Ces préliminaires posés, considérons la fonction

i = a/ 4- <x*x'" 4- a’x 1 ’ 4- <t*x' 4- etc. 4- *— * X e ’ 5 ,

daus laquelle x', x'\ x'", etc. X e * 5 sont les racines de l’équation proposée du degré m, et a, est une racine quelconque de l’équation. . . jT — i = o, de manière que l’on ait <e” = 1 .

On voit d’abord que cette expression est une fonction invariable des quantités «'x', otx'', «*x m , etc. , et qu’ainsi le résultat des permutations des racines x 1 , x", x' n , etc. entre elles, sera le même que celui des puissances de « entre elles.

1 5. 11 suit de là que at sera le résultat des permutations simultanées de x' en x”, x 1 ' en x"’, etc. , x* 1 * 5 en x', à cause de <*“=1. De même aH sera le résultat des permutations simultanées de x' en x'", x" en x ,T , etc. , x < “~ ,J en x', et x w en x", à cause de a“=i, a“ +1 = a, , et ainsi de suite.

Donc, t étant une des racines de l’équation résolvante en t , ttt , <t't, a?t, etc., ct m ~'l seront aussi des racines de la même équation ; par conséquent l’équation en t devra être telle, qu’elle ne change pas en y changeant t en ai, en «V, en a 5 i, etc., en d’où il est

fheile de conclure d’abord que cette équation ne pourra contenir que des puissances de t dont les exposans soient multiples de m.

Si donc on fait f* = fl, on aura une équation en fl qui ne sera que du degré i.a. 3 ...m— i,et dont les racines seront les différentes valeurs de fl résultantes des permutations des m — 1 racines x", x"', etc., x 4 * 5 entre elles.

16. L’expression de fl sera, à cause de a." = 1 , <x“= 1 , etc., de la forme

8 = Ç* 4- 4- «*£" 4- #>f n 4- etc. 4- a--'£o-o,

N O T E X III. a4g

dans laquelle les quantités g*, etc. seront des fonctions déter-

minées de x', x " , x'", etc., lesquelles auront en général la propriété d être invariables , par les permutations simultanées de x 1 en x", x" en x" 1 , etc. , x*"> en x', de x 1 en x"', x" en x", etc. , x^~“ en x', x c " 3 en x", et ainsi de suite; ce qui suit de ce que fl est également = r =(«/)-= («V)”, etc.

Lorsque les quantités Ç*, etc. seront connues , on aura tout

de suite les valeurs de toutes les racines x*, x", x'", etc. de la proposée. Car puisque 8 = f*, on aura t = t/ 8 ; et si I’od dénote par i, a "> @ t y > e tc. les racines de l’équation jr" — i =o, et qu’on dénote aussi par fl*, 8’, 8'', etc. les valeurs de 8 qui répondent à la substitution successive de i , cl, / 9 , y, etc. à la place de a. dans l’expression de 9 , on aura, à cause de

t = x' ox" -j- o*x"' -f. etc. -f- a»-‘x t, °, les équations suivantes :

x' -f- x" -f- x"' etc. -f- x<”> = v'ô’,

x' + ax" 4- a*x'"4- etc. 4- œ— x<-> = y/tf,

x' 4- /Sx" -(- / 3 *x"' 4 - etc. -f- / 3 *-*x< w —

x" 4 - >x" -f- >*x"'4- etc. -f- >■— •x’» =

etc.

Ces équations étant ajoutées ensemble, donneront d’abord par les propriétés des racines i , et, / 2 , y , etc. (n° i3),

^ ✓P 4- l/ÿ 4- t/7 4 - e tc. + |/ 8 ^ô m *

Ensuite , si on les multiplie respectivement par i , a" - ^3“— 1 etc., et qu’on les ajoute de nouveau ensemble , on aura, par les mêmes propriétés ,

x" = ^ + a "~' ^ + g "~‘ l/ ^-é- y"- 1 l/S*-»- etc.

25o NOTE XIII.

On trouverait de la même manière

/„ t/6* + x--‘ t/P 4- ê m ~‘ t/p + >" -■ t/ji* 4- etc.

et ainsi de suite.

17. Nous remarquerons sur ces formules que le terme v/S° étant égal à la somme x' + x" + x'" + etc. des racines, est donné immédiatement par l’équation; de sorte qu’on a \/(t 0 r=A (n° 2) , équation nécessairement identique, et qui pourrait servir, s il en était besoin, à s’assurer de la bonté du calcul.

