ÉTAT

ri (m2 p°) = p° + m£ =.

MNTI=IMmNnC", r2 (p° n°) — b2 p° re €.

Ces équations ne peuvent être satisfaites que par l’hypothèse de l’évanouissement de l’une des quantités m, noup, c’est-à-dire par la coïncidence de la section dont il s’agit avee

l’un des axes. En supposant m —0, il vient ñn\2 Ad b?

: n\° : ce qui montre que ( ne saurait être positif, et que par P : LL À LUS : conséquent p ne peut être réel, à moins que &, demi-axe de

la surface par lequel passe la section, n’ait une longueur moyenne entre celles des deux autres demi-axes b'et c.

1009. — El paraît donc que la surface d’élasticité admet seulement deux sections circulaires formées par des plans diamétraux passant par un axe moyen de la surface. De plus,

: n : 2 ‘ à puisque - a deux valeurs égales, mais de signes contraires, p

ces sections sont également inclinées sur chacun des deux autres axes. Leurs normales sont les axes optiques du cristal, suivant lesquels il #’y a pas de réfraction. Il y aura donc deux de ces derniers, et deux seulement, dans tous les cristaux

qui possèdent trois axes inégaux d’élasticité.

1010. —- La position de ces axes dépend entièrement des valeurs de a, b, c, démi-axés de la surface d’élasticité. Cependant uous n’avons pas d'autre mesure de l’élasticité du milieu que la vitesse des rayons qui le traversent. Or, les phéno-

mènes de la dispersion ordinaire. sembleut: indiquer que les rayons de différentes coulcurs sont propagés dans le même miliea, avec des vilesses unvpeu différentes, ce qu’on explique à l'aide de certaines suppositions relatives à l’étendue de Ja sphère d'action des:molécules du milieu, comparée aux longueurs d’ondulation. Si l’on admet cette différence, on doit prendre les demi-axes a, b, cproportionnels aux vitesses de propagation ct variant avec les longueurs des ondes. Or, cette varialion peut ne pas avoir le même rapport pour les trois demi-axes'; ce qui ferait varier les valeurs de 2, Mais 5 est la tangente del’inclinaison du plan de la section vers celui des æ y, ou de la moitié de l'angle compris entre les deux sections circulaires, c’est-à-dire la cofangente de la moitié de l’angle entre les axes optiques. Ce dernier deviendra donc variable, et donnera lieu à la séparation des axes de différente coùleur et à leur distribution, sous un certain angle, dans le plan qui en contient deux quelconques de la même couleur; ce que l’on observe effectivement (art. 921 et 922).

| 1011. —Les lois générales de la double réfraction se dé- | duisent de ces principes avec la plas grande facilité. Il suffit de reprendre. la construction et le raisonnement employés art. 806, 807 et suivants., de substituer à l’ellipsoïde dé révo= lution qui, das la théorie de Huyghens, est la figure de l'onde provenant d’une molécule quelconque du cristal, la surfa= ce qui, dans le cas, général, termine toute onde propagée de cette.manière, et dechercher le point de contact I (fig. 170) de cette surface avec un plan I KT passant par la ligne KT menée comme l’avons dit à ces articles. Il y'a cependant cette différence entre les deux. axes, où du moins entre les’ deux maniè-es de les traiter, que dans la théorie de Huyghens la forme,de l'onde est prise arbitrairement, tandis que dans celle<ci on la détermine a priori. C’est pourquoi nous devrons nous départir à certains égards de la marche que nous avions

adoptée d’abord. Si l’on connait à priori la forme deJ’onde, on connaît la position de son plan tangent. Réciproquement, sil’on peut apriori assigner ce plan pour un point quelconque, l'onde qui doit toucher’ tous ces plans sera déterminée sous les conditions particulières au cas que l’on discute.

