r* + •— » -f- etc. + i=o
Cette équation en 9 sera ainsi débarrassée de la racine a , et ses coefficiens exprimés par les quantités J*°, f*”, etc. étant consi-
dérés comme fonctions des racines x', x", x"\ etc. , ne seront susceptibles que de i . a. 3 . . .(w — a) variations par toutes les permutations possibles entre ces racines ; car comme les changemens de place de x’’ répondent aux substitutions de a*, a 5 , etc., au lieu de «, et que la quantité * a disparu de l’equation en 8, il s ensuit que dans l’expression de ses coefficiens , on pourra regarder x comme fixe, ainsi que x? .
Sans employer la voie de l’élimination , on pourra parvenir directement à cette équation en 8, au moyen de ses racines 8, 8”, 8"', etc., dont l’expression est connue; car en représentant cette équation par
g— > — T^~* + L'8* - ’ — • etc. = o , on aura , par les formules connues ,
NOTE XIII
T = 8' 4 - 8" + 8"’ + etc. ,
U = 8 ' 0 " 4 - 8'8"' + 8''8'" 4 - etc. , etc.
ai. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefliciens , en les déduisant des sommes des puissances successives des racines 8', 8", etc. jusqu’à la nt Um ' puissance. En effet , si l’on élève successivement le polynôme
Ç° 4- 4- *-Ç" 4- a*?" 4- etc. 4 -
aui puissances a 4 ”", 3 *”’, etc. , et qu’on dénote par Ça, Ç 3 , Ç 4 > etc les termes de ces puissances , qui ne seront point affectés de la quantité a, après avoir substitué partout l pour a“, a pour a” + *, et ainsi des autres; que, déplus, on lasse pour l’uniformité
fl- = Ç- 4 - Ç' 4 - Ç" 4 - r 4 - etc. 4 - >;
eu sorte que les quantités fl’, 8', 8", etc. répondent aux racines i , a, /S, etc.; il est facile de voir qu’on aura , par les propriétés de ces racines exposées plus haut , mÇ*, mÇa, mÇ 3 , etc. pour les sommes des puissances i‘”, a**“, 3 *“, etc. des quantités 8°, 6', ô", etc.
Or 8“ = A" (n° 1 7) ; donc , si l’on retranche respectivement des (juantités mÇa , raÇ 3 , etc. les puissances de A", les restes
mÇ- — A”, mÇa — A", mÇ 3 — A’*, etc. sont les sommes des m — 1 racines 8', 8", 8"', etc. de leurs carrés, de leurs cubes, etc.; d’où l’on tirera les sommes de leurs produits deux à deux , trois à trois, etc. par les formules données dans le chapitre I ,r (n° 8), ainsi qu’il suit :
mÇa — A‘"
T(mÇî — A*®) , 3 — A 3 "
aa. Maintenant, si l’on fait dans les expressions des coefliciens T, U, V, etc. en x ' , x", x"\ etc. toutes les permutations pos-
T = mÇ- — A”,
U T(mÇ- - A-)
etc.
NOTE XIII
sibles entre ces racines a/, a etc., on ne trouvera pour chacun de ces coefliciens que 1 .2.3. . . (ni — a) permutations provenant uniquement des permutations entre les m — i racines x", x"', etc.
Ainsi on aura pour la détermination de T une équation de ce même degré, qu’on pourra former pr le moyen de ses racines, ensuite on trouvera les valeurs des autres coefliciens U, V, etc. en fonctions rationnelles de T, par la méthode donnée plus haut, relativement aux coellîciens de l’équation £ (n° 19).
Le problème se trouvera donc réduit à la résolution de l’équation en T du degrc 1.2. 3. . .(m — 3), laquelle sera toujours d’un degré plus haut que la proposée , lorsque m sera au-dessus de 3. Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré moindre, mais c’est de quoi il me parait très difficile , sinon impossible , de juger à priori.
a3. A l’égard des racines « , /3 , y , etc. , comme elles sont avec l’unité les racines de l’équation y" — 1=0, si l’on divise cette équation par y — 1, pour en éliminer la racine t, on aura l’équation du degré m — 1 ,
y— + y*— + y— s + etc. + 1=0,
dont «, /3, y, etc. seront les m — 1 racines.
