Soit proposée l’équation générale du troisième degré

x 3 — Ajc* -f- Rr — C = 0,

l’équation des différences sera ici du degré = 3 , et on trouvera par la même métltode

u 3 — ou‘-f> bu — o = o, a sa a (A* <~ 3B), b j=s (A* — 3B)*,

4(A* — 3B ) (B*— 3AC) — (gC— AB)'

Donc, pour que les racines soient toutes réelles, il faudra que l’on oit, i". A*— 3B>o,

a?. 4(A*— 3B) (B* — 3AC) — (gC — AB)*>o.

Si l’une de ces deux conditions manque, l’équation aura deux racines imaginaires.

3g. Soit maintenant proposée l’équation générale du quatrième degré

B**— Cx + D = o,

dont le second terme est évanoui pour plus de simplicité; le degré de l’équation des différences sera — = 6 ; de sorte que cette équation

sera

o* — au‘-{- bu * — eu 3 **f* du'— ev + y = o ,

où l’on trouvera par la même méthode

a ss — 8 B,

b — aaB* -+- 8 D,

c s= — i 8 B s + 16 BD +

d pse t"B 4 -f- a4B*D — 7 ^i6D*+3. 16BC*,

e = — 4B 5 — a . a 7 C*B* — 8 . a 7 C*D -+• 3 . 4’BD* — a . 4*B’D ,

/ = 4 4 fi î — a J .4*B*D'+4‘.3*€*BD4-4*B 4 l>--4C'B 1 — 3*0.

Donc, i°. si la quantité

4<D S — a s .4'B'D'+ 4*.3'C'BD + 4*B 4 D — 4C*B S — 3 3 C*

est négative, la proposée aura nécessairement deux racines réelles et deux imaginaires; mais si cette quantité est positive, alors la proposée aura toutes ses racines réelles ou toutes imaginaires.

Or, toutes les racines seront réelles si les valeurs de tous les coefficiens a, b, c, d, e,f sont positives; donc elle» seront toutes imagi-

naires si le dernier coefficient /étant positif, quelqu’un des antres se

trouve négatif.

Supposons donc le coefficient f positif, en sorte que l’on ait

4'D 3 a 1 . 4‘B*D*-f- 4* . 3 3 C*BD -f- 4*B<D — 4C*B 5 — 3 3 C*> o,

et on trouvera que tous les autres coefiiciens seront aussi positifs si l’on a en même temps

B<o, et B* — 4 ® > °j

et qu’au contraire quelqu’un d’eux deviendra nécessairement négatif si B > o, ou B* — 40 < °>

Ainsi, dans le premier cas, les quatre racines de l’équation seront toutes réelles,’ et dans le second elles seront toutes imaginaires.

On pourrait de même trouver les conditions qui rendent les racines des équations du cinquième degré toutes réelles, ou en partie réelles et en partie imaginaires; mais comme, dans ce cas, l’équation des différences monterait au degré — = ro, lé calcul deviendrait extrétne- - • a

ment prolixe et embarrassant. , ( ; y