M AN A VE (I
Püisque d D =:0 , et que L, 1, etc. , sont'des constantes, nous devons avoir
à du = d prT1).
Mais & Sin p =5in«, g'Sin g'=— "sin Cr +1), etcos
d'où
æ dp cos p = d'arcoste, ul d p' cos pl — d'p cos (p: + L), pen cos po À 4e) cos [ A2) LE Ir—2)], Faisant le produit de toutes ces GATE
dpr—) d'a — COS & . COS (p — I) + COS Crtr72) ee 1G-2)] s
ou’simplétnent
p pl te pie) cos p cos g! ce cos pti)
pl... ur) cos p cos pl... cos pl) cosy cosul… cos al"). (5)
Cette équation, combinée avec les relations déjà établies entre les valeurs successives de p et de x, fournit la solution du problème; mais les équations finales auxquelles on est conduit sont d’une grande complication et de degrés très élevés. Ainsi, dans le cas de trois réflexions seulement, l’équation finale en sin P ou sin p!, etc, , s'élève au seizième degré ; et, quoique sa forme soit celle d’une équation du huitième, on ne peut cependant par aucune substitution abaisser davantage son degré. Le seul cas où elle prend une forme. qui permette, de,la résoudre.est celui de deux surfaces. L'équation (:), que l’on+peut écrire généralement de la manière suivante,
cA VA
pig Sul (ré sin?) pi)(a sin pl) 2. ete. G = (1— ptsinp) (1 — pl sims)... etc,
se réduit alors, en posant sin? p = x et sin? pl =—7;, à Qu? pl 1) — pt Qu" — 1)z— pl (u— 1)7 = 0.
En la combinant avec l’équation ul sin g! = Sin (p +1), ou (per +x—sml} = 4up"cosl.xrr,
elle donne une équation finale du quatrième degré, résoluble à la manière de celles du second, pour déterminer x ou 7. Dans le cas particulier de pu! — 1, qui est celui où le rayon émerge dans le même milieu qu'il occupait ayant sa première incidence, elle donne le même résultat que la méthode déjà employée pour ce cas. Quoiqu'il soit impossible de résoudre l’équation finale dans le cas général, l’équation (j) fournit sur la grandeur de la moindre déviation des données précieuses dans une foule de cas particuliers.
217.— Quatrième cas. Quand les plans de première etide deuxième réfraction sont à angles droits, quelles sont les relations qui résultent de cette condition ?
Nous avons alors
0 = go} cos 0 —'0; sin 0 "1" ce qui change l'équation générale [ (B), 199 ] en sin & = p, Sin p; ni sv sinia =: pl sin p!, sin at = sn l.smy, ! PPAO EP 9 PE cos a! — cos p . cos 1 + sin p e sin ] 608, Après avoir changé de placeret élevé au cäfré Is termés
de cette dernière équation; il vient:0 } °11 1 Î
cos al — 2 cos al. cos p . cos I H- cos? p. cos’ E —\sin® p. sin? [ (1 sin? 4 ).
sin o!
sin Ï
sième équation , on obtient, après réduction,
Remplaçant sin 4 par sa valeur , déduite de la troi-
cos? g!. cos? p — 2 cos &! cos p . COS I Æ cos? I — 0 : cette équation, étant un carré parfait, donne simplement
COS p, COS me COSR IE "A (&)
Celle-ci répond à l'équation COS œ . COS ad! — cos TI,
due à la même hypothèse, dans le cas de la réflexion (104). En effet, ce dernier cas étant compris ‘dans celui de la réfraction, en posant. u — — 1 (art. 192), nous ayons alors
a =) prel COS pl — cos x.
218. —\Coroll.\1: Soient set iles inclinaisons sur la premiere et sur la deuxième surface de la partie du rayon qu’elles comprennent : l’on a
"+2 —=90°— p et ü = 90° — x;
ce qui donne , en vertu de l’équation (K), sin £ . sin .— cos I],
c’est-à-dire que Je produit des sinus des inclinaisons du rayon entre les deux surfaces sur chacune d’elles est égal au cosinus de l’inclinaison des deux surfaces. On peut encore exprimer autrement la même relation : en regardant le rayon comme provenant de l’intérieur du prisme, le produit des cosinus des angles d'incidence sur les deux surfaces égale le cosinus de leur inclinaison. Cette manière d’énoncer la loi comprend le cas de la réflexion.
