CAT

EHNREL 2

f=Az+By+C:z, f! = A! z+ By C'z; PP Az À Br y LC,

réspectivement parallèles aux axesides 2, y; z, et dont les coeflicients ; indépendants de «, 8, y, sont assüjettis aux conditions

IF

B: + B'2 — B — b° F C: + Ce —- C2 —=.€.

Mais on a

TE=TrCOSe, Y—=T.Cos BP, z—7r.cos y:

de manière qu’en posant

f =r(A cos « + B cos 8 + C cos y), Pr (A cos « + B! cos, 6 + C' cosy), fr = r (Acos & “+ B’ cos B + C' cos >),

la résultante de f, f', f”, sera la force qui agira sur la molécule déplacée. :

999. — Ces forces agissant dans le sens des coordonnées, chacune d’elles peut être décomposée en deux autres, l’une dans la direction du déplacement r, l’autre perpendiculaire à celle-ci : la somme des premières sera

F = f.cos «+ f'.cos 6 + f”. cos y,

qui est la force totale tendant à ramener directement la molécule dans’sa position d'équilibre. Les autres seront respéctivement égales à

f.sine,,fl.sinf et f". sin;

mais, comme elles n’agissent pas dans la même direction , quoique situées’ dans le même plan , elles ne peuvent s’entredétruire à moins d’être dans le même rapport que.des, sinus des angles entre leurs directions : or il'est évident.que, «, 8 et y, élant arbitraires, cétte condition ne peut être satisfaite, en général, puisqu'elle fournit deux équations qui,, jointes à larelation

cost # — cos? 6 + cos y —,1;

suffisent pour déterminer «, 8 ety : d’oùilsuit que,

« Excepté dans certains cas particuliers, la molécule dé- « placée est poussée par les forces élastiques du milieu dans « une direction oblique par rapport à celle de son déplace-

« ment. »

1000. — Frésnel fait observer à ce sujet qu’en général,

« Chaque milicu élastique a trois axes rectangulaires tels « que, si une molécule est déplacée dans leurs directions, la « résultante des forces moléculaires qui agissent sur elle se « trouvera dans la direction du déplacement, »

Ce:sout là les cas d'exception dont nous venons de parler, Ces axes, que Fresnel regarde comme les véritables axes du cristal; portent le nom d’axes d’élasticité.

Pour démontrer la:propriété dont ils jouissent, nous ferons

observer qu’en vertu des règles de la mécanique, pour que

la résultante: des trois forces rectangulaires f, f , f", fasse avec leurs directions les angles «, 5, y, et coïncide par conséquent avec r, il faut que ces forces soient entre elles comme les cosinus dè ces angles ; ce que l’on exprime par les équations suivantes +

PÉ. ZA ços er from Neo". fn "9 Go:

fs Be fr eco 72 17 cos y

Ces trois équations n’expriment réellement que deux conditions. En les combinant avec la formule trigonométrique

ep.

[se |A |

cos” & +. cos £ Æ cos’ y — re

éllés’suffisent pour assigner «, 6 et y, et fournissent les équations suivantes, u, 0, w, désignant les cosinus de ces au-

gles :

(A u+B vo —+C w)w— (A"u + Bo + C'w)u,

(Alu Br Æ C'w)w = (A! u Æ BE C''w) », dE Em =

auxquelles chaque axe d’élasticité doit satisfaire.

1001. — Supposons qu’en éliminant on:ait déduit de ces équations la position d’un axe d’élasticité, il s’ensuivra nécessairement qu’il doit en exister encore deux autres perpendiculaïires entre eux.

Pourle prouver, nous allons éxaminer la connexion entre les forces partielles développées par le déplacement de la molécule M , et les attractions et répulsions/moléculaires du milieu. : ,

Soit 9 l’action d’une molécule quelconque d'm ,\exercée sur M,dans la directionide la droite quijoint ces molécules, et fonction de leur distance mutuelle p. En regardant M comme déplacée d’une quantité 0æ, à y,0z, infiniment petite par rapport à.p, dans le sens de chaque axe coordonné, il viendra

En nn nl dr (Soet+lirgie) 7e; et, posant enr = COS), COS, cos),

on aura pp (ÿx. cos) 5y.cosp—iz cos »):

conséquemment, puisque la force dela molécule dm, décomposée dans les directions des coordonnées , est respectivement égale à

æ 7. z nue @+ôsdm., G+èné Gi la somme de toutes ces valeurs dans toute l’étendue du milieu sera l'action totale sur M ÿ mais, puisque dans sa position primitive la molécule M'est en équilibre ; nous avons

æ z fedm.—-=0o , Jodm.£—=o, fodm.=—0:

p P er de’sorte qué l’action totale du milieu sur M, Se le déplacernent, sera, dansles trois directions,

Dh Gr SE z fediree JEtm.se, f£dm.se,

c’est-à-dire , dans la direction de x,

J v' dm (cos à. 5 æ cos u.5y cos? ».ù2),

èæ, dy, 0z, étant les déplacements partiels de M dans les directions des coordonnées, et par conséquent les mêmes que nous avons dénotés à art. ,998 par æ, y,.2. Reprenant ces dernières dénominations, l’on voit qu’en verlu de l'hypothèse précédente, la plus naturelle qu'on puisse faire sur le mode de l’action moléculaire , les coeflicieuts A, B,C, ne peuvent être autres que

A = fo! dim éos?,7, B.— [9 dm :1cos À à: cos y,

CG= $f 9! d'm . cos À + cos ».

On trouve, par un raisonnement semblable, A1 = f[ ÿ dm. cos À COS y; Br" d mi cos pe), RAT cs pic.

A = f° gd m: cos} cos », B' = fo" d m . cos y cos »,

GC fet dm. 005»,

ce qui exige la relation suivante entre ces coefficients +