E'E'= **+ EE'= B
on aura
et de même E ,n =
etc.
Ainsi on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu’on a données plus haut, pour avoir les valeurs de E”, E”, etc.
53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de x sera toujours nécessairement périodique.
Pour pouvoir démontrer ce théorème , nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l’équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différons. En effet, nous
DES EQUATIONS NUMÉRIQUES- 5g
avons vu dans le n* 19 qu’on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n’ait qu’une seule racine plus grande que l’unité, après quoi chacune des transformées suivantes n’aura aussi qu’une seule racine plus grande que l’unité ; soit donc
nu" + 4«— 1 eu—* -f- etc. 4 - k = o
une de ces transformées qui n’ont qu’une seule racine plus grande que l’unité, et soit s la valeur entière approchée de u : on fera , pour avoir
la transformée suivante, u—s-\- ce qui, étant substitué, donnera
une transformée dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera
(as- 4 - 4j— ' + es*— • 4- etc. 4- A)w",
et que le dernier sera a. Or, puisque la vraie valeur de 11 dans la transformée précédente tombe entre ces deux-ci : u = s et u=oo, entre lesquelles il ne se trouve aucune autre valeur de u (hyp.), il s’ensuit qu’en faisant ces deux substitutions dans l’équation en u, on aura nécessairement des résultats de signes contraires; car il est facile de concevoir qu’il n’y aura, en ce cas, qu’un seul des (acteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d’une valeur de u à l’autre (n° 5 ). Mais la supposition de u— *> donne le résultat au m (tous les autres termes devenant nuis vis-à-vis de celui-ci), lequel est de même signe que le coefficient a ; donc il faudra que la supposition de u=s donne un résultat de signe contraire à a; mais ce résultat est égal à
as- 4- 4 s— ‘ 4- es—* 4- etc. -f- A;
donc, puisque celte quantité est en même temps le coefficient du premier terme de l’équation transformée en w, dont le dernier terme est u, -il s’ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes de signes différens.
Et on peut prouver de la même manière que cela aura lieu , à plus forte raison, dans toutes les transformées suivantes.
Cela posé, puisque l’équation proposée
E’x‘ — 2ix — E = o
donne les transformées (n° 5 a)
Go
EV — a*V — E' = o,
E"’x'* — a.'x' — E"= o, etc.;
il s’ensuit de ce que nous venons de démontrer, qu’on parviendra nécessairement à des transformées, comme
E y + a (* y+, )‘ — as v + , x y+I — E y+ ' = O, etc.,
dont les premiers et derniers termes seront de signes difTérens ; de
sorte que les nombres E^, E^*^* 1 , E^*^ 1 , etc. seront tous de même signe. Or, on a (n° Si)
B = G y )‘ + E*E>+' = + E y + ’E y + 1 = etc.;
donc, puisque E y , E 7 "*" 1 , E y ^ 2 , etc. sont de meme signe , les produits E y E y+ * , E y+, E y+a , etc. seront nécessairement positifs; d’où il suit, J®, que l’on aura (e 7 ’) < B, ’) < B, etc., c’est-à-dire
(en faisant abstraction du signe) c y < y B, t 5 ' - *” 1 < [/$, et ainsi de suite à l’infini; a°. que l’on aura aussi, à cause que les nombres E,
E', E*, etc. sont tous entiers, E*<B, E>' +1 <B, E> + î <B, et ainsi de suite. Donc, comme B est donné, il est clair qu’il n’y aura qu’un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres
que B et que ^/B; de sorte que les nombres E 7 , E y "^* 1 , E y "^ ï , etc.,
t y , t v ~^ 1 , s v+2 , etc. ne pourront avoir qu’un certain nombre de valeurs différentes, et qu’ainsi dans l’une et l’autre de ces séries, si on les pousse à l’infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité de fois; et, par la même raison, il faudra aussi qu’une même combinaison de termes correspondons dans les deux séries, revienne une infinité de fois; d’où il suit qu’on aura nécessairement, par exemple,
E' , + * + ’ — E y *‘ ,f , et **+* + ’ t r+*
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 6i
ou bien, faisant
E*+’ E', et f + ’ = <T-,
donc, à cause de
on aura aussi E , ‘^"'^' 1 = E*"^" 1 ; mais on a
et af + ’
•*+’ + \ZB
donc = x'* ; donc la fraction continue sera nécessairement
périodique (n° 48).
54- En efTet, on voit par les formules du n° 5a que si l’on a E^"^’^=E^, et on aura
et ainsi de suite; de sorte qu’en général les termes des trois séries E, E , t , etc., s, 6 , c , etc., A , A , etc. qui auront pour exposant /u-f- /u> -f- w, seront les memes que les termes précédens, dont les exposans seront /K-J-7T, en prenant pour n un nombre quelconque entier positif.
Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes F/ 1 , é“ et A*'"*' 1 , et leurs périodes seront de y termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le meme ordre à l’infini.
