et L/5 nu
par conséquent la somme des courbures doit égaler au moins 3. 16 fois leur différence.
Quant aux lentilles bi-convexes ou bi-concaves, R! et R// étant de signe contraire, il est impossible de satisfaire à la condition exigée.
296. — Coroll. 3. Siu = 0, l'abérration s’évanouit quand les‘rayons sont parallèles. Dans ce cas, cependant, lesivaleurs de R'et de R/'1ne peuvent être réelles qu'autant que y me surpassé pas +, et l’on ne connaît aucun milieu daué,d’un pouvoir réfringent aussi faible:
297. — Coroll. 4. L’aberration aura pour effet d’accourcir ou d’allonger le foyer des rayons extérieurs, suivant que les signes de A fet de fseront semblables ou opposés.
Dans certains cas particuliers, cependant, cet effet dépendra des valeurs attribuées à y, R, R' et D. Le cas le plus important est celui de rayons parallèles : D est alors égal à zéro , et
r° 1 ban obtenez RIRE EE RE |
Ni
Le foyer des rayons extérieurs sera plus court ou pluslong que! celui des rayons centraux ; suivant: que cette quantité
aura un signe semblable ou 6pposé à éelui de L; c’est-à-dire suivant que
(2—2 pu + p5) RL (u Lou — 2 ui) R' RL pô R'2
sera positifounégatif.Or, d’après ce que nous avons vu dans le corollaire précédent, cette quantité ne-peut-devenir négative par aucune valeur réelle: de-R!.et, delR/;1à moins que we <Q + Poûr tous les autres milieux (ce quicomprend toutes les substances diaphanes connues jusqu’à ce jour) travaillés en forme de lentilles, la’ longueur focale: des rayons extérieurs sera donc plus courte que celle des rayons centraux, quelle que soit d’ailleurs la courbure des surfaces.
298. — Coroll. 5. Pour un ménisque de verre, quand le point rayonnant se trouve‘du côté convexe, etque les rayons divergent, 4 + 5 p — 5 y* est une. quantité positive : or, R et R’ étant tous deux positifs, B l’est également. Ainsi (D étant négatif dans ce cas) le terme — £ D, et par conséquent tout le facteur & — 6 D ++ D’, est positif. De plus, L étant aussi positif, A:f l'est également, ét l’aberration w devient négative- Il suit de là que, lorsque le point Q est au-delà de F; le foyer des rayons parallèles tombant de l’autre côté, celui
des rayons extérieurs est le plus court; mais il est lepluslong si Q se trouve entre F et C.
299: — Coroll. 6. À moins que R' + R* 7: à | + | Drame ess aucune valeur réelle de D ne peut rendre négatif le trinome
Ar £ D — 7 D:.
Il résulte de là que, dans toutes les lentilles bi-convexes ou bi-concaves , aussi-bien que dans les ménisques et dans les
1b1 lentilles concavo-convexesr-où la. somme des. courbures: des surfaces fait plus que L/2u-+ 5° fois leur différence, le facteur «— 6 D H D: est positif pour toutes les valeurs de D, et par conséquent l’aberration w est d’un signe contraire à celui dé L. Ainsi, pour toutés ces lentilles, l’on peut énoncer la règle suivante, qui-està la fois simple et générale : L’aberration a pour effet de rejeter le foyer des rayons extérieurs plus près de la source de la lumière que celui dés rayons centraux, quand la lentille a pour caractère le signe +, c’est-à-dire quand elle fait converger les rayons parallèles ; au contraire, elle Le rejette plusloin'si la lentille est caracté- \risée par le signe — , c’est-à-dire si elle fait diverger les rayons parallèles.
500. — Coroll. 7. Toutes les autres lentilles ont, comme dans le cas de simples surfaces , des foyers aplanétiques cor-
respondants aux racines de l'équation
En général, il y a deux foyers semblables pour les rayons incidents et deux pour les rayons réfractés, et l’on peut aisément trouver des règles pour déterminer dans quelles positions du point lumineux, par rapport à ces foyers et à la lentille, l’abérration tend à accourcir ou à allonger le foyer extérieur ;, mais il est plus simple et.plus expéditif d’avoir recours directement aux formules algébriques.
