Mais il faut maintenant distinguer plusieurs cas
1° Quand S se trouve dans les espaces K H V, ND W, et qu’ainsi l’on ne peut mener de tangente qui coupe le réflecteur dans son ouverture À B : par conséquent ces espaces ne ‘ reçoivent point de rayons, et la densité —0 pour chaque
point.
162. — 9° Quand S se trouve dans les espaces AGB, VHFE, EF D W, on ne peut mener qu’une seule tangente qui coupe le réflecteur entre À et B: de manière que, pour ces espaces, la densité est représentée simplement par
165: — 3° Dans les espaces K G H et M G D (fig. 25) on peut mener deux tangentes qui passent par le point S, et qui touchent toutes deux la branche FK du même côté de l’axe que le point S. Soient P, Y, Sg, etP, Y, Sg, cestangentes : le point S recevra les rayons’appartenants à ces deux cenoides convergents, et la densité.sera, par conséquent, la somme de leurs densités respectives , ou PIN APE: REY P*7
Dre 8 9, SNA VES Em
164. — 4° Dans l’espace FH GD l’on peut mener trois tangentes, 9, SY,P,, 9, SY, P, et g,S Vs P;, tombant toutes entre À et B. Les deux premières ( fig. 26) touchent la branche F & du même côté que S, et la troisième du côté opposé : celles-là appartiennent à des cônes de rayons converbents vers g, g,, et la dernière à un cône convergent vers gx, mais intércepté par S après sa rencontre avec 3»
et divergent de nouveau.
Il suit de là que la densité, dans ce cas, aura pour expres-
sion
Comme le développement de ces fractions en fonction des coordonnées du point S nous conduirait à des calculs d’une complication excessive, nous nous contenterons de donner quelques applications relatives à des positions remarquables du points. -
165. — Premier cas. S est sur l’axe au-delà du foyer principal ou entre le miroir et le foyer des rayons extrêmes G.
: Rs Hhe PE:\Y e Ici Y coïncide avec F, ainsi que g, D = ( se) , ce qui montre que la densité est en raison inverse du carré de la distance de S au foyer principal.
166. — Deuxième cas. S estsur l’axe entre le foyer principal et le foyer des rayons extrêmes G, c’est-à-dire sur la ligne GE, IiSg, =0,Sg,=0,S q, —=0, ce qui rend infinis les trois termes dont est composée la valeur de D : il en résulte que la densité y est infiniment plus grande qu’à la surface du réflecteur.
167. — Troisième cas. S est en F. Ici non seulement Sg—o, mais encore S Ÿ : par conséquent la densité est infiniment plus grande que dans le cas précédent , et atteint son maximum.
” 85 168:— Quatrième cas. S est sur la caustique même: Ici SY—o, et pär conséquent D est encore infini, c’est-à-dire que la densité y est infiniment plus grande qu’à la surface du réflecteur; et plus S approche de F, plus cette densité augmente par la diminution des valeurs de S g.
169.— Cinquième cas. S est quelque part en H z D dans le cercle de moindre aberration. Au centre z et à la circonférence H la:densité est infinie : entre ces deux positions elle devient finie, et diminue jusqu’à ce qu’elle atteigne son minimum ; après quoi elle recommence à croître, d’après une loi trop compliquée pour en faire ici la recherche. On observera que les relations énoncées dans ces articles ( 160- 169) sont générales, et ne sont point restreintes au cas où la surface réfléchissante est purement sphérique.
170. — Dans toute la discussion précédente, nous avons supposé que le point S recevait lés rayons perpendiculaire-. ment. On. doit donc entendre par la densité des rayons, non le nombre des rayons qui tombent sur une surface plane donnée, mais le nombre de ceux qui passent par une ouverture circulaire infiniment petite de la voûte célesté, où qui sont réçus en S sur un corps sphérique infiniment petit.
Cependant, lorsque l’ouverture ést'petitey un écran perpendiculaire à l’axe vecevra les rayons partis de chaque point, sous un angle d’incidencé presque droit; et par conséquent les expressions précédemment obtenues représenteront l’inténsité d’éclairement.pour chaque point d’une telle surface, en supposant toutefois que l'écran n’intercepte au cun rayon incident. !
Nous renvoyons le lecteur qui désirerait plus deldéveloppements, au sujet des caustiques, aux ouvrages suivants . Tschirnäus, Aétés de Leipzig, 1682; et Histoire de l’Académie, tome 11, page 54, 1688; De la Hire , Traité des épicycloides, et Mém. de l'Acad., vol: x; Smitb’s Optics ; Carré, Mém. de l Acad., 1503; J. Bernouilli Opera omnia, vol. ni,
‘page 464; L’'Hôpital ,, Analyse des infiniment petits; Hayes's
Fluxions ; Petit, Correspondance de l'Ecole polytechnique, u, 555; Malus, Journal de l'Ecole polyi. , vol. v1; Gergonne, Annales des Mathématiques, X1,:p: 229; De la Rive, Dissertation sur les caustiques, etc.; Sturmi, Annales des Math., xv1; Gergonne, idem.