1012. — On a vu à l’art. 807 que lé plan tangent coïnei= de toujours avec la position que prend, dans lé cristal, la surface d’une onde plane, indéfinie, émanant d’un luminaire infiniment éloigné et perpendiculaire à laligne d’ineidence RC. Il suit de plus de l’art. 81 1 que, si l’on counait la vitesse avec laquelle ane pareille onde avance dans le cristal, dans une direction perpendiculaire à la surface de ce milieu , on peut calculer son inclinaison sur la surface d'indicence par la loi de réfraction ordinaire, en prenant un indice qui soit à celui du milieu ambiant comme la vitesse de l'onde, avant l’incidence, est à sa vitesse dans le milieu, dans le sens perpendiculaire à sa propre surface. Il faut se rappeler ici la distinc-. tion faite à l’art. 815'entre la yitesse de l'onde et celle du rayon qui l'accompagne et qui est généralement oblique à sa sur face. Or, la vitesse de Foude dans le milieu suivant une direction quelconque est donnée par l’équation de la surface d’élasticité, dont le rayon vecteur sert à la détermintr dans tous les cas. Il a été démontré, d’ailleurs, que chaque vibration imprimée aux molécules du cristal se décompose en deux autres rectilignes et propagées avec des vitesses proportion= nelles au plus grand et au plus petit d‘amètre de la section de la surface d’élasticité parallèle au plan de ces deux vibrations. Mais, pour ce qui concerne la double réfraction, il est indifférent de regarder la bifurcation comme ayant lieu par la sé paration d’un faïscéau extérieur en deux autres intérieurs, ou par celle d’un faisceau intérieur en deux autres extérieurs. Nous choisirons ce dernier cas, et nous supposerons que les ondés, ordinaire et extraordinaire; soient parallèles dans le cristal. :

Voici comment nous pourrons alors assigner leurs vi-

tesses :

L’équation de la surface d’élasticité étant R4— @ x? + 7 + ce 5, si l'on prend pour équation d’un plan sécant z2=matny,

et qu’on pose V— le rayon vecteur maximum ou minimum de la surface de la section dont il s’agit, V sera la valeur de R qui rend d R — 0, et s’obtiendra , par conséquent , en éliminant entre les équations

V= x y Lz, Vi=ezm Lhyp+ez, z=mabny,

et lears différentielles prises dans l'hypothèse dé Y constant. Cette élimination’, assez compliquée du reste, doit être effectuée comme :il suit: D'abord, si l’on élimine d +, dy, dz, entre les équations différentielles, et que l’on écrive, au lieu de 7, sa valeur daus tout le système ; il vient, en posant

p=r—b, q=é—e, rh:

Vi (a me) L(pLne)ÿ Lamnery, V= (+) a (ri bn) ya mnary, o=mnqu mur} +key, k ayant pour valeur

p+nq—mr=(i Hn)g—(iEm)r.

el || |

CR MER ‘a Z

“lo Ie

ces équations donnent, par élimination ; en faisant M=#Lémnmaqr:

Ma —V:(Vi—e)[(r + n)k Lam 1] —rkV?,

My = — V(V—c)[(i Em) k— 2m n° q] +rgq V:,

May=— mnl(i+n) g+ (1 4m) r] V: (VW: — e) —+2mngr V?.

Enfin, en égalant le carré de cette dernière au produit des deux autres et en opérant toutes les réductions, on trouve, pour déterminer V,

MD) VB) ENS 2) to:

m2 (VW — &) (V2 — ©)

1013. — Les racines de cette équation donnent les valeurs maximum et minimum du rayon vecteur dans le plan de la section, et par conséquent les vitesses des ondes, ordinaire et extraordinaire, qui se meuvent parallèlement entré elles dans le cristal. Il est aisé d'en déduire la figure de l’onde : car la surface de celle-ci doit toucher constamment un plan qui se trouve à la distance V du plan sécant, dont l'équation est

z=maxtny,

quelles que soient d’ailleurs les valeurs de m et de n.

La recherche de cette figure se réduit done à un problème de pure géométrie : Assigner l’équation d’une surface courbe qui touche tous les plans parallèles à celui dont l'équation est z:—mæ—Lny, et qui s’en trouve éloignée d’une quantité V, fonction de m et de n donnée par l'équation précédente.

La résolution de ce problème fournit l’équation suivante:

{a Lhry Lez) (a? Æ y 2) + & b2 c? l Le — a (b2 He) — (a +) 7° ee (a+ 6) 2 Eire

1014. — La surface représentée par cette équation est, en général, du quatrième ordre, et se compose de deux surfaces ou nappes distinctes. Le contact de l’une d’elles avec le plan en question détermine la direction du rayon ordinaire , et celui dé l’antre avec le même plan celle du rayon extraordinaire. Or il importe de remarquer que, tant qu’on n’attribue pas des valeurs particulières à a, b,c, celte équation n’est pas décomposable en facteurs quadratiques; de manière qu'aucune de ces nappes n’est sphérique. ou ellipsoïdale, et que les rayons, ordinaire et extraordinaire, ne suivent ni la loi de Descartes ni celle de Huyghens. Ce fait est trop remarquable pour qu’on ait négligé de le vérifier. Fresnel a employé deux méthodes pour le soumettre à l'expérience. La première consiste à mesurer directement les vitesses. des deux rayons dans des lames de topaze taillées suivant des directions différentes par rapport à leurs axes, en employant la méthode décrite aux articles 738 et 739. Puisqu’une différence de vitesses entre les rayons interférents déplace les franges diffractées, comme le ferait une différence d'épaisseur, si dans deux lames taillées différemment, mais d’une épaisseur absolument égale, les franges formées par les rayons ordinaires sont déplacées différemment, quand les lames sont cômbinées l’une après l'autre avec une même lame de verre ou de tout autre milieu pris pour terme de comparaison, il est clair qu’alors leur vitesse ne peut être la même dans les deux lames. Per conséquent, si l’on observe une telle différence dans les frangés formées par l’interférence des rayons ordinaires et extraordinaires, il ne saurait'‘y avoir de vitesse constante. Pour s'assurer de l'égalité d'épaisseur, on cimente ensemble deux lames bord à bord ; puis, après les avoir polies de cette manière, on examine soigneusement leurs surfaces

pour s'assurer de leur parfailé continuité; ce qui se. fait au moyen de l'image réfléchié d'un objet éloigné, et d’une manière plus précise encore , en appuyant légèrement une lentille convexe de long foyer sur la ligne qui les joint. Si les anneaux colorés formés entre les surfaces ne sont pas interrompus , On est sûr, que ‘Ja condition cherchée est rigoureusement remplie. L'expérience étant faite de cette manière, Fresuel la trouva conforme à la conclusion que lui avait fouruie sa théorie ; mais, pour s’assurer encore davantage de ce résultat, il eut recours à la méthode suivante,

1015. — Dans la topaze, la réfraction extraordinaire est plus forte que l’autre; de manière que, lorsqu'on fait usage d’un prisme de cette matière, le rayôn ordinaire se reconnaît sur-le-champ par sa moindre déviation. Fresnel se procura deux prismes provenant de la même topaze dans lesquels la base était parallèle aux plans de clivage, et par conséquent perpendiculaire à la fois à la ligne qui partage l’angle entre les axes optiques en deux parties égales, et à la section principale du cristal, c’est-à-dire à l’axemoyen d’élasticité. Mais dans l'an de ces prismes, le plan de l’anglé réfringent coincidaitavec cette section, tandis que dans l’autre ce plan lui.était perpendiculaire , puisque c’est dans ces plans que la différence entre les vitesses du rayon ordinaire est la plus grande, comme il résulte évidemment de ce qui a été dit plus haut. Ces prismes furent cimentés face à face, ensorte que leurs bases se trouvaient dans un même plan, et leurs arêtes en ligne droite. Alors on les polit soigneusement , afin de rendre leurs angles tout-à-fait égaux.

Dans cet état, le prisme composé A B C, fig. 199, 1 (vu en ptrspective, fig. 199,2), dont d'angle réfringent A B C était d'environ 92°, fut achromatisé par deux prismes de crown-glass C B A et D CA. Il resta cependant une légère couleur non compensée en faveur du prisme de topaze. Regardant alors au travers de la face EB, on fit tourner tout

le système autour de l’arête réfringente prise pour axe de rotation jusqu’à ce que l’image d’un objet éloigné (une ligne noire sur un fond blanc) parût stationnaire ; ce qui prouve que les rayons réfractés des deux espèces avaient traversé le prisme presque parallèlement à sa base ou perpendiculairement à l'axe de moyenne élasticité, maïs dans les plans différents que nous avons déjà signalés.

Or, on observa que l'image la moins réfractée de la‘ligne noire, c’est-à-dire l’image ordinaire, étant plus déviée dans l'un que dans l’autre prisme, paraissait rompue à leur jointure tandis que l'image la plus réfractée, c’est à-dire l’image extraordinaire, formait une ligne continue. Ce dernier phénomène peut.faire soupçonner, au premier abord, que l’image extraordinaire a été prise pour l’autre par erreur ; mais on reconnaît bientôt qu'il n’est qu’une conséquence de la théorie à laquelle il sert ainsi de confirmation.

