Représentons l’équation proposée pur la formule générale

x“ — Ax “ — 1 -f- B" - * — C" -! -f- etc. = o ,

et désignons ses m racines par x', x", x'", etc. x*" 3 ; on aura , par les propriétés connues des équations,

A = x' -f- x" -+- x'" -f- etc. + x<* 3 ,

B — x'x" x'x"' -f- etc. -f- x"x"' -f- etc. ,

C = xx"x"' 4- etc.

Soit t l’inconnue de l’équation résolvante; nous ferons, d’après ce que nous venons de dire ,

t = x' -f- <tx" 4- ct‘x"' 4- c i*x" -f- etc. 4 - ,

la quantité a étant une des racines m‘“" de l’unité, c’est-à-dire , une des racines de l’équation à deux termes y* — 1 = o.

Pour avoir l’équation en t, il faudra éliminer les m inconnues x', x 1 ', x m , etc. , au moyen des équations précédentes qui sont aussi au nombre de m: mais ce procédé exigerait de longs calculs, et aurait, de plus, l’inconvénient de conduire à une équation finale d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être.

3 . On peut parvenir directement et de la manière la plus simple à l’équation dont il s’agit , en employant la méthode dont nous avons fait un fréquent usage jusqu’ici, laquelle consiste à trouver d’abord la forme de toutes les racines de l’équation cherchée, et à composer ensuite cette équation par le moyen de ses racines.

Il est d’alwrd clair que dans l’expression de t, on peut échanger entre elles, à volonté, les racines x', x", etc., puisque rien ne

NOTE XIII

les distingue jusqu’ici l’une de l’autre. D’où il suit qu’on aura toutes les differentes valeurs de t , en faisant toutes les permutations possibles entre les racines x', x", x"', etc.; et ces valeurs seront nécessairement les racines de la réduite en t, qu’il s’agit de construire.

Or, l’on sait, par la théorie des combinaisons, que le nombre des permutations qui peuvent avoir lieu entre m choses , est exprimé en général par le produit i.a. 3 ....m; donc l’équation en t aura, en général autant de racines qu’il y a d’unités dans ce nombre, et sera par conséquent d’un degré exprimé par le nombre i.a. 3 ...m; mais nous allons voir que cette équation est susceptible d’abaissement par la forme même de ses racines.

Comme cette forme dépend de la quantité a qu’on suppose cire une racine de l’équation y x — i = o , nous commencerons par quelques remarques sur les propriétés des racines de celte équation ; et pour cela, nous considérerons séparément les cas où l’exposant m est un nombre premier, et celui où cet exposant est un nombre composé.

4 . Supposons d’abord que le nombre m soit premier ; dans ce cas, toutes les puissances de a jusqu’il a" auront des valeurs différentes, à moins que l’on n’ait a = 1 . Car si deux puissances a" et v étaient égales, on aurait a" = a', et de là a"—’ — 1 j or aucune puissance de a moindre que m ne peut être = 1 tant que a n’est pas — 1. En effet, puisque a" — 1 =0, si l’on avait en même temps a* — 1=0, n étant </n, il faudrait que ces deux équations eussent une racine commune; et en cherchant, par les règles ordinaires, le plus grand commun diviseur des deux quantités a” — 1 et a* — 1 , ou trouve nécessairement a — 1 pour ce diviseur, à cause que rn est un nombre premier ; de sorte que la racine commune aux deux équation» a" — 1=0 et a" — 1 = 0 ne peut être que l’unité.

5 . 11 suit de là, i*. que les puissances a, a*, a s , etc. a” représentent toutes les racines de l’équation^” — 1=0, en prenant pour a une quelconque des racines de cette équation , autre que l’unité. Car puisque a”= 1 , on aura aussi a*“= 1 , a 3 “= t , etc. ;

NOTE XIII

de sorte que les puissances a, <*’, et’, etc. a“ seront aussi des racines de la même équation ; et comme elles sont au nombre de m, et ont toutes des valeurs différentes , elles donneront nécessairement toutes les racines de l’équation — 1 =0.

6. 11 s’ensuit aussi, 2*. que si, dans la série des puissances a, a*, a 5 , etc. a" -1 , l’on substitue pour a une quelconque de ces puissances, comme œ*, n étant < m; la nouvelle série <*", a**, a 5 *, etc., en rabaissant toutes les puissances au-dessous de ot“ , à cause de «“ = j, contiendra encore les mêmes puissances; niais dans un ordre différent ; car il est visible que tous les exposa ns n, an, 3 /», etc. sont difl'érens, et que leurs restes de la division par m le sont aussi, parce que m est un nombre premier; de sorte que ces restes étant au nombre de m, et tous dilTérens entre eux, ne peuvent être que les nombres 1 , 2 , 3 , etc. m.

