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ce qui est l'équation de la caustique.
Cette équation appartient à une épicycloide engendrée par la révolution d’un cercle dont le rayon est le quart de celui du cercle réflecteur. La figure 21 représente la caustique dans ce cas, Q P étant le rayon, incident et P Y le rayon réfléchi. Elle a un point de rebroussement en F, qui est le foyer principal des rayons réfléchis par la surface concave BCD , et un autre en F'; qui est le foyer des rayons réfléchis par la surface convexe B A D.
Dans ce dernier cas, ce ne sont point les rayons mêmes qui touchent la caustique, mais leurs prolongements derrière la surface.
149-. — Coroll. Quand Y est très petit ou très voisin du point F, la forme de la caustique approche indéfiniment de celle de la parabole semi-cubique; car l’on a généralement
El PARENT
et quand la petitesse de Y permet de négliger Y? vis-à-vis
de Y3, PAPE 3 rss RE 4 3 = = LS , ou Ÿ =(+) (x à . (w)
150, —-Nous ayons vu que,ce n’est que dans quelques cas très particuliers que les rayons provenant d’un certain point et réfléchis par une courbe se dirigent tous$en divergeant ou en convergeant, vers un même point. En général, ils se distribuent de la manière décrite aux art. 145 et 146, et sont tous tangents à la caustique. La densité des rayons pour un point quelconque de cette courbe est infiniment plus grande que pour l’espace qui l’enyironne; et pour l’espace entre la caustique et la courbe réfléchissante PCR Y\(fig: 21), cette densité est plus grande que pour l’espace extérieur à la caustique Q Y F.
Cette dernière proposition est évidente, car l’espaceQYF n’est éclairé que par les rayons incidents, tandis que l’autre espace l’est par tous les rayons , tant réfléchis-qu'incidents.
151. — Cette assertion peut se démontrer d’une manière très satisfaisante par l'expérience’ suivante, imaginée par le docteur Brewster.
On prend une lame d’acier poli, de forme concave (fig. 22), que l’on place perpendiculairement sur une feuille de papier blanc. Si l’on expose alors cet appareil aux rayons du soleil , en tenant le plan du papier de telle façon qu’il passe près du soleil sans cependant le toucher, la caustique viendra se peindre sur le papier, et sera marquée par un trait de lumière bien tranché. La partie intérieure sera plus brillante que la partie extérieure, et la lumière $’affaiblira graduellement et d’une manière très rapide à partir de la caustique. Si l’on fait varier la forme de la lame, toutes les différentes espèces de catacaustiques avec leurs points singuliers, de rebroussement, d’inflexion, etc., se développeront admirablement. Cette expérience est à la fois amusante et instructive.
La ligne brillante que l’on‘apercçoit dans un verre pléin de lait, ou mieux encore d'encre, que l’on expose au soleil, nous offre précisément un exemple de la caustique du cercle, dont nous nous sommes occupés plus haut.
152. — Si l’on fait tourner la figure 18 autour de son axe, la courbe réfléchissante engendrera une surface de révolution , qui deviendra un miroir quand on la supposera polie à l’intérieur ou à l'extérieur, suivant que le cas l’exigera : ainsi la caustique engendrera une surface conoïdale, à laquelle tous les rayons réfléchis par le miroir devront être tangents. Aucun miroir qui n’est pas formé par la révolution d’une séction coniquetayant lelpointrayonnant à son foyer ne peut donc réunir tous les rayons réfléchis en un même point ou foyer. Cependant il y aura toujours un point qui recevra les rayons réfléchis dans un état plus dense que tout autre : c’est le point F, comme nous le verrons bientôt. La déviation de chaque rayon réfléchi, par rapport à ce point, se nomme son aberration.
1935. — La concentration et la dispersion des rayons par des surfaces réfléchissantes ou réfractantes étant d’une extrême importance, dans l'optique, pratique, il sera nécessaire de traiter ce sujet avec, plus de développement, Nous commencerons par chercher jusqu’à quel point les rayons péuvent être concentrés par un réflecteur donné qui les recoit. A cet effet, nous nous proposerons le problème suivant :
Problème.
154. — Trouver pour un réflecteur de figure et d’ouverture. À B données le cercle de moindre aberration, c’est-àdire l’endroit où il faut placer un écran pour y recevoir tous les rayons réfléchis par une surface, dans le plus petit cercle possible, et assigner le diamètre de ce cercle.