1016. — Lorsque deux des axes d’élasticité, het c par exemple, deviennent égaux, l'équation générale de la surface de l’onde se décompose en deux facteurs , et prend la forme

(æ° y +2 HE b?) [a? à? + b2 (y2 + 2) — 2 b2] 10)

ce qui est le produit de l'équation d’une sphère par celle d’un ellipsoïde de révolution. Alors, les deux sections circulaires coïncident avec le plan des y z, et les deux axes optiques avec l'axe des æ. Ce cas est celui des cristaux à un axe, et fournit la démonstration à priori de la loi des ondulations elliptiques de Huyghens pour l’oude extraordinaire dans ces cristaux : et de la constance de l’indice de réfraction pour l’onde ordinaire.

La manière dont ce résultat ressort comme corollaire du cas général est à.la fois élégante et rigoureuse.

1017. — Fresnel donne, pour la surface de l’onde dans le cas d’axes inégaux, la construction suivante, qui établit une relation immédiate entre la longueur et la direction des diamètres. Concevons un ellipsoïde ayant les mêmes demi-axes a; b, c, que l'onde : après lavoir coupé par un plan diamétral, menons à partir du centre deux droites perpendiculaires à ce plan et respectivement égales au plus grand et aa pins petit demi-diamètre de la section. Les lieux des extrémités de ces perpendicalaires seront les surfaces des ondes ordinai. res et extraordinaires ; ou , en d’autres termes, ces longueurs seront celles des demi-diamètres des ondes dans ces directions, et serviront, par conséqueut, de mesure à la vitesse des rayons ‘de lumière, de même que les demi-diamètres dans l’ellipsoïde de Huyghens sont proportionnels aux vitesses des rayons extraordinaires qui se trouvent davs leurs directions.

1018. — Enfin, si l’on divise Funité par les carrés des deux demi-axes de la section diamétrale de lellipsoïde, la différence de ces fractions sera propertionnelle au produit des sinus des angles que la perpendiculaire à cetle séction fait avec les

- deux normales aux plans des sections circulaires de l’ellipsoïde. Or, dans tous les cristaux connus jusqu’à présent, ces sections circulaires différent très peu de celles de la surface d'élasticité , et peuvent être supposées en, coïncidence avec elles, sans erreur sensible. Les normales en question peuvent donc être prises pour les axes optiques du cristal. C'est là l'origine de la loi déduite des lemniscates colorées, qui suppose Ja différence des valeurs inverses des quarrés des vitesses proportionnelle au produit des sinus des angles entre le rayon et les axes optiques.

Les phénomènes des anneaux .polarisés sont ramenés de cette manière aux principes généraux.

1019. — Telle est la belle théorie de Fresnel et de

Youg (1). Des phénomènes nombreux et compliqués , déduits, d’une hÿpothèse clairement établie, par la seule puis, sance de l’analyse, et par des calculs trop longs pour qu’on pt en prévoir le résultat , tels sont les titres que présente ce système pour être admis au nombre des vérités démontrées. On jugera maintenant , par ce que nous én avons fait connaitre , s'il mérite les éloges que nous lui avons donnés dans un autre paragraphe.

1020, — Les axes d’élasticité sont ceux que Fresnel regarde comme les axes fondamentaux d’un milieu biréfringent. On ne peut regarder comme tels les axes optiques, pour une foule de raisons. Premièrement, ils sont rarement symétriques par rapport aux lignes fondamentales dans la forme cristalline ; secondement , ils varient de position selon la couleur de la lumière incidente; troisièmement , on a trouvé que leur situation change avec la températnre, la couleur restant la même. Ce fait important a été reconnu par M: Mitscherlich, et nous aurons bientôt occasion d’en parler. Il suit de là qu'on ne peut les regarder que comme des lignes secondaires, auxquelles on ne peat supposer aucune propriété a priori, mais qui satisfont simplement à la condition v —%!— o, en vertu des lois qui règlent la forme de v et de v', vitesses des deux rayous, et qui-donnent leurs valeurs en fonction de quantités que l’on peut regarder comme fondamentales pour un rayon incident déterminé. Les axes d’élasticité eux-mêmes peuvent, à'la rigueur, être regardés comme de simples conséquences des équations de l’art. 1000, et être conclus de données moins

(1) On ne pourrait sans injustice séparer les noms de ces deux grands physiciens , car leurs travaux sont tellement liés dans chaque partie du système ondulatoire, qu’on ne peut distinguer ce qui est dû à la pénétration et à la sagacité de l’un, de ce qui est le fruit du jugement profond et des expériences décisives de l’autre. ;