501. — Coroll. 8. Dans le cas de la réflexion, quand les rayons , par exemple, sontréfléchis entre les surfaces de lentilles mêmede matière diaphane , l’on a
PA ENMRERELCAEn N E LAC C-RE= EUR P MS Mr elc., cet M — "7,
suivant que le nombredes réflexions est pair ou impair.
Ainsi pour n réflexions on aura
ff —=2aR —D,
ff = 2R" —2R ED, Gp) AU 2, RM — 2 RE 2 R — D, et R (BR —Dy, Re (RE = ta REE D}, 2.( = (Es pin pur (RM à Rnb D, T5 (q)
—helc:
formules qui servent à déterminer, dans tous les cas de réflexion interne entre des surfaces sphériques , les deux places des foyers successifs et les aberrations.
502. — Coroll. 9. Si les réflexions se font entre des surfaces de même courbure , dont les concavités sont tournées en sens opposés, f!, f", etc., se suivent en progression arithmétique, et par conséquent leurs valeurs inverses ou les distances focales en progression harmonique.
Problème.
305. — Construire une lentille aplanétique , c’est-à-dire qui réfracte en un seul point tous les rayons convergents ou divérgents partis d’un autre point.
Soient Q et g les deux points en question, le premier étant le foyer des rayons incidents, l’autre celui des rayons réfractés. Soit p l'indice de réfraction; posant Qg—2c, et donnant à à une valeur arbitrairé, on constrüira la courbe dont l’équation est (n), art. 252. Soit HPC (fig. 56) cette courbe : du centre g, avec un rayon g N moindre que le rayon réfracté quelconque gP, l’on décrira le cercle HNK.
Alors, puisque le rayon QP, par la‘nature de la courbe HPC, est dirigé vers le point après sa réfraction, et qu’il tombe perpendiculairement sur la seconde surface, il n’éprouvera aucune inflexion, et, à sa sortie du milieu, il continuera sa route vers g. Si l’on suppose alors que la figure CP.N K: tourne autour de Q 4, elle engendrera un solide de révolution, qui sera la lentille demandée, puisque sa matière est celle du milieu même. Quand les rayons sont parallèles, comme dans la fig. 58, nous savons déjà que la courbe est une section conique, et que c'est une ellipse quand la lentille est plus dense que le milieu ambiant. Ainsi un ménisque de verre dont la surface antérieure et convexe est une ellipse, ét dont la surface postérieure appartient à une sphère dont le centre est au foyer des rayons réfraciés, est une lentillé aplanétique.
304. — Maïs, sans avoir recours aux sections coniques, on peut, dans certains cas, produire le même effet avec de simples surfaces sphériques. En effet, Q et g (fig. 65) étant les foyers aplanétiques d’une surface sphérique réfractante, si du centre g, avec un rayon quelconque plus grand que g.C quand les rayons incidents divergent du point Q comme dans la partie inférieure de la figure, mais moindre que q C s’ils convergent comme dans le cas précédent, l’on décritle cercle KL ou k Z, .et que l’on fasse tourner la figure autour de Q g comme axe, les surfaces CP K L ou cpkl engendreront la lentille en question. Cette construction est une conséquence évidente de la formule générale (&), art.2g1 : carsi RM f1, la valeur de 4 f devient simplement
D (R—D'; [mR = (1 Em!) Dr,
et s’évanouit quand
DR LR GT à Ah DE DRE he à GA 4 2
22 AE MR D VOD
ue:
c'est-a-dire quand Q est le foyer aplanétique des rayons incidents sur la première-surface:
L'équation : cr BD: 7 DE 0
donne néanmoins une relation :éntre g, D; R' et R/'; qui perméet-de’construire une-lentille aplanétique”déns le‘'cas général. (Voy:! Corollir art. 294)
Problème.
505. —: Assigner la forme la plus avantageuse que puisse prendre une seule lentille d’un pouvoir donné, pour que
celle-ci ait la moindre aberration possible quand les rayons sont parallèles. ie in
Puisque l’aberration ne peut être entièrement détruite dans le cas de rayons parallèles, quand # >> = (art. 296), nous gssaierons de la rendre la plus petite possible. Or
af ont ès rss eh 36 TNT
poûtr’dés rayons parallèles’; ou
es Le é PRET L°?
