I 1 CH TRES

(que nous appellerons:#) est alors positif, et le carré dela, vitesse , ou

v? 2 sin? 0 - 1 . re (en posant v = 5 = la vitesse du rayon ordinaire dans, le

milieu) , s'accroît par l’action du miliéu et a son minimum sur l'axe. Pour les cristaux négatifs, le coëflicient 4 est négatif, a >> b, c’est-à-dire que le sphéroïde est aplati, et la-vitesse du rayon extraordinaire a son maximum dans la direction de V’axe : coniséquemment. dans lesrcristaux positifs l'indice de réfraction ordinaire (x) est moindre -que celui de réfraction extraordinaire; c’est‘le contraire dans les autres. A la pre-

miére classe appartiennent le quartz, la glace, lé zircon, | l’apophyllite uniaxiale ; à la seconde, le spath d’Islande , la tourmaline , le béril, lémerande, l’apatite, etc. La classe négative est, jusqu’à présent, beaucoup plus nombreuse que la classe positive. On doit à M. Biot cette division des cristaux, tant naturels qu’artificiels, en positifs et en négatifs.

804. — Dans la doctrine ondulatoire la vitesse de la lumière a une valeur inverse de celle qu’on lui attribue dans le système. corpusculaire : elle est par conséquent directement proportionnelle au rayon du sphéroïde de double réfraction. Ainsi une onde propagée dans un cristal , à partir d’un point quelconque , doit parcourir, dans tous les sens et dans le même temps, des espaces proportionnels aux rayons du sphéroïde parallèles à ces espaces, et par conséquent, à un instant donné, la surface de l’onde entière sera.semblable à l’ellipsoïde de double réfraction. Telle est l’idée de Huyghens : elle suppose que le cristal, ou l’éther dont il est pénétré, est doué d’une élasticité variable suivant les directions. Cette hypothèse n’est rien moins qu'impossible ou improbable quand on attribue cette différence d’élasticité aux molécules mêmes du corps solide; mais, si l’on fait dépendre la propagation de la lumiere de l’élasticité de l’éther seulement , il faut supposer que ,' dans les cristaux, les molécules de ce fluide sont dans un état différent de celui où elles se trouvent dans l’espace

libre. On peut les concevoir liées en quelque sorte avec les particules solides (comme dans le cas où elles formeraient des atmosphères autour de celles-ci) ou soumises à des lois d’action mutuelle analogues à celles qui régissent les molécules matérielles dont elles partageraient la disposition cristalline et la dépendance réciproque.

805. — Pour ne point dépasser par de nouvelles applications les limites que nous nous sommes fixées, nous renverrons le lecteur qui désirerait approfondir cette partie de loptique à

l’ouvrage de Malus intitulé Théorie de la double réfraction, que nous avons déjà cité souvent et qui a remporté le prix de mathématiques à l’Institut de France, en 1810. L'analyse la , plus profonde s’y trouve jointe à d’excellentes expériences, et sous ce rapport, il mérite d'être regardé comme un modèle dans ce' genre. On y verra la théorie de la réflexion du rayon extraordinaire à l’intérieur du cristal, phénomène qui offre plusieurs particularités remarquables, et la recherche des foyers de lentilles construites avec des milieux biréfringents. Nous nous contenterons de donner ici les résultats des calculs de Malus dans le cas d’une lentille biconvexe ‘dont l'axe de double réfraction est le même que celui de la lentille.

Soient :

r, r', les rayons des surfaces antérieure et postérieure de la lentille ;

d la distance entre l’axe et le point rayonnant ;

a, b, les rayons équatorial et polaire du sphéroïde de double réfraction ;

D la distance du foyer conjugné des rayons extraordinaires derrière Ja lentille ;

A, la longueur focale extraordinaire dans le cas des rayons parallèles ;

F la longueur focale ordinaire dans le même.cas- L'expression générale de D est alors

pis æœ bdrr!

D dr) (be —æ@b)—«æbrr?

— brr!

À EN ET tee Le ({r+rt) (1 — b)

Sila lentille est équiconvexe, r —7", et

pÉs KA a brd To 220 —& —@b)d— & br!

æbr AE — ©, 2 (20 — & — «& b) Luc br HE)

a — lb A—EZ=—2r. ————— «1, 2hP—æ—æb Pour le.spath d’Islande, ces dernières équations deviennent

D = — r X 88.2286, F—=— 7r X 0.7642 : à D—F—=—FX 114.4546.

