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bord que le: produit des deux ‘valeurs que prend Le coefficient différentiel. est égal à —\.,'et queeonséquemment les tangentes des deuxsystèmes de courbes ÿqui peuvent. donner lieu par la réfleion dune même ligné brillante | sont anglexdroit. En passant à l'application , le cas le.plus simple serait celui où l'on aurait pour ligne brillante S une hyperbolé dont

l'équation serait Q—Y) 0x" a!) (aa) = 0.

On aurait, pour déterminer les lignes >,

dy ve | Rrniens ; LP ce cnee fx

Les lignes réfléchissantes formeraient donc deux systèmes de droites varallèles et inclinées de 45° sur Jaxe des æ. Ainsi : On apercoit une hyperbole équilatère brillante sur un plan , quand on produit la réflexion sur un système de droites parallèles. Le centre de l’hyperbole.est sur Le milieu de la droite qui joint le point de vue et le point rayonnant. Cette même hyperbole peut aussi être produité par laréflexion des rayons lumineux sur un second système de lignes droites, perpendiculaires aux premières etparallèles entre elles.

Sans nuire àla,généralité de la solution, nous xemarquerons qu’on pourrait faire passer l'axe des æ par le point rayonnant et le point de vue, et placer l’origine à égale: distance de cés deux points, quand l’un ou l’autre n’est pas à une distance infinie. Il suflira pour cela de poser æ! = #’ —0, etÿ—— 7", dans l’équatioÿ (ro) ; d'où

dyà. par" dy sr. | Da) dx æY dd — À

Supposons que S , le lieu des points brillants , doive être

une circonférence qui a pour équation 2-2 rar- ty 0.

L’équation (12) pourra être mise sous fa forme

2@œ=a dy

mt

et, en résolvant,

De — Le CRT revers

Au moyén de l’équation du cércle écrite plus haut S il vient

dy __ 22e Va Ca dæ 2Y 2Y

Eu intégrant, ona

var a(a fa — 4h).

On a donc, pour les courbes réfléchissantes >, deux sys= tèmes de circonférences concentriques, qui ont leurs centres sur l'axe des x ,et la distance des deu% centres est égale à a, c’est-àdire au double de l'abcisse du centre du cercle donné.

Toutes les données étant dans un même. plan, supposons le point brillant à une distance infinie, sur Vaxe des æ ,. et le. point de vue à l'origine des coordonnées : nous n’aurons qu’à faire daus l'équation (i 1y'=x =oets2", "= CP d’où

dy? »92y dy > de Ta de" (3)

Cherchons , dans l'hypothèse précédente, quelles sont les

wi à

on.

lignes: réfléchissantes x} pour une parabole brillante, = —2my me.

En résolvant l'équation (15) par rapport au coefficient dif:

férentiel, et en simplifiant par l'équation de la parabole, on a

dÿ :2ÿ—m dy CR ET

pes dire log. (27—m) Y=log. SE et y—= BR ESS

Le premier système 2 nes Richlienntes se compose de a œ= boles, et le second de Ranrttaques

G. Analogie entre la théorie des causliques et éelle des développantes et des. développées (numéros 148 et 226).

l'En partant da principe émis par le-célèbre Huyghens sur, les théories des ondulations, on peut simplifier beauçoup la théorie des caustiques et la faire rentrer entièrement dans la théorie des développantes et des développées. C’est ce que j'ai essayé de montrer, il y a plusieurs années, dans différents mémoires dont je reproduis icieJes principaux résultats (1).

(1) Nousgeatix Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tomes 3, 4 et 5.

Le théorèemr qui sert de base-à toute ‘Ja théorie se démontre de la manière la plus facile , et peut être énoncé ainsi qu'il suit; en considérant la réflexion comme un cas particulier de Ja réfraction quand onpose n —=—1: Un système de rayons Lumineux , émis normalement d une Surface, étant réfléchis ou refractés pañ une seconde surface, redeviennent pérpèndiculaires à une troisième , et cette troisièmessurface est l'enveloppe d’une sphère mo bile dont‘le centré parcourt lu seconde en ayant ses rayons dans un rapport: constañt-avec les normales à la première , cé rapport étant celui du sinus de:l’angle de réfraction au sinus de l'angle d'incidence (x): $ 2

Après une première réflexion ou réfräction, les rayons venant à rencontrer une seconde surface réfléchissant où'dirimante poursuivent leur-route de manière à pouvonétretraversés par une troisième trajectoire orthogônalé} d’après ce que nous venons.d’énoncer ; ét ilen serdit encore de même aprèsiune troisième, uñné quatrième, étc:; réfléxion ‘on réfraction. De sorte que l’on déduit directement, comme con séquence vaturelle de notre «principe ; l’exténsion rémärquable que M. Dupin a donnée à un théorème de Malus, ét que l’on. peut énoncer de cettémanière : Une série de: rayons lumideux, après avoir subi un nombre quelconque de réfractions'ou'de réflesions surdes surfaces quelconques ; nercèssent pas de pouvoir être traversés:paï: une trajectoire orthogonale s'ils ont pu lêtré primütivement (2).

(1) Cette construction des trajectoires ofthogoriales des rayons réfléchis.ou réfractés test d’uneextrème facilité, et supplée avec le plüs grand avantage à l'analyse qui conduit presquetoujoars à dés éliminations:pénibles et fastidieuses. M. Dupin avait déja examiné le cas particulier de la réflexion dans ses Applications de géométrie. On.peut-consulter sur le même sujet la Correspondance mathématique de Bruxelles et les Annales.de mathématiques de M. Gergonmé?

(2) M. Plana, dans-le tome 7 dela Correspondänte mathématique , a éié conduit, par son analyse, à évoquer en Üoüte Ce principe , qui,