éten général ÉD GRH PRES MOD EET.
Dans le cas actuel L est donnée : nous devons donc poser UE NI0S d’où résulte o—2(2—2u°+u$) R'IR! H7° ua pt—0 p3)(R'dR"-ERMAR Le 23 Rd RM.
Mais la condition 4L = o donne Ra R" =
ce qui réduit notre équation à o—(4+u—2)RE(EH2p)R'; d’où l’on tire
! R’ AE ALL Er É nl EHUINbI 00 51 Sion sat) R DUT
Dans le cas d’une lentille de verre, en prenant u— 1.5, cette fraction devient égale à — + : ce qui montre que la lentille doit être bi-convexe,et que la courbure de Ja surface. postérieure ne doit être quele sixième de, celle de la surface antérieure, ou que son rayon doit être six fois plus grand.
Les opticiens donnent quelquefois à de tels verres le nom de lentilles croisées...
306. = Coroll. 1. Siu — 1 :686r , valeur qui convient à peu près aux pierres précieuses et aux verres les plus réfringents, R!—0; et la figuré la plus avantageuse pour concentrer la lumièré'est célle d’une lentille plano-convexe dont la surface courbe reçoit les rayons incidents.
507. — Coroll. >. Nommant w l’aberration d’une lentille de la forme la plus avantageuse ; nous aurons DA LE Ji EL
pour lespèce de verre dont lindice de réfraction = 1.5; et les aberrations dues à d’autres formes seront proportion: nelles à cette quantité :
Lentille plano-convexe dont la face plane est tournée du côté des rayons inci-
dents "42 96. 2fininu;16b-nimetsl/re Co plano-convexe, tournée en sens'op- POSE PC RER NON AN MOTS OO là
bi-convexe où bi-concave avec les deux faces d’égale courburé .… . 1.567 -X w
eu sant A AP. Sosa if
Car
+ We
D nf ME ADN 2e
Problème.
308. — Trouver l'expression générale de l’aberration d’un système quelconque de lentilles infiniment minces placées immédiatement l’une derrière l’autre dans le vide.
La valeur générale de M 4 f (ou de A, puisque dans l’hypothèse actuelle M = r ) est
( Q —- Q" —- Q"' + Q'v + etc, ) se
qui se divise en plusieurs termes provenant successivement de chaque lentille, de la manière suivante :
NT Q'+Q") 7 +i Q''RON) EE etc:
Nous ayons déjà considéré la première de ces quantités ; essayons maintenant de découvrir la composition des autres termes.
Soient donc y! l'indice de réfraction de la première lentille , y! celui de la deuxième, p!! celui de la troisième ; et a, B!, 7', les valeurs de &, 6, y, pour la première lentille ;; ou les expressions (1) , art. 292, en y changeant seulement y en u'. Soient de même &!'; fl, J!!, les valeurs analogues pour la deuxième lentille, c’est-à-dire ce.que deviennent cesmêmes expressions (/) quand on écrit u/! au lieu dep, et R!! et R!Y au lieu de R'et de R/', et ainsi de suite pour toutes les autres lentilles.
509. — L'examen des valeurs de Q!' et de Q"\ nous fait voir qu’elles sont composées en n!!, m!Y, MA MLY, RM, RY, Set fl!, absolument de la même manière que Q' et Q" le sont en 772!, m!!, M!, M", R', R", Det f’.
D'ailleurs, puisqu’en vertu de l’art. 251 nous avons
f' = (G—-m')R'+miD, sil —= (1—m!!) R'+ ml f! ; = (1m) Roll (1m!) Rom ml D, = (p—1) (R—R'")HD, puisque m!— : Sn, # ê = LD.
Nommant D'' cette dernière valeur (L est le pouvoir 5 de la premiere lentille), fl — (1 — ml!) RL m! D'', SUEZ G—mY) RN—E me f = L' LD", comme ci-dessus ( L''est le pouvoir de la seconde lentille) ;
fFY=L+HL LD, et ainsi de suite.