Pour le cristal de roche ( quartz), D— —7r X 0.9628, F=—— 7 X 0.8958, D—F—— FX 0.0748.

806. —Huyghens a donné la construction suivante(fig. 170) pour représenter généralement la route d’un rayon extraordinaire quelconque.

Soit HED la section elliptique du sphéroïde de double réfraction par la surface du cristal, RC le rayon incident qui passe par le centre C, BCK la projection orthogonale du rayon RC sur la surface. Soit HME une portion du sphéroïde inclinée d’une manière quelconque par rapport à la surface du cristal dont l’axe est censé contenir le point C. La surface de ce sphéroïde sera alors la limite de l'onde propagée autour de G comme centre, après un temps déterminé. Menons CO dans le

plan RCK perpendiculaire à RC et prenons OK (perpendicu-

laire à CK ou parallèle à RC) égal à l’espace parcouru par la lumière, pendant le même temps que ci-dessus, dans le milieu extérieur au cristal. Cette construction déterminera le point K sur la ligne BCK.. Par K menons KT perpendiculaire à BK., et autour de KT, comme axe, faisons tourner un plan jusqu’à ce qu’il touche la surface du sphéroïde en I. Joignons C et1, et CI sera le rayon réfracté extraordinaire.

807.— Il est aisé de justifier cette construction en partant du principe des ondulations sphéroïdales, si l’on considère que; l'onde générale (dont chaque normale constitue ce qu’on appelle un rayon de lumière, du moins dans les milieux uniréfringents) se compose de la réunion de toutes les ondes élémentaires émanées de chaque point de la surface (art. 586). Dans la construction précédente , on peut imaginer une onde plane, provenant d’un luminaire infiniment éloigné, qui se meuve le long de RC, perpendiculaire à cette onde. Tous les points de la ligne CK deviendront successivement des centres de vibrations, tandis que tous les points de la droite CD, perpendiculaire à CK ou parallèle à KT, le deviendront simultanément. L’onde générale doit donc être la surface-enveloppe de tous les ellipsoïdes décrits autour de chaque point de la surface du cristal, dont les axes sont parallèles, les ellipses génératrices semblables et les dimensions linéaires proportionnelles à la distarice de leur centre à la ligne KT. Cette surface-enveloppe ne peut donc être autre que le plan tan-

gent IKT. :

508. Nous connaissons maintenant la forme et la position de l'onde générale dans l’intérieur du cristal.

Or, si l’on n’a égard qu’à la pétite partie de cette ondequi émane de C, ilest évidentque le point I doit être celui qui correspoud: à C dans l'onde générale, et que CI est nécessairement la directiou du rayon; car L est le point où viendrait

tomber la partie de l’onde principale transmise par une petite ouverture en C.

809. — Ainsi, quand il s’agit du rayon extraordinaire ; il pe faut plus regarder le rayon comme perpendiculaire à la surface de l'onde ; ilse propage dans une direction obliqué par rapport à cette surface. Cependant, aussitôt qué l'onde émerge dans le milieu ambiant , la loi de propagation suivant la normale s’observe de nouveau.

810. — Pour démontrer l'identité de la loi dé réfraction extraordinaire, qui résulte de la construction indiquée plus hant, avec celle qu'expriment les formules générales (13), (14)et (15), nous n’avons qu’à traduire cette construction dans le langage analytique. C’est ce qu’a fait Malus dans l’onvrage cité précédemment. On peut aussi consulter le Traité général de physique de M. Biot, qui y donne une exposition élémentaire des calculs de Malus. Ceux-ci étant d’une complication excessive , on nous permettra de ne pas les rapporter ici.

811.— Cette manière d’envisager le sujet donne lieu à une foule de conséquences importantes. On voit ainsi que, si une onde plane tombe sur une surface biréfringente, l’onde extraordinaire transmise est également plane et se meut avec une

vitesse uniforme, dans une direction oblique par rapport à son plan. Conséquemment la vitesse est aussi uniforme dans la direction perpendiculaire à ce plan. De plus , son intersection avec la surface du cristal est toujours parallèle à KT c’est-à-dire à l’intersection de l'onde incidente avec cette mé-

me surface. Il en résulté clairement que le mouvement de cette onde est le même que celui d'une onde transmise à la manière ordinaire , et qu’elle a, à chaque instant , la même position que prendrait cette dernière onde en ‘donriant à l’indice de réfraction une valeur convenable. Toute la différence, consiste en ce que les mouvements des molécules vibrantes

qui composent les deux ondes ont lieu dans des plans diffé rents. Quand l’onde en question sort du -milieu, elle suit les mêmes. lois qu’en y entrant ; seulement les modifications qu’elle épronve sont dans un ordre de succession inverse. Elle conserve. sa figure plane, et son intersection avec la surface d'émergence ne subit aucun changement.

