RAD M

l’on a ; d X d M RL à) ds dM dP d M\.

Rte PME ee = A ee

d’où il suit que dY LT

P est donc pour la: caustique, par rapport aux coordonnées X et Y, ce qu'est p pour la courbe réfléchissante , par

rapport au point dont les coordonnées sont x et y.

144. — Loroll. 6, Dénotons par S la longueur de la caustique rectihée — arc À H K Y.

L'on sait que

IS Axa = ax MALE =(dr +dM)ÿ/1 EP;

et à cause de |

} HR PapP dfRdM ITR EM DER PapP

Re ati SU OMS rat 2 mais M.dP—=(P—p) dx:

ainsi pie

2S=af+ar VTT Pr LS

= ares esp nn TE

Ce qui devient, en mettant pour P sa valeur, 2Pr—iGi—-p)Yr D DINAN pa AT PAIE PTE

de af+ de Et hr FER LH RE = af HAVE

intégrant des deux parts :

S — constante EL f Hf/x3 Lys

Il suit de là que la caustique est toujours une courbe recufiable , et que sa longueur

=AkKyzQP+Piy+ constante;

mais

ar AKF=QC+C EF —+ constante :

il vient donc, par soustraction, acFr=(QC+CF)—(QP+PY)

Ce qui fait voir que la caustique est nécessairement ‘une courbe rectifiable, pourvu que la courbe réfléchissante ne soit pas elle-même transcendante.

145. — Si les rayons PR, P/R!, P’R",etc., après leur réflexion sur la courbe P P! P#, tombent sur un autre réflecteur R R' R?, et sont réfléchis dans les directions R S , R’S, R? S', ete. (fig. 20), leurs intersections. successives produiront une nouvélle caustique Z Z! Z”, que l’on déterminera par une analyse semblable, et ainsi à l'infini.

Réciproquement, quelle que soit la loi que suivent les rayons Q P, Q'P/, etc., chacun d’eux peut être cousidéré comme la caustique d’une autre courbe réfléchissante, et ainsi de suite:

Soit V V’ V’ cette courbe : puisque P V Qlui est tangente, si les courbes V V'V”et P P' P’ étaient connues ,;-le point Q sur l’axe ( d’où l’on peut/supposer émis le rayon Q P ) serait

déterminé en fonction des coordonnéeside P, .etila quantité disparaîtrait entièrement. Le;problème suivant nous offre un exemple des calculs à effectuer dans cette circonstance.

DH + A6 Problème.

146. — Déterminer les relations entre deux’ caustiques consécutives oulcomuguées (sil’on,peut les'appeler ainsi ), VV'V!, Y Y'Y',et la courbe réfléchissante intermédiaire : PRIP RER AE ;

Soient toujours V et Y deux points Conjugüés sur les caûstiques, P lé point réfléchissant, ét nommons

E et n les coordonnées de Vs price

ets celles / de P, X et Y cellès cr JET!

Puisque la ligne PY Q est Crntet À la première courbe en V, nous avons évidemment Hp, 110v 3580 Up 260 d'n U09 A Te ( 4 te

et cette équation, combinée avec celle entre ncte, qui représente la courbe V V! v?, sulira pour déterminer n et j2 en fonction de x et der, ou réciproquement TZ EAN çn fonction de£etdeh :

Or nous ayons aussi, .d après l'art. 1 14 À égation (OP Re

(1 ae CAE IL, L'HEREE Y° fente 593 et par conséquent HosL 18 440 40 zu 1 LUS UDII2163 I fl 2 TESTÉ Ey—nx ïr—a=7. A me 9 jen JÉaure, Miseesn

{ 11) s S4ILC 21391

Ainsi a est également-expriméte fonction dexeb:de y;/où

de & et de n. Ilne s'agit plus quetdesubstituénsalvaleur dans celle de P.

RON he (tee ro Ti p)(x —a)+2p}y!

qui devient ainsi

P-—= 2p (CT — EM) IQRES PAM Sn):

GP Tr Orne

et cette valeur, étant indépendante de &, peut être substituée dans les équations (%), art. 156, quand X et Y seront déjà exprimées en fonction de x, y,Ë etn, c’est-à-dire des coor-

données de la courbe réfléchissante et de la caustique précédente.

Nous allons essayer d’éclaircir par un exemple ou deux la

théorie que nous venons d'exposer.

147.— On demande quelle est la caustique quand la courbe réfléchissante est une cycloïde, et que les rayons incidents sont parallèles entre eux et à l'axe de la cycloïde.

L’équation de la courbe donnée! est

Prenant pour unité le rayon du cercle générateur , on déduit

de là

moe ir et par conséquent

9 TI Tr.