c’est-à-dire qu'elles sont de même signe que les valeurs de x ou de Q q.

, Coroll. 1. Pour déterminer le foyer d’un anneau sphérique infiniment étroit, contigu au sommet Cou C! de la surface sphérique réfléchissante, ou, comme on l'appelle en optique, le foyerides rayons centraux, nous devons poser pour le point C (lorsque la réflexion se fait sur la partie concave),

z—=a+kr, et pour le point C'; quand les rayons sont réfléchis par la partie convexe, Ta —Tr.

La première hypothèse donne

__n(abr)

ra :

lrrarpn pren eu

h:5; 4 La seconde donne le même résultat, en changeant simplement r en —r.

124. — Soient F et F! les milieux des rayons CEet CF, et g et g' les foyers des rayons réfléchis en C et en C', nous aurons

7 CASE Le (2)

d’où l’on tire a PLIS DA DV D OT STE PE EE (e) analogie d’une grande utilité.

Nous avons pareïllement QP:PE::EP:Fq; de manière que la même analogie peut s’appliquer aux deux

cas, et peut être considérée comme servant de fondement à

la théorie des foyers des rayons centraux. Il'est évident , en

effet, que, si PC était toute autre courbe qu’un cercle, la même propriété subsisterait encore en prenant pour E le centre de courbure au sommet.

125. — Coroll. 2. Si a était infini, ou si les rayons incidents devenaient parallèlés, nous aurions F9 —0; ce qui nous apprend que, dans ce cas, le foyer des rayons parallèles centraux partage le rayon en deux parties égales. On distingue ce foyer en l'appelant foyer principal du réflecteur.

126. — Définition. Q et q sont dits foyers conjugués. Il est évident que, si g devenait le point rayonnant, Q serait son foyer ; car les rayons suivraïent le même chemin , quoiqu’en

sens inverse.

127. — Coroll. 3. En n’ayant égard qu’aux rayons centraux , les foyers conjugués s’écartent ou se rapprochent par mouvement contraire ; ils coïncident au centre de la surface du réflecteur. En effet, tandis que a varie depuis Æ « jusqu’à — © ,Fg subit les variations suivantes :

- ei RSS z 32 Tant que a variera depuis jusqu’à — 5 F g sera positif,

et croîtra depuis o jusqu’à w ; c’est-à-dire que, Q s’avançant vers l'infini, FE g passe par C!. Si le mouvement du point Q continue, F q devient négatif, parce que alors a est néga-

tif et plus grand que et F g diminue à mesure que a devient plus grand : ainsi g se rapproche du point E par un

mouvement contraire à celui de Q ; et quand Q est à üne di-

stance infinie, g est de nouveau en E.

= r ‘ Quand Q arriveenE,a—=o, Fq—-, ou q est aussi

en E.

: r Quand QarriveenC,a=—r,Fq—=—=, ou qg est

aussi en C.

198.— Ilrésulte de la valeur de E:4, équation (à), qu’un réflecteur sphérique A°CB (fig. 17), dont la corde {ou louverture, comme on dit en optique) est AB, fait converger ou diverger le rayon réfléchi par l’anneau extérieur À; vers un point g, autre que le foyer des rayons centraux.

Soit f ce dernier foyer, nous aurons

SPAUNar __.(a+r)r er es 2ar?

; ar er

F4 ae tr satr

129. — Cette quantité f q s’appelle l’aberration longitudinale du réflecteur sphérique. Si les rayons tombent sur la partie convexe, il suflira de remplacer Æ r par — r.

Exprimer approximativement l’aberration longitudinale d’un réflecteur sphérique dont l’ouverture est très petite par rapport à la distance focale.

.7 dénotant la demi-ouverture, et x — a étant égal à

DR ya FA frrer— 2r

(en négligeant y# et les puissances supérieures de y ), 1l vient

£ l'ab t ar ar *, g = laberration = ————> — — 2 art Res Ne TERRES =