812.— Il sait de ce que nous venons de voir que, si l’on construit un prisme avec un cristal biréfringent et à un seul axe, et qu’on fasse passer au travers un rayon de lamière situé dans un plan perpendiculaire à l’arête du prisme, les rayons ordinairé et extraordinaire émergeront tous deux dans ce plan , étleur séparation se fera dans le plan qui contiendra le räÿon incident et le rayon réfracté ordinaire.

On remarquera le même effet'que si le milieu était doué de deux pouvoirs réfringents. Ce n’est que dans le cas où l’arête est oblique , par rapport au plan d'incidence, que le rayon extraordinaire peut s’écarter du plan qui contient le rayon incident et le rayon réfracté ordinaire,

813.— Dans la théorie de la réfraction extraordinaire , il faut donc distinguer deux choses qu’on regarde comme identiques dans celle de la réfraction ordinaire, savoir: la vitesse des ondes lumineuses et la Vitesse des rayons de lumière. Cette distinction sera soigneusement observée plus tard, lorsque nous parlerons de la loi de réfraction dans les cristaux biréfringents à deux axes. Comme cette dernière loi suppose la connaissance de plusieurs faits relatifs à Ja polarisation de la lamièré (phénomène dountil n’a pas encore été question jusqu'à présent ), nous nous contenterons de dire que la doctrine entière de la double réfraction a subi récemment une grande révolation due au célébre Fresnel , dont les travaux ont entièrement changé la face de l'optique.

On croyait depuis long-temps que, dans les cristaux doués de la double réfraction, lun des faisceaux suivait là loi ordi-

naire des sinus. De plus on s'était assuré ; par des expériences que nous rapporterons bientôt, que la différence des carrés des vitesses des deux faisceaux est toujours proportionnelle au produit des sinus des angles entre le raÿon extraordinaire-et les deux-axes, ou les deux droites dans le cristal suivant lesquélles la réfraction est simple. D'où l’on avait conclu que la vitesse du rayon extraordinaire était toujours représentée par

Péera p.sin 9!)

étant celle du rayon ordinaire, # une constante dépendante de la nature du cristal, et » et o! les angles en question. Ceci une fois admis, il n’était plus difficile d’assignér la surface à double courbure qu’il fallait substituer à l'ellipsoïde de Huyghens , pour rendte applicables au cas actuel les formules générales de l’art. 792 ou les procédés géométriques de l'art. 806. En effet, si l’on nomme «la moitié de l'angle entre les deux axes et que l’on conçoive trois coordonnées x, y, z, telles que lé plan des x, y, contienne cet angle que æ partage en deux parties égales, il est aisé de voir que l’on a, par la trigonométrie sphérique,

æ COS & + y sin &.

æ COS & MCOS EIRE sin «

Vatr+z Tr

et, comme , rayon de la surface de l’onde, ou

cos » —

COS ol =

est toujours égal à

I I ROUE pe ee =. —— 0

\# Ve + Fe . sin © . sin o!

une simple substitution donne sur-lé-champ l'équation de

cettè surface exprimée au moyen des trois coordonnées #3 7, z : cétte équation est :

oh? — vf) (a? y? +2):

"Lo (a Lys 2) (0 — 4 2°. cos à — k y? . sin? &) HE (a. cos? a + y?. sin «) —'1, À qu’on.transformera facilement en fonction de r, r et, pour

y appliquer les formules analytiques ordinaires , x l’aide des relations saivantes :

== 18inibe

-ÿ=Tr.sin0 . sin z;,

æ =1r.-sin 9. cos x.

Mais ,.comyme nous l'avons déjà remarqué, Fresnel à sapé cette théorie par la base en prouvant qu’il n’y a pas de rayon réfracté ordinaire pour les cristaux à deux axes. Cependant il nous èst impossible de regarder la théorie qu’il a voulu substituer à l’ancienne autrement que comme ‘une des plus belles généralisations de l'analyse. moderne: Nous, la développerons en son lieu. :

De: la polarisation de la lumière.

