EH
Donc, pour que A*"*" 1 soit entier positif, tel qu’il doit être, il faudra
que *>+' -4- y/B > E> +1 ; par conséquent, à cause de
£T+i E y+a = B ( t y+i)‘ > il faudra que VB { y+i < E vM f ou
bien , en mettant pour 1 sa valeur ci-dessus,
d’où l’on tire
De sorte que le nombre A y '*' a ne pourra être que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la quantité donnée -~ +
donc ce nombre sera donné, et par 11 les nombres et E v + * le seront aussi.
Enfin, puisque E v est (liyp.) < y/B, on aura, à plus forte raison, « v + y/B>E y ; et de là , 1 cause de rE** 1 = B — G*)* , on aura’ y/B — t v < E Y , ou bien, en substituant pour t v sa valeur trouvée cidessus,
Ce qui donne
Donc le nombre A 1 '"^’ 1 ne pourra être que le nombre entier qui est
immédiatement moindre que la quantité donnée
— ^+T— i P»" con-
séquent ce nombre sera entièrement donné, et les nombres e r et E y le seront aussi.
Or, nous avons vu (n* 53) qu’en continuant les séries E y , E r ^ 1 , etc. , » v , etc., il arrivera nécessairement que deux termes correspon-
dans , comme E v "^, s v "^, reparaîtront après un certain nombre d’autres termes; en sorte que l’on aura, par exemple.
gv+’-M' £*+/ ( v+’+^ __
Donc, par ce que nous venons de démontrer , on aura aussi en remontant ,
etc.,
etc.,
58. De là je conclus en général, que lorsque dans la série des nombres E , E', E", etc. , on en trouvera deux consécutifs de même signe , celui des deux qui sera moindre que v/B sera déjà nécessairement périodique.
Ainsi , si dans l’équation proposée
E'x’ — 3fjr — E = o,
les coefficiens E et E' étaient de même signe, la série serait périodique dès le premier ou le second terme.
Si l’on a £ = o, en sorte que x =r y/ -g> , alors on aura B =EE'; d’on
l’on voit que des deux nombres E , E', le plus petit sera moindre que t/B, et le plus grand sera nécessairement plus grand que i/B; donc ,
dans ce cas , si le nombre — , dont il s’agit d’extraire la racine carrée est
plus petit que l’unité, la série sera périodique dès le premier terme E ; et, s’il est plus grand que l'unité, la période ne pourra pas commencer plus bas qu’au second tarme.
5 g. On avait remarqué depuis long-temps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré; mais personne, que je sache, n’avait encore démontré l’inverse de cette proposition, savoir: que toute racine d’une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que Euler , dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carré d’un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique; mais ce théorème qui n’est qu’un cas particulier du nôtre, n’a pas été démontré par Euler , et ne peut l’être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis plus haut.
60. Nous avons donné ci-dessus des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d’une équation donnée , lorsqu’on a reconnu que la fraction continue qui exprime celte racine , est périodique.
Or , dans le cas où l’cquation est du second degré , et où l’on se sert de la méthode du n° 5 a, on pourra , si l’on veut, simplifier beaucoup
les calculs des n c * 48 et suivons, pougr trouver les termes l ( et iJ 'de chacune des fractions convergentes versa:.
En effet, ayant 0/“ = et jc f,+r = , où é“, «“+»,
E '“ +1 et ~ ' * sont connues ( 7 T étant < p ) il n’y aura qu’à substituer ccs valeurs dans les deux équations du n* 48; et faisant pour
abréger ,
!" + lT — 1
HV+* 4 - lV r - t E M+r+t = G*.
on aura
(/' + j$) X (G" 4- HVB)x (v +%gy — P j« — 1 E^+' f£ y'B,
(p* + ££) X (G- + IÏVB) x (k> 4^?)‘
= Uf + * 4- L« I E“ +,T+ ' 4- L f i/B ;
d’où, à cause de l’ambiguité du signe du radical y/ B , on lire sur-le-champ
ap'B
*vb\
Fr+' /
IUv^V
Et-t" J
ay-B
V Et* +I ,
) X (G'+H’VB) x
ai B
l/vb'>