Il suit de là aussi que comme 9* = g* + g' + £"+ etc- , en faisant a. = t , on aura

g° + g' 4. g" -4- etc- •+- g 6 — 0 = 0* = A-, et par conséquent,

g* = A* — g' — g" - g'" - etc.,

valeur qui , étant substituée dans l’expression général* de 0 , la réduira à cette forme plus simple

9 = A" +’(* — 0 g' 4- (**— 0 ?" + ~ 0 ?'"> elc - »

et l’on aura les valeurs de 9', 9”, 9'", etc., en mettant «, 0 ,y, etc. racines de l’équation jT~' +J m ~' +J— + etc. + . = o , à la place de <t (n° a3).

18. La difficulté se réduit donc à trouver les valeurs des quantités g' g" g'", etc. qui entrent dans l’expression de 9 , lorsqu’elles ne sont pas données immédiatement, Dans cette recherche, il convient de distinguer le cas où l’exposant m est un nombre premier de ceux où m est un nombre composé.

Supposons d’abord que m soit un nombre premier ; nous avons démontré ci-dessus (u° 6), qu’alors en prenant pour a une racine quelconque de l’équation jT — 1 = «, autre que l’unité, si, dans la série des puissances a, a*, « 5 , etc. a — , on substitue 4 la place de *

NOTE XII)

une quelconque de ces memes puissances, on retrouvera toujours La même série de puissances , seulement dans un ordre différent. Or il est visible que dans la fonction f, le changement de a en a* rc|x>nd aux permutations simultanées de x" en x”, x"' en x', etc.; que le changement de a. en <x 5 répondra aux permutations simultanées de x ' 1 en x", x 1 " en x’", etc., et ainsi de suite. Donc, les changemens successifs de a en a.*, a?, etc. a" - ', répondront à autant de permutations où x" prendra la place de x"', x”, etc. x ( * J ; ce qui fait m— i permutations dont chacune pourra] ensuite être combinée avec toutes les permutations possibles entre les autres m — a racines x"', x 1 *, etc. x t " 5 .

11 en sera donc de même de la fonction 0 ; et comme dans cette fonction les changemens de a, en a‘, a J , etc. répondent à des permutations de Ç' en Ç", en etc. , correspondantes à celles de x / ' en x"', en x ,T , etc. , dans la fonction t ; il est facile d’en conclure que les quantités {■", etc. seront les m — ï racines d’une équation en Ç du degré m — i , dont les coefiiciens seront des fonctions de x 1 , x", x m , etc., qui ne seront susceptibles que d’autant de valeurs différentes qu’il y aura de permutations entre les m — a racines x'", x”, etc. X e " 1 , c’est-à-dire de I .a. 3 . . .(m — 3) valeurs, et dépendront par conséquent d’équations du degré...

19. On peut même démontrer que tous ces coefiiciens ne dépendront que d'une seule équation de ce même degré; car si l’on représente par

‘ — MÇ"— + Nf— 1 — etc. = o ,

l’équation en g , dont j*", etc. sont les racines ; en faisant dans les fonctions M, N, etc. les i.a. 3 ...(/n — a) permutation» entre les racines x'", x”, etc. , on aura autant de pareilles équations qui , étant multipliées ensemble , donneront une équation finale en £ du degré 1 .2.3. . .m — 1, dans laquelle les coefiiciens seront des fonctions invariables des racines x', x", x”, et par conséquent déterminables par les coefiiciens A , B , C , etc. de l’équation proposée.

L’équation Ç— 1 — M£“— + N£— » — etc. = o sera donc un

NOTE XIII

diviseur de celle-ci; faisant la .division à la manière ordinaire, et égalant à zéro les m — i termes du reste, on aura autant d’équations dont les premières m—n donneront les valeurs de N , P, etc. en fonctions rationnelles de M. Ainsi il suffira de trouver l’équation en M du degré i .3.3. . .m — • a.

Si donc cette équation pouvait se résoudre , et il suffirait d’en connaître une seule racine, on aurait les valeurs des coefficiens de l’équation en Ç, qui est d’un degré moindre d’^ne unité que la proposée, et dont les m — i racines seraient les valeurs des quantités J- 1 ', qui entrent dans l’expression de 8.

ao. Mais au lieu de chercher les raciues Ç", etc., il pourrait être plus simple de chercher directement 6', 8", 8"', etc. 11 est clair que ces quantités seront les racines d’uue équation en 8 du m — 1 degré, qu’on trouvera en éliminant a. de l’expression de 8, au moyen de l’équation «t“ — i — o , après en avoir ôté la racine i, c’est-à-dire de l’équation