814: == Les phénomènes qui appartiennent à cette partie de l’optique sont si nombreux et si singuliers , que celui qui ne connaîtrait que les propriétés de la lumière exposées dans les livres précédents croirait apprendre une science nouvelle.

Déjà intéressantes par elles-mêmes, les expériences sur la lamière polariséele deviennent encore davantage en fournissant de nouvelles données sur la constitution intime dés corps et le mécanisme que la nature emploie pour les former. Si l’importance de la théorie de la polarisation l’a ‘fait mettre au premier räng parmi les sciences physico-mathématiques, elle

mérite de conserver sa place par sa rigaeur géométrique. La complication et la multitude des phénomènes qu’elle présente, la rapidité sans exemple avec laquelle les découvertes se sont succédé , n’ont pas permis jusqu’à présent de la‘rédiger -en corps de doctrine. Quoique l’on ne puisse pas encore déduire successivement chaque phénomène d’une cause générale, néanmoins, en rejetant un grand nombre de généralisations incomplètes , elle paraît enfin avoir atteint le degré de consistance nécessaire pour offrir quelque enchaînement dans les propositions et laisser apercevoir la dépendance mutuelle des différentes classes de phénomènes : ce qui est déjà un pas de fait vers un système régulier. Par là nous sommes dispensés d’entrer dans le Cétail fastidieux d’une multitade'de faits isolés qui ont servi comme moyens d’induction quand il s'agissait de découvrir les lois dont ils découlent, mais qui depuis ne présentent plus d’autre intérêt que celui qui'se rattache à ces lois mêmes.

$! IT. — Distinction générale entre la lumiere polarisée et la lumière non polarisee.

Lés rayons polarisés ont des relations déterminées avec l’espace extérieur. — Proprièté de la tourmaline et d’autres cristaux. — Choix de tourmalines convenables. — Différentes manières de polariser la lumière. — Caractères distinctifs du rayon polarisé ; — ils sont relatifs à son intensité, et non à sa direction. 4

815.— Dans toutés les propriétés de la lumière que nous avons considérées jusqu'à présent, nous avons regardé les phénomènes de la réflexion et de la réfraction ;.sous le rapport de l’intensité.et de la direction du rayon réfléchi ou réfracté, comme invariables aussi long-temps que l’angle.et le plan d'incidence ne changeaient pas de position. Cette invariabilité a réellement dieu quand la lumière émane directement du soleil on d’antres corps lumineux par eux-mêmes.

Un rayon de semblable lumière qui-tombe sous un angle donné,sur une surface donnée, peut être considéré comme tournant autour d'anaxe coïncidant avec sa direction ; ou, ce qui revient aumême, la surface réfléchissante ou réfractante-peut tourner autour du rayon commeautour d'un'axe;, en-gardant toujours la même situation relative à.son égard, sans qu’on remarque le moindre changement dans les phénomènes. Supposons , par.exemple, que dans:un long tube cylindrique.on fixe une plaque. de verre ,;.ou de tout autre milieu, qui forme un angle quelconque avec J’axe : si l’on dirige le . tube vers le soleil, et qu’on fasse tourner.l’appareil entier antour.de son axe, l'intensité du rayon réfléchi ou réfracté restera constamment.la.même, et sa direction (dans le cas-où il aurait dévié) suivra les tours de l’appareil, de manière que, dans tous les moments de sa rolation,.il.viendra tomber exactement au même point d'un écran faisant corps avec le tube. Ea recevant, sur un milieu quelconque, la lumière:d’un fer chauffé à blanc, les phénomènes que l’on observe seront identiquement les mêmes si le fer reste en repos, ou s’il tourne autour du rayon considéré comme axe.

