LE TE

ae 2.

( Fa ne

Du principe précédent.on déduit un corollairs qui peut être très intéressant par ses applications: c’est qu’un faisceau de rayons. émis normalement d(une-surfuce, et réfléchis owréfsactéstant de fois qu’on voudra, par des miroirs ou des surfaces de rimantes,. présentera toujours un: faisceau dé réyons: susceptibles d’avoir été émis normalement à une surface donnée ; ou de provenir d'un point et de n’avoir subiqu’uñe seule réfleæion ou.réfraction. Supposons, en-effet, les rayons normaux à la'‘sarface: (A); après, avoir subi autant, de réflexions ou de réfractions- que l'on voudra; on pourra.les considérer comme ayant été émis par‘un point À, après avoir subi, par exemple, une seule réflexion sur une surface ; et cette surface (S) serait le:lieu’des centres de toutes les:sphères assujetties à passer par le point A et à être normales à la surface donnée (A?) : sainsi Ja caustique qui.se. forme derrière une sphère trañsparenté.éclairée par un point brillant pourrait être produite également par-un point brillant et- par la réflexion des rayons sur une. surface que l’on pourrait, déterminer. s .D'après.les constructions quenous ayons indiquées précédemment ; quand on veut.construire la surface à laquelle Les rayons deviennent normaux après leur réflexion-ou leur réfraction ;.on doit employerla surface quitraverse orthogoualement les rayons incidents;, mais il est indifférent: d'employer. l'une des trajectoiresorthogonales plutôtqu’ane autre: si, par exemple, les rayons émanent d’un point, il devient indifférent de supposer que les rayons lumineux émanént de ce-point ou-bien- qu'ils émanent normälement à l’une des sphères qui ont ce poiut por centre commun. . De là résulte encore que, si. des rayons proviennéht. d’un pointinfiniment éloigné; tel qu’une étoile par exemple, on

au fond, se déduit des vues de Huyghen$sur la théorie dès ondulations ; mais.M. Hamilton de Dublin a démontré, dans le même recueil, que la difculté élevée par M. Plana n’est qu'apparenie.

peut les considérer comme sensiblement parallèles, etes supposer t'avérsés orthogonalement par un plan. Si ces rayons se réfléchissent ou se réfractent, pour constraire la surface à laquelle ils deviénnent énsuite perpendiculaires ;: on les considérera comme émis normalement à ce plan.

-On peut donc: faire abstraction du lieu d’où émanent les rayons lumineux et des surfaces qui les réfléchissent ou les réfractent, pour ne!s’occuper qué de la surface"à laquelle ces rayons sont normaux'dans leur dernier état. Or, on sait que toutes les normales d’une surface courbe peuvent être considérées comme les intersections de deux suites de surfaces développables qui se croisent à angle droit (Monge, Géométrie descriptive) : si l’on ne considère donc les rayôns lumineux que comme faisant partie d’une-de ces suites de surfaces développables, on concevra qu'ils doivent se couper successivement en des points où la lumière aura plus d'intensité ; si l’on considère les rayons lumineux comme faisant” partie de l’autre suite des surfaces developpables , ils se couperont encore selon uneautre série de points où ils concentreront éga-

lement plus de lumière qu’ailleurs. On nomme communé-

ment surfaces caus le lieu des intersections saccessives

des rayons luminetMff). On voit que les surfaces caustiques doivent être composées de deux nappes distinctes , dont. l’une est le lieu des centres de première courbure et l’autre le lieu des centrés de seconde courbure de la trajectoire orthogonule des rayons lumineux: Les surfaces caustiques peuvent donc être considérées comme ayant pour ‘surfaces’ développantes les trajectoires dont nous avons indiqué la construction; et la théorie des caustiques se lié ainsi intimement à "celle des développées.

(1} J'avais nommé, daus mon premier Mémoire, caustiques secondaires les trajectoires orthogonales des rayons réfléchis où réfractés ; j'ai conseryéencore la même dénomination, parce qu’elle est très simple,'et qu’elle est fondée sur des motifs que j'ai déjà fait connaître.