Soient. A CB (fig. 25) le miroir, Q le point rayonnant, GK fkg la caustique, f le foyer des-rayons centraux, g le foyer des rayons extrèmes À g, B 9, et prolongeons ces lignes jusqu’à ce qu’elles coupent la caustique en Y y. Puisque tous les rayons réfléchis par la partie A CB du réflecteur sont tan-
gents aux. points de la caustique entre K f'et k f, à est évident qu'ils doivent ‘tous! passer par la ligne Ÿ y. Conservant la notation des problèmes précédents ( c’est-à-direQ x =X, Xy= Y),posons OT ASP PRE OIDI= TE ID ASE
et représentons par Po, po, les valeurs de P'et de p correspondantes aux points K'et À de la caustique et de la courbe réfléchissante : l’équation-de la ligne AK4 y sera-alors
Y—7—=P.(X— 2%) ARE RAP TICACE SE ARSITE)) Y et X étant les coordonnées d’un point quelconque de cette ligne. Mais au point y, où elle coupe l’autre branche de la caustique, ces coordonnées sont communes à la droite et à celte courbe. Pour ce point donc, l'équation précédente et celles qui expriment la nature de la caustique doivent avoir lieu simultanément; mais ces dernières sont les équations (k), art. 136, combinées avec l'équation de la courbe réfléchissante. Eliminant alors x et y à l’aide de deux derces équations , et déterminant'les valeurs de X et de Y au moyen de celles qui restent , le problème settrouve résolu.
155: — Maintenant la même équation qui donne la valeur de ÿ ou X y doit donner aussi celle de UK, parce quede point K est commun à la caustique et à la ligne À K y aussibien que:y.
Mais d’ailleurs, puisque AK yest une tangente, le point K est double, et par conséquent l’équation finale en Y doit avoir nécessairement deux racines égales, outre la valeur de Y que l’on cherche ; et celles-là étant connues, le degré de l'équation s’abaissera, et Y s’obtiendra plus facilement.
La marche que nous venons de suivre semble différer de celle que l’on emploie ordinairement, et qui consiste à regarder comme un maximum la valeur de Y , déterminée par l'intersection du rayon réfléchi extrême À K:r, et d’un autre rayon quelconque réfléchi au point P. Maïs cette différence n’est qu’apparente, car, dans la dernière méthode , nous
devons supposer Ÿ maximum, où 4 Ÿ —0, en regardant cette quantilé comme déterminée par les deux équations coexistantes
Y—pm=P(X—-m) et Y—r=P(X-—x).
Or, dans ce cas, la première de ces équations donne aussi EXO et par conséquent, en différentiant la seconde, il vient —dy=(X—xz)dP—Pax,
d’où
et par conséquent
Y— y = Po
Ces équations ne ‘sont autres que celles de lart:1156 , qui
expriment les'propriétés générales de la caustique : de ma: nière que cette considération de maximum ne sert qu’à rendre le chemin plus long pour parvenir aux mêmes équations,
et ce n’est au fond qu’une méthode différente de déterminer lt caustique.
156. — Appliquons ces raisonnements au cas d’un réflecteur sphérique! En reprenant les équations et la notation de l’art. 148, et désignant par a la valeur extrême de y, ou la derni-ouvérture du miroir, et par la valeur correspondante de x, celle de P sera
AFTER VE NAT AE NE 2 a b 1—p 7 be 1-24
Par là l'équation (m, 2), art. 158, du rayon réfléchi extrême devient
Br
d'où l’on tire
Le Da:
2X—=- (it .Y AE ) Prenant pour z une valeur telle que Y — af 2°, z étant une autre inconnue, il'vient
XL = —— : + — 92) æ zx}.
Ecrivant cette dernière valeur au lieu de 4 X°, et af 75 au lieu de Y?, dans l’équation (2) de la caustique, art. 148, après avoir extrait la racine cubique et opéré les réductions, nous trouvons, pour déterminer z,
afL(2—4æ) SL(5æ—353)z Lio.
Mais, d’après la remarque que nous avons faite à l’art. 155, cette équation doit-awoir deux racines égalés, savoir, quand x = b ou Ÿ — à, c’est-à-dire quand 2= 1 :ainsielledoit être divisible par (z -= 1 4. Effectuanttcette:division, on réconnaîtra qu’elle, se, fait.exactement , et Von trouveratpour . quotient
a 240 &@ B45azL5 310; AE A)
d’où l’on déduira les autres valeurs de z:
Comme cette analyse est rigoureuse, puisque nous n’avons rien négligé comme très petit, la solution, du problèmetest complète, quelle que soit l’ouverture du miroir.
157. — En la supposant assez petite par rapport au rayon, on obtiendra une valeur approchée de 3,.à.l’aide-de:la série suivante fournie par l’équation (y),
2 32 52 4096 Et par suite, puisque Ÿ — « = SEAT EE EE 675 2 —= 8. 128 2048 a — etc (2)
158. — Le premier terme de cette série suffit dans la plu-) part dés cas qu'offre la pratique, et l’on a simplement
— a VE sr? En SE PAT OTE gr (| ou, en nommant r le rayon de courbure du réflecteur, s £ 27 nn Lt ter a ()
L’aberration latérale correspondant à Ja démi-ouverture a
# a ’ . 0 La est égale à 3 en vertu de l'équation (j), art.133 : par
conséquent , dans le cas de petites ouvertures , le rayon du cercle de moindre aberration est'égal au quart de l’aberration latérale (au foyer) de l’anneau extérieur.