816.-— Mais si, au lieu d’un rayon provenant d’une source lamineuse, par elle-même, on soumet à la même expérience un rayon qui a déjà subi quelques réflexions ou réfractions, ou qui. a été soumis à certains modes d'action de.la part des corps, on ne trouve plus cette parfaite uniformité dans les résultats. Le plan selon lequel la surface réfléchissante on réfractante est présentée au rayon ne peat plus être prisindifféremment. Le rayon.paraît ayoir acquis un côté gauche et un côté droit, uné partie. antérieure et une. parlie postérieure. L’intensité de la portion réfléchie ou :transmise (mais non. la direction cependant) dépend surtout de la.situation du plan d'incidence par rapport à ces côtés, quoique le reste du phénomène soit le même qu edans le cas ordinaire. Dans. cet état le rayon est dit polarisé. La différence entre le rayon polarisé

nn. 3

et celui qui nel’estpas ne pourrait guère être mieux exprimée qu’en comparant celui-ci à un cylindré, et l’autre x'une vérge équarrie; telle qu’une latte ;: une règle où toute autre lame droite ; longue et plate. Il est évident que le cylindre incliné d'une manière invariable ; dans un plan donné, sur-unesurface quelconque, peut tourner autour de son axe sans changer ses relations à l'égard de ce plan, tandis que celles du prisme varieront avec la position de’ses arêtes. Que lelectéur nous passerune comparaison que nous donnons comme telle, sans prétendre établir la moindre’ analogie ‘entre cecitet cétque nous verrons plus tard. Imaginons une verge sémblable à celle que nous venons de décrire; etsupposons qu’on veuille l’enfoncer dans une surface composée de fibres détachées , rangées toutes dans la même direction , ou d'une série de lames parallèles : la verge pénétrera bien plus fdcilement si son côté le plus large est enfoncé dans la direction des fibres ques il Vétait perpendiculairement à cette diréction.

Une feüille de papier glisse facilement dans un sens 4 travers dés’barreaux très rapprochés qui lui présenteraient'un obstaele insurmontable dans le sens contraire.

817.2 Essayons dé donner une’ idée plus claire de la distmction entré la lumière polarisée et la lumière non polarisée.

Plasieurs cristaux laissent passer la lumière en abondance ét avec une parfaite régularité lorsqu'ils sont partagés én'tranches ; ét néanmoins les rayons émergents ont éprouvé la modification particulière qui nou$ occupe en'ce moment. Un de ces cristanx les plus remarquables est la’ tourmaline. Ce minéral cristallise en longs prismes. Sa fortne primitive est le rhomboïde obtusangle , dont l'axe est parallèle à celui du prisme: Souvent les faces latérales de ces prismés sont en si grand ñombre, que le cristal a une forme cylindrique où cylindroïdale.

Quand” à l’aide d’uñe roue-de lapidaire , on'a clivé un de ces cristaux en lames parallèles à Faxe du prisme, et d’une

épaisseur uniformé d’environ un vingtième de pouce,:on donne à ces lames le poli convenable. Alors les objets lumineux paraissent au travers-comme si on:les regardait avec un verre coloré. Concevons une de ces lamës interposée, perpendienlairement entre l’œilet une chandelle: celle-ci sera vue avec avec,.une égale facilité dans toutes-les positions de l'axe: de ‘la lame à l’égard de l'horizon (1). Si l’on fait tourner Ja lame dans son propre plan, on ne remarque aucun ‘changement dans l’image de la chandelle. Donuant alors à cette première lame une position fixe (en .plaçant son axe verticalement par.exemple), on üiterposera entre elle et. l’œil'une seconde: lame qu'on fera tourner lentement: dans son propre plan ; ce qui produira un phénomène très curieux: La chandelle deviendra successivement visible et invisible à chaque quart de révolution de la lame, en passant par tous les degrés de clarté depuis un certain maximun jusqu'à une obseurité totale ou presque tôtale; après quoi la clarté augmentera de la mêmemanière qu’ellé aura décru. Or;'sil’on fait attention. à la position de la seconde lame par rapport à la première, on trouvera que. les: maxima.de clarté ont lieu lorsque les axes sont parallèles, c’est-à-dire lorsqu'ils sont disposés comme ils l’étaient originairement dañs le cristal, ou lorsque leurs positions diffèrent de 180°, Les minima ont lieu au contraire lorsque les axes se croisent exactement à angles droits. Dans cette dernière situation , la lumièreest totalement arrêtée si la tourmaline est d’une bonne couleur, et, quoique chaque lame en particulier soit d’une transparence parfaite, leur combinaison est tout-à-fait opaque. Dans. quelques tourmalines cette opacité n’est que partielle, Mais: quels que soient les échantillons dont ou a fait choix, 1l y a toujours une diminution dé lumière très marquée quand les axes sont croi-

(1) On entend ;par axe dela late ane droite quelconque parallèle aux axes des molécules ou à axe du noyau du cristal