ARTICLE IV

Sur la manière de trouver les racines imaginaires d'une équation.

4o. Nous avons vu dans l’article TI* que chaque couple de racines imaginaires correspondantes — i, a — ySy/ — i donne néces-

sairement dans l’équation des différences une racine réelle négative — 4/3* ; d’où il suit qu’en cherchant les racines réelles négatives de cette équation, on trouvera nécessairement les valeurs de — 4 / 3 *, d’où l’on aura celle de /3 à l’aide desquelles on pourra ensuite' trouver les valeurs correspondantes de a, comme nous l’avons enseigné dans le n* 17 ; de sorte qu’on aura, par ce moyen, l’expression de chaque racine imaginaire de l’éqnation proposée; ce qui est souvent nécessaire, surtout dans le calcul intégral. Voici seulement une observation qui peut servir à répandre un plus grand jour sur cette théorie, et à dissiper en même temps lès doutes qu’on pourrait se former sur son exactitude et sa généralité. ' 1

4l. Lorsque les parties réelles et, y, etc. des racines imaginaires

<t -f- fiy/ — r,

• * — Pv' — «,

y - 4 - J'y/—. J, y J y/ — 1 , etc.

sont inégales taut entre elles qu’avec les racines réelles a, b, c, etc. , il est évident, par la table de l’article second , que l’cqualion des différences n’aura absolument d’autres racines réelles négatives que celles-ci : —4/3*, etc.; de sorte que le nombre de ces racines sera le même que celui des couples de racines imaginaires dans l’éqnation proposée.

Mais s’il arrive que , parmi les quantités * , y, etc. , il s’en trouve d’égales entre elles ou d’égales aux quantités a, b, c, etc., alors l’équation des différences aura nécessairement plus de racines négatives que la proposée n’aura de couples de racines imaginaires.

En effet, soit a— a., les deux racines imaginaires (<* — a -{-fiy/ — i)* ( (« — a — P y/ — 1 )*, deviendront — P*, et — fi', et par conséquent réelles négatives.

De sorte que si l’équation proposée ne contient, par exemple, que le* deux imaginaires a + fi\/ — 1 , et a. — fi y/ — », l’équation des différences contiendra, dans le cas de a. — a, outre la racine réelle négative — 4 fi', encore ces deux-ci : — fi', — fi', égales entre elles.

D’où l’on voit que lorsque l’équation des différences a trois racines réelles négatives, dont deux sont égales entre elles, alors la proposée peut avoir ou trois couples de racines imaginaires, ou une seulement.

Si la proposée contient quatre racines imaginaires a. -{-fi y/ — 1 , a — fi y 1 , y -f- J y / — * , y — JV — * » alors l’équation des différences contiendra d’abord les deux racines réelles négatives — 4P*,

4 J' ; ensuite si et — a, elle aura encore ces deux-ci : — fi', — fi' ;

si y — elle aura de même ces deux autres-ci : — -J' — J'\ enfin , si on avait a = y, alors les quatre racines imaginaires

[ct-y + (fi- J ) /-.]*, l«-y-(fi-J ) '

[a — y + (0-f- ef')v<— 1 ]*, [a. — y — (fi + cT(/— >]’,

deviendraient

-os- J 1 )*, -03-/)% -03 + sy, -(fi + fy,

c’cat-à-dire réelles négatives, ou égales deux à deux.

4a. De là il est facile de conclure,

i*. Que lorsque toutes les racines réelles négatives de l'équation des différences sont iuégales entre elles, alors la proposée aura nécessairement autant de couples de racines imaginaires qu’il y aura de ces racines.

Et, dans ce cas, nommant —W une quelconque de ces racines, on aura d’abord 5 = — ; cette valeur étant ensuite substituée dans les

deux équations (H) du n* 17 , on cherchera leur plus grand commua diviseur, en poussant la division jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste ou * ne se trouve plus qu’à la première dimension ; et faisant ce reste égal à zéro , on aura la valeur de a. correspondante à celle de /3 ; par ce moyen, chaque racine négative — w donnera deux racines imaginaires * + / Sy'—t, et * — fiy/ — 1 .

a*. Que si, parmi les racines réelles négatives de l’équation des différences, il y en a d’égales entre elles, alors chaque racine inégale, s’il y en a, donnera toujours, comme dans le cas précédent, une couple de racines imaginaires ; mais chaque couple de racines égales pourra donner aussi deux couples de racines imaginaires , ou n’en donner aucune ; ainsi deux racines égales donneront ou quatre racines imaginaires ou aucune; trois racines égales donneront ou six ou deux racines; quatre racines égales donneront ou huit ou quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

43. Or soient, par exemple, — W, et — w deux racines égales négatives de l’équation des différences, on fera fi = comme ci-dessus;

et substituant cette valeur de fi dans les équations (H) du numéro cité, on cherchera leur commun diviseur en ne poussant la division que jusqu’à ce que l’on parvienue à un reste où a ne se trouve qu’à la seconde dimension , à cause que la valeur de fi est double, comme nous l’avons déjà remarqué dans l’endroit cité.

Ainsi, faisant ce reste égal à zéro, on aura pour la détermination de a

une équation du second degré , laquelle aura , par conséquent, ou deux racines réelles ou deux imaginaires.

Dans le premier cas, nommant ees deux racines al et on aura les quatre racines imaginaires «'+ /3y/ — l, «' — /3j/ — i, a"-f- — i,

a"—/ 84 / — 1 ; dans le second cas, les valeurs de et étant imaginaires contre l’hypothèse, ce sera une marque que les deux racines égales — tv, — w ne donneront point de racines imaginaires de la proposée.

44- S’il y avait dans l’équation des différences trois racines égales et négatives — w, — w, — u>, alors faisant /3 = , on poussera seulement

la division des équations jusqu’à ce que l’on parvienne à un reste où * se trouve à la troisième dimension ; de sorte que ce reste étant fait = 0 , on aura une équation du troisième degré en a, d’où l’on tirera, ou trois valeurs réelles de a, ou une réelle et deux imaginaires : dans le premier cas , on aura six racines imaginaires ; dans le second , on n'en aura que deux, les valeurs imaginaires de a. devant toujours être rejetées comme contraires à l’hypothèse, et ainsi de suite.

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