V.sin0.cosr — do (8) — sin 9! . cos 7! . V

Multipliant de nouveau la première par sin x! et la seconde par — cos x!, on trouve, en additionnant,

; ; cos 7! dV' à dV!

Ve sin DS TRE "1" COPA sINrie.

sin 6! dr! de! (9)

— sin 6!.sin x! . V!.

Lorsque V', vitesse du faisceau extraordinaire, est une fonction quelconque de l’ängle (») entre ce faisceau et l'axe, ou lorsqu'elle dépend de la position de ce même faisceau , le,second membre de ces équations est toujours une fonction explicite de 0! et r!: ainsi, en nommant P et Q les valeurs de ces seconds membres , l’on a à la fois

cos x —

sin 9 = JP: © ;'

de manière que et 9 sont exprimés directement en fonction de r' et de !, ce‘qui fait connaître la direction dans laquelle doit émerger un rayonquise meut d’une manière quelconque

dans l’intérieur du cristal.

705. — Il ne s’agit plus que d’appliquer au cas actuel les règles que nous venons d’énoncer. À cet effet nous" poserons g1es q

( pour simplifier ) Vie,

et ( puisque a et #, demi-axes du sphéroïde, sont arbitraires)

b—=—. où = —

be b°

Nous désignerons en outre par, W, le radical V/at cos y b° sin° +.

Nous aurons alors

d—\ 46} "cos y

CM a

Or, dans le triangle sphérique Z Bp, l’on a

Top = "LFB 770"; l'angle p Z B = x, pB=—=»; d’où, par les formules de la trigonométrie sphérique,

cos 9 — cos À. cos #/ + sin 1.sin6!. cos. (10)

Différentiant séparément par rapport à 0! et par rapport

à r!, d cosv ; , Ta —— cos } . sin 9! sin }: cos 6!. cos r', a d cos : x i "4 sin } . sin 6/. sin x',

dr!

Substituant alors ces valeurs dans les différentielles partielles de V! qui se trouvent dans les équations (8) et (9), il vient sin 0 .Cosr — 1 FW2.sin0!.cosr!{a?—b?)cos».sin}(r —cos?r'.sin’9!) abW|. —(a—b)cose. cos }.sin 6! . cos 0! .cos r! sin .sinr—=

1 [ W=.sinb/.sinx!—(a—b?)coso.sin).sinr!.cosx!.sin?6 abWE. — (a — L')coso.cos) sin 8. cos 9. sin r' £

Remplaçons W* par sa valeur D? (a — b*)cos’», en

ious rappelant que la valeur de*cos est donnée par l’équation (10) : noustrouverons alors que les équations précéden-

tes se réduiseut respectivement à

Sin . COS r =

Le = [b?.sin6!, cos x! (a — b*)sin ).. cos o ],

ou, à cause de (10),

: 1 [(a—b?)cos).sin}).cos 0!

abW L +(asin?}6?.cos"))cosx!.sin0/ et - (r1)

; : I 5 à —sin0.sinr——[#?.sin".sinr/].

awWL ]

794. — Ces équations, jointes à celles qui donnent Wen cos, et cos © en 0let r!, fournissent la solution complète du problème dans le cas d’un rayon qui passe d’an cristal dans l'air, et suffisent pour déterminer l’inclinaison du rayon réfracté par rapport à la surface, et celle du plan de ce rayon par rapport à la section principale.

Posons pour abréger

æ cos?) +? sin) =B, ; (12)

(&—b?) sin }. cos1= C.

En divisant la seconde des équations (11) par la première,

il vient

(tr)

ce qui donne immédiatement l'inclinaison du plan d’émer-

gence sur la section principale, ou, comme bn l'appelle quelquefois , l’azimuth du rayon émergent.

795. — Réciproquement , si l’on voulait trouver l’angle de réfraction et l’azimuth du rayon extraordinaire qui a pénétré dans le cristal, au moyen de l’angle düncidence et de l’azimuth du rayon au moment où il touche la surface, on exprimerait 9! et r! en fonction de 0 et de r ; ce qui peut se faire comme il suit :

Prenons

æ—=tang 6. cos r!, y —=tang0!. sin r"; d’où

a? + y? = tang* 6! et eos’ 6! =

b? y Az+C

{ang —

Or, puisque W2 = 2 + (a — b?) cos’ »

b cor of, + (a — b®) (cos) sin) :tang0!. cos “>|,

cos’ Ü!

là seconde des ‘équations (11) devient, en élevant tout à la seconde puissance ,

(sin6 .sinx) L 2

os°0!

+ (a® — b?) (cos). + sin} . tang6! . cos =ÿ1

b° A nr: (tang 0! sin r'} ;

ce qui donne 2,(ç1 f 2 B (+ +) | —— h2 72 ? EN MTUES Ca spa zone les sr ou, en développant, a (sin6 . sin rY [A LC +B + y] = y:

$ Or l'on a y Bee tang r ?

d’où b2'y C

7 Atangr À * En’substituant, on verra que cette équation est de la forme

pY +q=—=o,

et donne par sa résolution & .sn0.sinr =tang nr = hUYYJYppR =.

2 8 | en A— a. sin? 6 (Asin? rh? cos?r) (14) Reportant cette valeur de y dans celle de x, il vient

æ'= tang 6!. cos x’

RS RE CORRE" CRU — À ‘WA &.sin 6 (Asinr-bcosr) A (15)

: Ces équations, sont identiques avec celles qu’a démontrées

Malus dans sa Théorie de la double réfraction, si ce n’est

quelques légères différences dans la notation.provenant de ce

que nous avons compté les arcs + êt r’ d’un point dans le

cercle, opposé à celui que Malus à pris pour point de dé-

part.

796. — Les valeurs de A, B, C, dépendent uniquement de a; b,}, c’est-à-dire de la nature même du cristal, qai détermine le rapport des axes du sphéroïde de double réfraction et l’inclinaison de l'axe sur la surface qui reçoit le rayon incident. Les deux premières quantités.sont} constantes pour

chaque espèce de cristal, la dernière est constante pour une surface donnée : il en résulte que la loi générale de la réfraction*extraordinaire, en ne considérant que la-position de la

surface par rapport à l’axe du cristal, se subdivise en plusieurs lois particulières , dont nous aHons discuter les plus importantes.

797. — Premier cas. Quand } = o, la surface est perpendiculaire à l'axe, Ab, B—«, C—o, et les équations (14) et (15) deviennent

: hs sin 9 .sin + £ a T tang6/,.smr =-.——— ro b ”

1 —« . sin? 0

Re sin 0 .cosr tang 0! : cos r' — a —

b Vi «sin 0 Ces équations [ainsi que (13)] donnent r'= x : de sorte que , dans ce cas, le plan de réfraction est le même que le plan d’incidence, et le rayon extraordinairé ne sort point du plan vertical. Ainsi l’on a simplement

b a — @ sin? 4

Telle est la formule qui exprime dans ce cas la loi de la réfractionextraordinaire. Si 6 — 0, ona ÿ—0 , c’est-à-dire que le rayon incident perpendiculaire glisse le long de l'axe saps se réfracter.

Si9—=go,ona

tang 9

ce qui.devient, en posant

I if b=-, a= — > 172 [72 f tant Hs (17) ang:6/— LT uit 8 ; \17