Il est évident que Q"! 2e Q" sera la même fonction de l'indice de réfraction des courbures des surfaces et des quantités D'' et f! par rapport à la seconde lentille que Q'+Q" par rapport à la première lentille. Il résulte de là qu’en suivant toujours le même système de réductions qui nous a conduit à l'équation
QEQ= Ca — BDI+ y D);
nous devons parvenir à une équation exactement de la méme forme pour Q'.E QN, c’est-à-dire que < L' LU IV, — " ILES RAIN Il ll U QD Qs Er. Ce BD y DIR ).
Il en sera de même des lentilles suivantes : de sorte que
l’on aura finalement pour le système entier (en écrivant L',
D!, p!, au lieu deL,D,)
22 L' ; 2 L' af = [Eee a et AMD n Bei Gé g'DuE. Dryete. | ; (s)
équation dans laquelle le nombre des termes égalera celui
des lentilles.
Ca 4 MUST 2 PVR
CCE INT à LEP HE Se E: i fe
| ces
Fons
510. — Corollaire. Pour des rayons parallèlés, D='0;, DL SDIS DE etc;
par conséquent
1 (1 Da (al— g'L'E 7" Le) 3
PV ITR 5 SELE al— GMLOELI AMEL |»
nl Fe
etc.
511. — Quoiqué l’aberration d’une seule lentille ne puisse être détruite entièrement qu’en supposant un certain indice de réfraction qui ne se rencontre point dans la nature , on peut cependant atteindre ce but de différentes manières, en combinant deux ou plusieurs lentilles. Ainsi, dans le cas de deux lentilles , l'expression (4), étant égalée à zéro , fournit uné équation qui renferme p', g", L', L, R1, R', R"', R'; et, puisque Li et L/ sont des fonctions des quantités connués u! et u!!, les inconnues sé réduisent à quatre, quisont R', R', R'", R'Y.
Comme l’on peut satisfaire d’une infinité de manièrés à l'équation unique dont elles dépendent, le problème de la destruction de l’aberration de sphéricité, tel que nous l’avons posé, est indéterminé.
512. — Dans le cas de deux lentilles et de rayons paralleles , l'équation est
0—= Le 2ulHu8)Re Eu Lou 3 2u)RR "LR" | à
Eu ; ; + (2 ap" Lurs) RP Loul ouls) RURT Ë
L'L" L = re [u-sa"-Sum)Rm ur sun) Rr | =
LeL' Le CSA):
ul!
515, —— Quand les pouvoirs L' et L” des deux lentilles seront donnés, cétte équation ne sera quedu second degré èn R', R’, R’' ou RIY : Ja réalité des valeurs de ces quantités
dépendra donc de l’hypothèse adoptée pour limiter le pro-!
blème. On pourra toujours en éliminer deux à l'aide des équations L'—(pl—1) (R—R?) ét D (pl—1) (RU RIV) :
l'équation finale (en R' et R"!, par exemple) sera nt ge L(EE Re ur LR), pl EE
+ Li) = os EDR ra [EE (u! — re bi | R" k: (#)
pla L"® FL UE 3p! 3p!-1 4 HE Fay (ur plier LL EL;
et comme les inconnues R', R!", ne sont es combinées par voie de multiplication, lorsque les valeurs de L!' et de L" seront données, elles ne s’élèveront qu’à la seconde puissance. Nous ferons usage de cette équation quand nous exposerons la théorie des lunettes dioptriques.
514. — Si L'et L! ne sont pas données, puisque chacune de ces quantités est du premier degréen R', R/, etc., l’équation (4) monte au troisième degré, tant en R' qu’en R", etc. , ou en L', Li, si l’on a éliminé R' ou R".
Comme toute équation du troisième degré doit avoir au moins une racine réelle, on en conclura
1° Que; si l'on donne les courbures de trois surfaces dans un système composé de deux lentilles , celle de là quatrième surface peut toujours étre prise telle qu’elle détruise l'aberration de sphéricité ;
515. — 2° Que, si l’on donne la courbure d’une dés surfaces de chaque lentille et le pouvoir de Vune d'elles, ou leur