55. Nous venons de démontrer qu’en continuant la série des nombres E, E', E", etc. ou doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et ou’ensuite la série doit nécessairement devenir périodique : or, je dis que dès que, dans la même série
on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme E v , E v '^‘. <J e même signe , on sera assuré que l’un de' ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.
En effet, comme E^, E 5 '^' 1 sont de même signe , il est clair que la transformée
aura nécessairement une racine positive et l’autre négative; de sorte qu’elle n’eu pourra avoir qu’une seule qui soit plus grande que l’unité; donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes différens (n° 53) , par conséquent tous les nombres E r , E*"^" 1 , E*'"^" 1 , etc. seront de même signe; de sorte que chacun d’eux sera moindre que B, et chacun des nombres s v , i y ^* a J ete. sera moindre que (numéro cité).
56. Or, comme on a B = (« y ) -f-E 7 E v "^', il est visible que les
nombres E?, E*^" 1 seront ou tous les deux moindres que j/B, ou que si l’un est plus grand, l’autre en sera nécessairement moindre; de sorte qu’il y en aura au moins toujours un qui sera moindre que v^B.
Supposons que ce soit E y , je vais prouver que les nombres E7, £*+' E v ^* 2 , etc., s\ £ v "^', s v "^ a , etc. seront tous nécessairement de même signe que le radical t/B. En effet, puisque les racines x' , 3 ?, x m , etc. des équations transformées doivent être toutes plus grandes que l’unité par la nature de la fraction continue, on aura
donc aussi x y > » , i , et ainsi de suite ; donc
> i , etc- }
et comme
B = (s r )* H- = (« y+, )‘ 4- E y+, E y+a = etc.,
iV-H/B
E v ,H" 4 . ÿn gH-'
et ainsi des autres ; donc ausss E y
> i , etc .
Or, comme < y , « y+l , etc. sont plus petits que \/B, il est clair que quel que soit le signe de ces nombres £ y , etc., les dénomina-
teurs j/B — t y , \/B — etc. seront nécessairement du même
signe que v^B; donc il faudra que les numérateurs E v , E y "*' 1 , etc. soient aussi tous du même signe que \/B.
Maintenant, supposons pour plus de simplicité \/B positif, en sorte que E y , E y+I ', etc. doivent être aussi tous ]K»ilifs; je dis que t y , « y+2 , etc. le seront aussi. Car, soit, s’il est possible, * y = — s (s étant uu nombre positif) comme E y < \ZB (hyp.), on aura, à plus forte raison, E y < t/B-f-w; donc — = — - sera < i,
au lieu que cette quantité doit être > i ; donc « y doit être positif. Soit ensuite, s’il est possible, « y *^‘ = — comme l’on a, par les formules du numéro 5a, 4 y ^’ 1 = A y '*‘ , E y ^" , — e y , on aura
a -/+'£V+ i e y — V; donc, à cause que e v et a' sont des nombres positifs moindres que i/B, et que A y+I est aussi un nombre entier positif, il est clair que E y+I devra être moindre que ]/B; et, dans ce
cas, on prouvera, comme ci-dcvaul, que 6 y "^‘ devra être positif, et ainsi de suite.
Si i/B était pris négativement, on prouverait de la même manière
que t y , £ y+> , etc. devraient être négatifs; et même, sans faire un nouveau calcul, il n’y aurait qu’à remarquer que les formules du numéro cité demeurent les mêmes, en y changeant les signes de toutes les quantités E, E', E*, etc. «, s', t", etc., et du radical i/B; de sorte qu’on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en preuant les quantités E, E', E', etc., «, t', *", etc. avec des signes contraires.
57 . Cela posé, je dis que si deux termes correspondons quelconques
des suites E y , E^ 1 , E y+a , etc., « y , , «>+ 3 , etc. sont donné.,
tous les précédera dan» les mêmes suites seront nécessairement donnes aussi.
Supposons, par exemple, que E >,+3 pt soient dotmés (on verra
aisément que la démonstration est générale , quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent cire les termes qui précèdent ceux-ci , en vertu des formules du n* 5a, et des conditions du numéro précédent. On aura d’abord
donc
£ >+ 3 A y+ 3 EH - 3 s 5 '"*'*';
mais on doit avoir y' B ; donc il faudra que I’od ait
On aura de même
d’où, à cause
de < |/B, on tirera
mais il faut, par la nature de la fraction continue, que X" soit un nombre entier positif; donc il faudra que l’on ait
or, on a aussi
donc v/B — < E^ 3 , savoir : en mettant pour sa valeur
ci-dessus, V /B~A> +3 E> +3 + «> +3 <E>+ 3 ; d’où
Donc, puisque le nombre A*"^ 3 doit être entier, il est clair qu’il ne pourra être égal qu’au nombre entier qui sera immédiatement pins
petit que — ainsi A 3 ^* 3 sera donné, et de là i^" 3 le sera
aussi ; et comme = •» — -■ , il est clair que E^" a sera aussi
donné. Maintenant on aura
et par conséquent, à cause de s 5 ' < y/B,
