ARTICLE PREMIER

Sur les fractions contenues périodiques.

45. Nous avons déjà remarqué dans le n* t8, que lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable , la fraction continue doit nécessairement se terminer; de sorte que l’on pourra avoir l'expression exacte de la racine; mais il y a encore un autre cas où l’on peut aussi avoir l’expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille à l’infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique, c’est-à-dire, telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours dans le même ordre à l’infini; psr exemple, si on avait la fraction

? P ■+■ etc.,

il est clair qu’en nommant x la valeur de cette fraction, on aurait

ce qui donne cette équation

ffX‘ — pqx — p = o ,

par laquelle on pourra déterminer a:; il en serait de même si la période était d’un plus grand nombre de termes, et l’on trouverait toujours pour la détermination de x une équation du second degré. 11 peut aussi arriver que la traction continue soit irrégulière dans scs premiers termes, et qu’elle ne commence à devenir périodique qu’après un certain nombre de termes; dans ces cas, on pourra trouver de la meme manière la valeur de la fraction , et elle dépendra pareillement toujours d’une équation du second degré; car soit, par exemple, la fraction

Nommons toute la fraction X, et y la partie qui est périodique, savoir :

on aura

r + etc;

d’oi» l’on tire y — x -.. p . — . ■ mais l’on a r = r H — , ce qui

donne tj * — rsy—r—o -, donc, substituant pour y sa valeur en x,

*(* —PY— rs ( x —P) [i — q(x — p)] — j'ti — ?(*—/»)]• = o,

équation qui , étant développée et ordonnée par rapport à x, montera au second degré.

46. O11 voit, par ce que nous venons de dire, que le cas dont il s’agit doit avoir lieu toutes les fois que, dans la suite des équations transformées (a), (b), (c), (d), etc. du n* 18, il s’en trouvera deux qui

auront les mêmes racines; car si la racine z, par exemple, de l’équation (c) était la même que la racine x de l’cquation (a), on aurait

ce qui est le cas que nous avons examiné ci-dessus, et ainsi des autres- Donc , quand on voit que , dans une fraction continue , certains nombres reviennent dans le même ordre, alors pour s’assurer si la fraction doit être réellement périodique à l’intini, il n’y aura qu’à examiner si les racines des deux équations qui ont la même valeur entière approchée sont parfaitement égales, c’est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune; ce qu’on reconnaîtra aisément en cherchant leur plus grand commun diviseur, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations, s’il y en a : or, comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la racine d’une équation du second degré, il s’ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.

47. Supposons donc qu’on ait reconnu que parmi les différentes équations transformées , il s’eu trouve deux qui ont la même racine ; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l’infini; de sorte qu’on pourra la continuer aussi loin qu’on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du n* a 3 sans être obligé de les calculer toutes l’une après l’autre par les formules données.

Pour cet effet, nous supposerons que l’on ait en général

x = A' p , x' = A 1 ' + p , x 1 ' = A'" -f- -p , etc. ,

en sorte que x étant la racine cherchée, x', x", x"', etc. soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par y, z, u, etc., et l’on aura

io

DE LA RÉSOLDTIOH

Donc, faisant comme dans l = i,

z» = h ir r 4- z',

etc.,

le n* cité

L" = A"L* -f- L'', etc.,

, on aura ccs fraction» convergentes vers x

1 * r ^ il etc

Maintenant F équation x= A'+ p donnera

mettons au lieu de af, dans Je second membre de cette équation , sa valeur A"+ p-, et multipliant par x", on aura

xx'x" = (A "Z' + Z)x" + t = t'a ! 1 -+• t,

on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation , A ,n -j- pr à la place de x’,

xx'xV"s= fx'+ Z",

et ainsi de suite.

Pareillement l’équation x! = A"-f- p donnera

xV = AV + i sa LV+ L'j

ensuite, substituant dans le second membre A'*-f-pr à la place de x 1 ', et multipliant par a!’, on aura

x W = (A«'L"+ V)x"'+ L"= L'V" + L", et ainsi de suite.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ffl

D’ou il suit qu’on aura en général, [quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,

xx’^'x'" x' = /V + 1

xtx’x'" x' = L*x< + L«-*i (B) '

11 faudra bien se souvenir qu’ici et dans les calculs suivons les exposans des quantités x, l, L représentent des indices et non des puissances.

48. Cela posé , supposons que l’on ait trouvé , par exettiplc , x*“ "f" ’ = x^* , c’est-à-dire que la racine de la ( y. -f- e J* - transformée soit égale à celle de la transformée ; alors on aura aussi x“ +, 4« — *,“+•, x**+’ + a = j/*+ a , etc., xt‘+ a ’ = x*, etc., et en général ■zV*"l''* , 4-*' =x fl ^~' lr ; donc aussi Af* "f" ’ d" 1 s d* 1 , A“+’ + a = W* + a , etc., et en général A“+ n * +’•' = *<“+»; de sorte que l’on aura

x = y-f-^ etc.,

j/* + * +etc.,

V + »-UÎ

etc.

Maintenant si on suppose en général f = fj. -f- m -J- tt, il est facile de voir que les deux équations (B) du numéro précédent deviendront

xxV'. . . X* x ■z | ‘‘+ *Jo“ + î . . . x-‘ , + r x ( x <“ + , a?“+ 2 .. . x*+’)* x'x". . . 3? X xf t +* X"+ a . . . x-“ + ' x (a/‘+ I av+ 4 .. .**»+')'

saLV^-KL»*” 1 .

Or, en faisant dans les mêmes équations p = fi, cto a

JMf'.a*. X* aat /V* -f- r — *,

x'x".... a* = LV* + L r Mt .

De plus , à cause de

^ = V+i + i, *• + ' = ** +a 4- etc.,

il est clair que si l’on fait

h'=tf+ l , H' = i ,

h" = X'“ + 2 A' -f- A, H" = X* + ’ff, y.. (C),

etc.,

on aura en général

etc.;

x*xt‘+ l xf + *....x*+ r = h r xi t + , + hr— -j.

aT+ .«* + ' = H r jc*“ + r +H*— 'J

Donc on aura

et, à cause de jc“ + ' = a>“ (Uyp.),

De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les deux équations ci-dessus, on aura

(rv-f- /•-*) (hV +, + ir-‘) (h’^ + h’- 1 )*

(LV + IF -1 ) (tfV + '-f- H'“‘) (HV+ H'-'>

Dans ces formules et dans les suivantes, les exposans des quantités X, h, H dénotent aussi des indices.

4g. Or, les équations (D) étant divisées l’une par l’autre, donnent