Théorie analytique des caustiques secondaires.

Nous ällons maintenant traduire en analyse (g principes queénous avons exposés plus haut.

Soient RU ddr ; Emme) =0 di (S)

l'équation de la surface réfléchissante ou dirimante ; F(@,y37) =d 7 7 (A)

l'équation de la surface à laquelle les r ayons incidents. sont perpendiculaires ; 5

Hat Ve POROETSE (SEAT

l'équétion cherchée de la surface caustique secondaire ä Jaquelle les rayons réfléchis où réfractés deviennent perpendiculaires... * À

Commençons par écrire Îles équations d’un rayon normal à

la surface (A)

(E— D nn Le <æ0

(n ee .

lès! toéfcién té: ‘différéntiels* ser ont dôtinés par: DE UON F(, 0

Nous aurons ; pour les‘deux sphères qui doivent être tangéntes à (A) et (A), et dont le centre commun séra' sut (S), au gi d'imfimérsiohi du rayon incident,

Er) (ny) +2}, (= 7") Gr) Pr —2) nr:

nest le rapport constant du sinus de l’angle de réfraction

au sinus de l’angle d'incidence ; r est une. fonction des deux variables indépendañtes:£ et , de sorte qu'on à = (f; »).

I noas reste à chercher le point de la surface (A!) par lequel passe le rayon réfracté. Pour cela, considérons chacune des deux sphères mobiles dans deux positions infiniment voisines : 1°. en faisant mouvoir le, éentrecomniun infinimént peu et

st s 1? o 2 £ . SYkd te parallèlement à l'axe des +; 2nen faisant mouvoir aussi infiniment peu le même centre par rapport'à l'axe des y. Ce double mouvement peut s'effectuer en vertu de l’indépen-

P dance des deux variablés 4 ét». 11 faudra donc différentier les équations des deux sphères mobiles, et nous aurons pour

la première :

de dr.

(= REA PRET de .?

dr He IE = T

ue.

et pouf laseconde,

. de “ar Ga) 2) per

nie ph diet 104. 0 anovs, eo Pl GR non eo cohngl

. Nôus n’ayons pas fait varieræ, y,z, dansles deux premières éqnations ; parce que ce;sont-les coordonnées:du point commun aux trois sphères infiniment voisines du poomn ee sÿstème, point qui appartient à l’enveloppe:(A)1Nous n'avons pas fait varier x!, y, 2’, par la même raison s:cetsont: les coordonnées du point:commun. destrois sphères du sécond'sysème, poiut.qui-appartient à l’enveloppe (Aty:Ilrest évident d’ailleurs que les équations que nous-wenons d'obtenir appare tiennent à deux.droites perpendiculaires au plan ltanigent à la surface (S) : Ja,/première:passe par le ipoint/rayorinantytper: pendiculaire à Jlasurface (A);,reblaisecondé parle point cor respondant sur la sunface{A);vpoiné quiest danis'la difectiôn du rayon réfragté. sezido5hôr sastrue 9

RE El 73

) fl Ni:

[LC =

Les équations précédentes serviront à établir entrees co ordonnées al, y, 21, les relations qui déterminent l’enveloppe (A').ét qui résolvent le problème que nous nous sommes proposé. On pourra faire disparaitre par une élimination très simple, la quantité r des’équations précédentes, etices équations se réduiront aux suivantes : ;

(S=0, (A)=0 (en; ;

js (1) une nr,

x: LAURE Pen (a) ne 2); (2) Gate Ce Dam

PR 7m QUE » — at

(= 7e) Er cs

Nous avons en tout huit équations. Or, si nous supposons données les équations (S) et (A), qui appartiennent à la surface réfléchissante ou dirimante et à la surface perpendiculaire auxwayonsineidents; nous aurons, pour déterminer (AM), ces deux équations'et les cinq équations suivantes. L’élimination

des coordonnées # En, set) y, z 5 entre ces Tete MN , offrirala relatioñ:demandée.

