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«pour enveloppe une surface de révolution du second degré; le point donné est. un des foyers de la surface , La perpendiculaire abais- ‘sée de ce point sur le plan des centres est le grand axe ,- êt le pied de la perpendiculaire est le centre de la même surface. Cette propriété A rapportée au plan, fournit une construction extrémement simple des lignes du second ordre.

© Deuxième exemple. On demande quelle doit être la surfacé dirimanté, ‘pour que -les rayons émanés d'an point aillent passer par un autre point après avoir été néant) (Numéro 252.) £

Supposons que le poifit lumineux soit à l’origine des cogrdonnées, et que Le point par lequel devront passer les rayons r'éfractés soit sur l’axe des z, à. une distance c de.l’origine ; les équations du paragraphe précédent’se rédairont sur-lechamp à cette équation ‘unique , qui, sera celle de la surface demandée,

Ge ete oi On peut écrire cette équation sous la forme suivante :

Br

2cn2 cr?

ne

et Von voit évidemment qu’elle appartient à à une sphère. En faisant Leo, 0: on. 0btient pour intersection de cette sphère avec fé‘ plan des & g y, une ligne réelle ou imaginaire , selon que n est plus pétit on plus grand que l'unité : ainsi le point luminéux sera, dans la sphère ou en dehors de cette surface, selon la grandeur du rapport de réfraction. La distance du centre

on = ; et nous avons fait.la distance de- l'ori- 1—7

à l'otigine est gine à son.foyer conjugué égale à c : eh conséquence nous

aurons. z ?

distance du centre, au point lumineux ;

distance du ecntre au foyer conjugué.

Or, le produit.de ces: deux quantités est égal à Ja seconde puissance du rayon de la sphère, (

On conclut de tont cequi précède que,- pour uné surface sphérique réfringente , il-existè toujours deux foyers conjugés tels que les raÿons lumineux partis d’un de ces foyers sont réfractés dans des, directions qui passent par l’autre (x}.Cés' deux foyers sont sur une même droite avec le centre,tet d’un mêmecôté par rapport à ce centre ; de plus , leurs distances à un point quelconque de la/sphère sont dans lé rapport du sinus d’incidence-au sinus de réfraction. £ ‘

I est important d'observer qu’nre partie seulement de la surface sphérique a.pour caustique unpoint : c’est la partie déterminée par un plan mené perpendiculairement à la ligne des foyers’et passant par le foyer intérienr.à lasphère, Pour avoir une solution complète, il faudrait considérer encore la branche dela caustique secondaire relative’ à la partie de la sphère située du côté des deux foyers. Nous avons remarqué, en-effet, que la caustique secondaire d’une ligne se composé généralement de deux branches; c’est ce qui a lieu awssi pour le cercle; mais dans un/cas particulier ; qui est celui qui nous occupe , l’une des deux branches devient un point. La seconde branche ne cesse cependant pas d’exister , et ne pent être isolée du point, si l’on veut avoir une solution complète. Nous verrons plus loin que la seconde branche est une épicycloïde très remarquable.

La sphère n’est pas même la seule surface qui jouisse de la propriété de réfracter les rayons émanés d'un point, de manière à aller converger vers.un autre point. Si les équations que nous avons employées ne nou$ ont donné pour solution qu'une surface sphérique ;: c’est qu’elles n’avaient pas

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(1) V.la Dissertation sur les caustiques , par M, A. De Larive, de Genève, ainsi que les Annales mathématiques.

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