7. Considérons maintenant le cas où m est un nombre composé. Dans ce cas , « n est un diviseur de m , toutes les racines de l’équation jr* — 1=0 seront commune à l’équation jT — 1 = 0, parce qu’en supposant le nombre r racine de l’cquation j" — 1=0, on aura r" = 1 , et par conséquent aussi r“ = 1 : de sorte que r sera aussi racine de l’équation y“ — 1=0. En faisant donc a = r , on aura a*= 1 ; et si m — np, il est visible que dans la série des puissances a, a*, a J , etc. a", chacune se trouvera répétée p fois; par conséquent ces puissances ne pourront plus représenter toutes les racines de l’équation jT — 1 = o , parce que cette équation ne peut avoir de racines égales.

8. Soit m—pq, p et q étant deux nombres premiers, et soit /S une des racines de l’équalion y* — 1=0, et y une des racines de l’équation jr* — 1 = o , il est clair que /3 et y seront aussi racines de l’équation j m — 1 = o , parce que (Z? et y 1 étant = 1 , on aura aussi / 3 M = 1 , y M =\ -, mais toutes les racines de l’équation j m — 1=0 ne pourront pas être représentées par les puissances successives de ces racines /3 et y.

On voit aussi que le produit / 3 y sera racine de la même équation jT — 1=0; mais aucune puissance de cette racine, dont l’exposant serait inférieur à m , ne pourra être égale à l’unité ,

NOTE XIII

à moins que /3 ou y lie soit =s t; car il faudrait que l’exposant de cette puissance fût un diviseur de m, et par conséquent égal à p ou à q ; on aurait donc (/S y"/ = i , ou (fiy) 11 — i. Dans Je premier cas, on aurait y f = i , à cause de /S<’ = i (liyp.) ; et comme on a déjà y 1 — i =o (hyp.), il en résulterait y — i =o, à cause que p et q sont premiers entre eux ; dans le second cas, on aurait fi — 1 = 0.

9. Ainsi, tant que )3 et y sont différens de l’unité, la racine fiy de l’équation y m — 1=0, a, lorsque m=.pq , la même propriété que la racine « lorsque m est un nombre premier, savoir, que toutes les racines de celte équation peinent être représentées par les puissances successives de f 3 y .

10. Comme les valeurs de /3 sont au nombre de p, et celles de y au nombre de q , les valeurs de / 3 y seront au nombre de pq , c’est-à-dire de m; et il est facile de prouver que ces valeurs seront toutes différentes entre elles, parce qu’elles peuvent, être représentées par fi'y', en faisant successivement /•= 1 , a, 3 ... p et.... s = i, a, 3 ...q, à cause que les nombres p et q sont supposés premiers. D’où il suit que toutes les racines de l’équation y* — 1=0, m étant =pq> peuvent être représentées par les produits / 3 y des racines des équations y* — 1 = 0, y * — 1 = 0, p et q étant des nombres premiers.

Un prouvera de meme que s\m=pqr, en supposant p , q, r des nombres premiers, et que fi, y, tf soient respectivement des racines quelconques des trois équations^ — i = o, y* — 1 — o, y' — 1=0, le produit fiyj ' , en donnant successivement à j 3 , y, £ toutes leurs valeurs , pourra représenter toutes les racines de l’équation y — * = 0; et que celles de ces racines qui seront exprimées par fiyS ' , en excluant l’unité des valeurs de / 3 , y, tf, auront les memes propriétés que les racines de l'équation y m — 1 =0, lorsque m est un nombre premier.

Et ainsi de suite.

1 1. \tiis si l’on avait m=p*, p étant un nombre premier, en prenant /3 pour une quelconque des racines de l’équation y* — 1=0, il ei)t clair que /3 serait aussi racine de l’équation y“ — 1 =0,

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et que [/ fi le serait aussi. On -prendrait donc, dans ce cas, pour y

une quelconque des valeurs de [/fi, et l’on aurait également fiy pour l’expression de toutes les racines y“ — 1 = 0.

De même, si m e= p*, en conservant les valeurs de fi et y , on

ferait, de plus, S— [/fi, et l’ou aurait fiy<f pour l’expression de toutes les racines de y m — 1 =0 , en donnant successivement à fi ,y, J' toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.

12. Donc, en général, si m=//* <fr w . . . , et que fi , y , J , etc.

soient respectivement des racines quelconques des équations

y* — 1 — o , y ' — 1 =0, y " — 1 =0, etc., p, q, r , etc. e'tant des

nombres premiers, si l’on fait, de plus, fi 1 as \/fi, (&"=[/ fi', etc.,

y' = y/y t y" — \/y', etc., /'= [/j', etc., on aura...

fi fi' fi ". . . X yy'y" • . • X tS'S'J". . . pour l’expression générale des racines de l’équation y* — 1=0, en donnant successivement à fi, fi', etc., y, y', etc., <f, J v , etc. toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.

On voit par là que pour avoir les racines de l’équation à deux termes y“ — 1 = o, lorsque m n’est pas un nombre premier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposans soient les nombres premiers qui composent le nombre m.

1 3 . Enfin nous remarquerons que comme l’équation y“ — 1=0 manque de tous les termes intermédiaires, si l’on nomme 1, a, fi, y, etc. ses racines, on aura par les formules générales données au commencement de la Note VI,