-Ces! équations sont'suffisantés pour résoudre lés autres problèmes.analognes. Si: l’om demandait , par éxemple; à quelle surfacè sontiperpendiculaires les rayons'incidents qui, après s'étré:réfléchis ou réfractés'sur la Surface (S) , Sont devenus perpendiculaires à (A!) ;5lce serait (A) qu’il faudrait détermiper.paï/l'élimination deË;1n;#,"etæt, y', 21, entre les'sept autres, équations; il faudraitmemplacer les équations (1) par les équatious dé la. normale à:la surface donnée (A!).

Si (S), la surface réfléchissante ou dirimahte; était incon-

nue , ét s’il fallait [a déterminer sous la condition d’avoir les rayons incidents et réfléchis ou réfractés respeetivement perpendiculaires aux surfaces (A) et (A’), on aurait, pour déterminer (S), les équations des deux surfaces , l’équation (2) de la sphère, et les quatre équations (1) des normales abaissées du centre de la sphère sar Les surfaces (A) et (A).

On remarquera que la quantité r., qui représente le rapport du sinus de l’angle dé réfraction au sinus de l angle d’incidence, ne se trouve dans-les équations précédentes qu’à la seconde puissance : on peut donc la prendre indistinctement avec le double signe + ;' et ces deux signes sont relatifs aux deux enveloppes doutnous avôns déjà parlé. Dans le cas de la réfraction c’est le signe qu'il faut prendre avec Ja surface-enveloppeides sphères mobilés, qui est avec la surface normale aux rayons incidents d’un même côté par rapport aux plans tangents à la surface dirimante. Dans le cas de la réflexion c’est le contraire : il faut poser n——7, et lés deux surfaces auxquelles les rayons incidents et réfléchis sont normaux se trouvent'des déux côtés opposés par rapport aux plans tangents à la surface réfléchissante.

Dans le ‘cas particulier où les rayons incidents auraient été émis par un point infiniment éloigné, on peut lés considérer comme perpendiculaires à un même plan, d’après ce qui a déjà été dit précédemment. L’équation (A) devient alors celle de ce plan, et les deux équations (1) appartiennentiau système de droites parallèles qui ont le plan pour trajectoire orthogonale.

Le cas où les, rayons incidents Dent don. point P à distance finie serait. plus simple encore : :on peut effecti ment se passer des trois équations (A) et (1),.en Rec dans les équations (2) et (5), aux trois variables æ,:y,7, les coordonnées constantes 4, b, c, du point rayonnant. Les huit équations posées précédemment seréduisent dinsi aux Cinq suivantes :

(E= 21) FCe—21) fe te |, Dr Eee # Fe

Si l’on cherche (A') au moyen de (S) , il suffit d'éliminer, entre nos quatre équations, les trois variables £,», +, pour former, avecles trois variables-restantes, l’équation (A'). Si l'on cherchait (S) au moyen de (A!) ; il faudrait éliminer les

variables &!, y', £!, et substituer aux deux dernières équations celle de la normale à la surface A} Dans le cas de la réflexion , on ferà n——1.

Il faut TR ‘cependant qu’on particularise Rnguliébee ment la question par les équations précédentes. Pour avoir en effet toutes les solutions que comporte la question quandides rayons passent par un point, il faut les considérer comme normaux à l’une des sphères qui ont ce point pour centre commun.

Applications dé la théorie précédente:

:#Nous nn appliquer les équations pr écédentes à a-quelques ÉRITE particuliers.

Premier exemple.\ Commençons par chercher la trajectoire

k 2e d’un faisceau de rayons lamineux émanés dan

pôñnt et réfractés par une surface plane (uuméro 238).

Pour.plusde simplicité nous supposer oûsle point lumineux à l’origine, et la surface plane dirimante sera considérée comme parallèle au plan dés coordonnées x et y: Les équations entre ‘lesquelles il faudra éliminer £ , 1, £, seront, d’après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent,

ET En nm nn); (a) Ent PPT = Er Aax Je") On obtient, par de-simples substitutions ; na Eniye (in) (d—2) =n [ay (ie).

Cette équation peut encore s’'écrire sous la forme a ne (d= 1) dr(nt Le 1}: