En posant Cf = f, nous âvons
rar) ES 2a+ r?
et par conséquent nous pouvons éliminer. la distance & du point rayonnant, et exprimer l’aberration en fonction de l'ouverture du rayon de courbure et de la distance du foyer des rayons centraux au, sommet, G :, en, effet, l’on tire de la dernière équation
shssni(r ef}
TT 2f—r ? Æ et; cette valeur” LL Féportée dans l'équation (f), on trouve ?
(ra EF. (demi-ouverture »
l’aberration = = pa LÉ (rayon })*
151. —"Pôur éxprimer l’abenration latérale ou la quantité dont le rayon réfléchi, g gs’écarte-de l’axe au foyer des rayons centraux , ou la valeur de f (fig. 17), nous avons
AM, fe g=fq : Mg:
mais AM—/y, et
ar
M9=EM"Eg7=x—a— 3a{x —a)+r
24a(t— a) #+r(rr2ae).
2a(x—a)+r ainsi a—z+r I ereeenes k fs ne mme cons Ge 152.:-+ Quand l’ouverture’est très petite, cette valeur se réduit: à
fE—Z
7 (ra) (rE2a) (2)
155. — Quand a est infini, ou que les rayons incidents sont parallèles ,
fq = Vaberration longitudinale = f g = Vaberration latérale — 7
Si les rayons tombent sur la partie convexe de la sphère,
il faut supposer r négatif, ce qui ne fait que changer les signes des aberrations. .
$ V. — Des caustiques par réflexion ; ou catacaustiques.
Définition des caustiques par réflexion. — Recherche des coordonnées dé la caustique, dans l’hypothèse d’une divergence quelconque. — Caustiques produites par des rayons divergents d'un même point. — Caus- $ tique de rayons parallèies. — Distance entre les points correspondants sur la courbe et sur la caustique. — Relation générale entre les points conjugués ou les foyers de rayons réfléchis par une courbe quelconque. — Recherche de la longueur de la caustique. — Les caustiques sont toujours rectifiables. — Recherche de la relation générale entre deux caustiques, conjuguées et la. courbe réfléchissante intermédiaire, — Caustique de là cycloïde ; — est égalément une cyeloïde. — Caustique d’un cercle. — Cercle de moindre aberration pour un réflecteur sphérique. — Cas où l'ouverture est peu considérable. — Cas où l'ouverture est très petite par rapport au rayon. — Recherché de la den sité des rayons pour un point quelconque. — Premier cas. — Deuxitme cas. — Troisième cas. — Quatrième cas. — Applications à des cas particuliers. — Premier cas. — Deuxième cas. — ‘Troisième cas. —
Quatrième cas. — Cinquième cas. — Eclairement d’un écran quirecoit les rayons réfléchis.
134. — Si des rayons de lumière tombent sur un milieu ayant toute autre forme qu’une section conique dont le point rayonnant occupe le foyer, la réflexion ne les fera plus converger vers un même point; mais ils seront dispersés suivant une loi qui dépendra de la nature de la courbe réfléchissante.
L’inclinaison sur l’axe variera pour chaque rayon avec le
point qui l'aura réfléchi , et elle ne sera pas'la même pour deux rayons consécutifs. Chaque rayon coupera celui qui le suit immédiatement en un certaim point, et le Zeu de ces points d’intersection continuelle sera une courbe à laquelle tous les rayons réfléchisiseront nécessairement tangents, et qui porte le nom de caustique. À
Si ces rayons tombent sur une autre courbe réfléchissante, ils ‘seront dispersés de nouveau , et produiront une autre caustiqué® en se coupant deux à deux, et ainsi de suite à
l'infini.
155. — Soient Q/P, Q' P' (fig. 18), deux rayons contigus tombant sur les points consécutifs P, P', de la courbe réfléchissante PP’, et PR, P'R', leurs directions après qu’ils auront été réfléchis : comme ils ne sont pas nécessairement pa- | rallèles, leur point d’intersection Y correspondra sur la caustique Y Y'!Y” au point P de la courbe réfléchissante ; et si nous déterminons ainsi les points Y’ Y”, etc., par les points consécutifs P/ P’, etc., leur lieu ou la courbe Y Y’ Y” sera la caustique totale.
156. — Puisque le rayon réfléchi passe par P , dont les coordonnéessontzx,y,son équation, ainsi que nous l’avons déjà vu (art. 114), est nécessairement. de la forme
Y—yr=P(X— x).
Sinous regardons +, y, P, comme variables, cette équation sera celle d’un rayon quelconque, et celle du rayon con-
sécutif sera Y—(r+dr)=(P+dP)[X—(x+ax)].
Maintenant, puisque le pomt Ÿ où les rayons se coupent leur est commun à tous deux, les coordonnées X et Y seront les mêmes en ce point pour les deux raÿons, et par conséquent les dernières équations auront lieu en même temps pour cette intersection, et détermineront les valeurs de X et de Y, ou
la situation dû point Y. Or la dernière de ces équations n’est autre que la première, en‘supposant X et Y constants, et en ajoutant à chaque variable sa différentielle. Nous avons donc à tirer les valeurs de X'et de Y dés deux équations Y—r=P(X— x), — dy=(X=x)dP—Pdax,
qui.donnent sur-le-champ — . p CS À p (k)
Yep Par
En substituant à P sa valeur
2p(r—a)—(1—p")y Gp (ae) E2pr
et en effectuant toutes les différentiations indiquées ou 1m-
! = tang 0} ou
plicites pour éliminer x et y à l’aide des équations dela courbe et des conditions auxquelles la quantité a peut être/soumise, on tombera nécessairement sur une équation entre X et Y, quisera celle de la caustique.
Problème:
157. — Assigner la caustique quand les rayons divergent d’un point fixe pris sur l’axe d’une courbe réfléchissante donnée. :
Dans ce cas, a est imvariable, et P doit êtré différentié dans cette hypothèse:
On peut donc, pour plus de simplicité, poser
dE 10),
ou supposer l’origine des coordonnés au point raÿonniant # alors ,
ER STRES (SP 2pJ HG —p)zx dE (rage CRC RAA 3 AA SETE) a = (PP). C2prÆti—p)z] :
équations dans lesquelles q — er
Da Cr EP CPR) Pop +0 =p)z
En portant ces valeurs dans les équations (4), celles - ci
donnent.
DR ee PP qe (tee Je) ee CÉPPEON CPE ÉD RACE) tm) (72
RE +or(æ 3°)
Es — Coroll. 1. Si les rayons incidents sont parallèles, c'est-à-dire si le point lumineux est à une distance infinie, nous pouvons fixer arbitrairement l’origine des coordonnées ;
et puisque, dans ce cas, l’équation du rayon réfléchi est
’après les équations (i) et (k), art. 115 et 114,
2 2.p Y=r= Re) CN (e772,221)
nous avons
1—:p°? P Ip?
dr (LEP dP2qU +) d æ en écrivant q à la place &Tr ou de 7 LE
Après ces substitutions, nous obtenons les valeurs suivan-
tes pour les coordonnées de la caustique :
X=z+h£=p), Y=r + LU)
159. — Coroll. 2. Dans le cas général, en posant f— la ligne Py ou la distance entre un point de la courbe et le point correspondant sur la caustique, l’on a
SEK: EC 7), qui devient, en y remplaçant X — x et Y — y par leurs valeurs trouvées plus haut,
SET. Par, Se ere LC)
ou , en écrivant au lieu de P sa valeur, et en effectuant les opérations ,
ja te PE PER re . ;(P) CREED ETAGE 2)
