B= A', CA", C'— PB

1002.— Cela posé, admettons que l’un des axes d’élasticité du milieu soit déterminé à l’aide des équations précédentes, Puisque les positions des axes des coordonnées sont encore arbitraires, il nous est permis de supposer que l’axe des x coïncide avec l’axe ainsi déterminé. Cette hypothèse rend

Al = AE) 0" et conséquemment BON Us 0 et Dr CG,

parce que les relations démontrées plus haut sont générales, . et indépendantes de la situation particulière des axes. Les équations de l’art. 1000 deviennent alors

A'urot=n (Bo Cu) ue, Auw—(B'v—+C'x)u,

(B' 04€ w) mi (No D Eu» , ur + 2 + WU.

+77 Maintenant, si l’on pose

üu — O0 où «a — 90°,

les deux premières se trouvent satisfaites, sans supposer aucune relation entre v et w : de manière que, si l’on détermine ces inconnues au moyen des deux dernières équations uniquement, toutes les conditions se trouveront remplies. En éliminant dans l’hypothèse de u — o, il vient

se alpes:

=-l2Gz Fe):

m étant égal .à

Or, me étant essentiellement bositif, 4 # "1 l'est aussi et

> 1: donc Pret

w? et? sont positifs, réels et moindres que l'unité; il s'ensuit

estréel et < 1, et conséquemment

qu'il y a toujours deux axes perpendiculaires à ‘celui des x qui satisfont aux conditions des axes d'élasticité. Les signes contraires de v et de w montrént.en outre qu'ils sont perpendiculaires entre eux.

1003. — Nous sapposerons donc, pour plus de simplicité, que les axes coordonnés coïncident avec ceux d’élasticité, de sorte que

A, Ne At 0; B'—p; BE"#0;

= EN CP ME UNE ‘Cr: 12

ce qui donne alors, en vertu de l’art. 998, pour expressions des forces partielles TE ane rcosxs Piibèyi =" hr\cosip;

fLENCNZI NC COS;

et, en vertu de l’art. 909, F=7r («a cos « Lb cos 6 c cos’ y)

pour valeur totale de Ja force qui ponsse la molécule M dans la direction de r. On observera que cette expression est géné-

rale , et que a = fo! dm. cos? }, b=f3'dm.cos y,

cz fo! dm. cos ».

1004. — Fresnel conçoit ensuite une ‘surface qu’il nomme la surface d’élasticité, construite d’après la loi suivante :

Sur chacun des axes d’élasticité et sur chaque rayon vecteur ramené dans toutes les directions, prenons uue loigueur, suivant ce rayon, proportionnelleà la racine carrée de l'élasticité qu’exerce le milieu sur la molécule déplacée, c’est à-dire à L/F. En nommant R cette longueur ‘ou le rayon vecteur de

la surface d'élasticité, on aura R2= (ar. cos’ « + br. cos’ 6 cr . cos y) X const.

Les valeurs de R parallèles aax axes sont données par les équations .

R="«r*, const,

.R° —=br. const,

R:=cr. const.

quantités que nous désignerons simplement par &, b?, c*, sans faire usage désormais des dénominations précédentes : de sorte que l’équation de la surface d’élasticité prend la

formé BR = a. cos X + b?. cos® Y HE «?. cos? Z,

X,YŸ, Z, remplaçant alors &, B, y.

1005. — Imaginons maintenant une molécule déplacée qui vibrant dans la direction de R, est retenue dans cette direction, ou du moins s’en écarte assez peu pour qu'il soit permis de négliger ses excursions dans le sens perpendiculaire'au rayon vecteur : alors la force d’élasticité qui règlera seswibrations sera proportionnelle à R?etla vitesse de l’onde lumineuse propagée transversalement (ou perpendiculairement à R) sera proportionnelle à R : de sorte que, la surface d’élasticité étant donnée, la vitesse d’ane onde transmise par le milieu dans ane direction donnée et dans un plan de polarisation donné, s'obtiendra de la manière suivante :

Menons une ligne droite parallèle à la surface de l’onde et à angles droits sur son plan de polarisation, cette ligne sera la direction des vibrations qui propagent l'onde; menons un rayon vecteur de la surface d’élasticité qui lui soit parallèle, et ce rayon représentera la vitesse de l'onde.

1006. — En écrivant , au lieu de

R, cos X, cos Ÿ , cos Z,

leurs valeurs en fonction des coordonnées , l'équation de la surface d’élasticité devient

a +yr+r} = emtLhpLez:

c’est donc en général une surface du quatrième ordre. Si nous I. 12.

he. Héros €

la supposons coupée par un plan qui passe par son centre., et dont l'équation générale est par conséquent de la forme

; Less many +pz—=0o,

la courbe d’intersection sera une espèce d’ovale,

1007. — Supposons maintenant une molécule qui vibre dans ce plan : à chaqne période de vibration elle ne sera point poussée directement vers son point de repos, mais obliquement, de manière qu’elle décrira no» pas une ligne droite, mais une courbe plus ou moius compliquée. Néanmoins son mouvement sera toujours décomposable en deux autres rectilignes ét perpendiculaires entre eux, l'un parallèle au plus grand et l’autre au plas petit diamètre de la section: Chacun de ces mouvements vibratoires s’eflectuera indépendamment de l’autre, et par conséquent l'impulsion propagée au travers du cristal affectera chacüne de ses molécules de la même manière qué le feraient deux vibrations séparées, indépendantes ét perpendiculaires entre elles, mais propagées avec des vitesses différentes : conséquemment , chaque système d'ondes propagé du dehors au dedans du cristal se décomposera, à son incidencé, en deux autres, propagés avec des vitesses différentes et polarisés dans.des:plans qui se croisent à angles droits, c’est-à-dire dans des plans respectivement parallèles au plas grand et au plus petit diamètre dela section de la surface d’élasticité parallèle au plan de chaque onde. Comme toute différence entre les vitesses de deux ondes propagéts para!lèlement dans uu milieu produit une différence correspondante entre leurs plans -au moment où elles émergent dans un autre milieu où elles prennent une vitesse commune, ces ondes cesseront d’être parallèles à leur sortie, ét les'rayous qui leur étaient perpendiculaires s’inclineront*lun vers Vautre, en produisant ainsi les phénomènes de la double réfraction. Il est évident que les ondes, à leur émergence, doivent conserver les plans de polarisation qu’elles ont pris dans le cristal,

101] parce que chaque molécule du milieu extérieur se mouvra seulement dans le plan où l’aura poussée la molécule éontiguë du milieu qu’elle vient de quitter.

1008. — Cette théorie explique parfaitement la: bifurcalion da rayon émergent et les états opposés de polarisation des deux faisceaux. Ces faisceaux coïncident en direction , et ne subissent que: la réfraction simple lorsque! la section de la surface d’élasticité, dont nous avons parlé plus hont, est un cercle, parce qu’alors , tous les rayons vecteurs étant égaux, l'élasticité est la même dans toutes les directions , et que toutes les vibrations ont des périodes égales ; de sorte que, dans ce cas , la résolution de l’onde incidente en deux autres ne peut plus avoir lieu , et que son plan de polarisation demeure invariable : or la section dont il s'agit devient ux cercle lorsque

ay Hz TE ir à ou que ea Æ b 7° + c 22—rT Combinant ces équations avec maæLny+pz=o, il vient NC + y: + 2), pri r2 [pt a + >? + (m æ + n ÿ}]:

pré pt a a ph} Lo(matny.

Egalant ces dernières, et faisant attention que l'équation résultaute doit se vérifier indépendamment des valeurs particulières de æ, y, il vient

er

nd

Le R « fe