Cette équation est d’abord , comme l’on voit , d’un degré moindre d’une unité que l’équation proposée ; mais étant d’une forme convertible, elle peut toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié; de plus, par la belle découverte de M. Gauss, on peut la résoudre i l’aide d’autant d’équations qu’il y a de facteurs premiers dans m — 1 , et qui ne montent qu’aux degrés marqués par ces facteurs. On peut même la résoudre directement sans passer par aucune équation intermédiaire , comme ou le verra dans la Note suivante.
24. Nous avons supposé ( n # 18) que l’exposant m du degré de l’équation est un nombre premier ; considérons maintenant le cas où cet exposant est un nombre composé. Dans ce cas, nous avons vu que les racines de l’équation y“ — 1=0 sont de deux espèces ; les unes sont communes à l’équation y*— 1=0, n étant un
HOTE XIII
diviseur de m, et leurs puissances ne peuvent pas représenter toutes les racines de l’équation primitive, parce qu'elles n’ont de valeurs différentes que jusqu’aux puissances n ; après quoi , les mêmes valeurs reviennent toujours dans le même ordre ; les autres n 'appartiennent qu’à l’équation y m — i = o, et jouissent des mêmes propriétés que les racines de cette équation , lorsque m est un nombre premier. Ainsi , il faudrait d’abord borner le ' raisonnement du n° 18 aux seules racines a, qui sont propres à l’équation — i=o, et modifier, en conséquence, les conclusions que nous*cn avons déduites, relativement à l’équation en £. De plus, en n’employant même que ces racines pour a , on ne peut pas dire que la substitution d’une puissance quelconque de a à la place de et dans la série et, a‘, et*, etc. a“ - “, redonne toujours les mêmes termes, parce que si m^=np, la substitution de a* pour et, ne donnera jamais que les puissances et", a.“, etc. et’>, à cause de a v =i. 11 résulte de là que les quantités g, etc. ne pourront plus être
les racines d’une même équation , mais devront dépendre d’équations différentes] qu’il faudrait chercher séparément, ce qui alongerait le calcul.
Mais en employant les racines communes à l’équation y " — i = o, la méthode générale se simplifie, et la résolution du degré m se réduit à celle d’autant d’équations des degrés inférieurs n que l’exposant m a de facteurs premiers; c’est ce que nous allons développer.
2 5 . Supposons donc que le nombre mait un diviseur n, nous avons vu (n® 7) que toutes les raciues de l’équation y" — 1 =0 sont communes à l’équation y “ — 1 = 0; ainsi dans ht fonction
t = x' ctx 1 ' + oL'x ,n 4- etc. -f- ,
nous pourrons prendre pour aune des racines de l’équation y* — 1=0. O11 aura alors a"= 1 , ot® 4, =a., et‘ +, =a‘, etc., *“=1 ,
•“■*■* = a*, etc., jusqu’à œ"=i ; et l’expression de t se réduira à cette forme plus simple,
t = X' 4- aX" 4- «*x"' 4- etc. 4 - *— X«,
en faisant, pour abréger,
NOTE XIII
X' = x' 4- 4 *(•■+.) j clc> p. x c«-«-o >
X" = x" + + a^** +0 + etc. 4 x (m —* , \
X'"= x' n 4 4 a*""» 4 etc. 4 x 1 —*»,
etc. ,
X w = — |— x^‘ } -j- x (,,} 4 etc. 4 x (m \
Regardant maintenant les quantités X , X", X'", etc. X (,) comme les racines d’une équation du degré n, il est clair qu’on pourra appliquer à la fonction t les mêmes raisonuemens qu’on a faits dans les n°‘ i5 et 1 6, et qu’on parviendra à des conclusions semblables.
Ainsi , en faisant t* = 0 , on aura , à cause de a"= i , une expression de 9 de la forme
8 = ?• + «f + *•£" 4 etc. «— gc— ■: >,
dans laquelle les quantités £*, Ç", etc. seront des fonctions con-
nues de X', X", X"', etc. lesquelles auront la propriété d’être invariables par les échanges simultanées de X' en X", X w en X'®, etc. , XW en X'.
Connaissant ces quantités, on aura immédiatement les valeurs des racines X', X", X™, etc. , par des formules semblables a celles du n° 16.
Ainsi, en prenant i , a, fi, etc. pour les racines de l’équation... y* — i = o; et supposant que fi*, 6', ô", etc. soient les valeurs de fi qui répondent à<t = i , a, fi, y, etc., on aura
, + y/y 4 - t/y -j- etc.
" — ÿ' 8 * + y'ÿ 4- g—* iA* 4 etc.
etc.
— l/S* 4- «*~* V* + fl*~‘ ✓P -h etc.
où l’on remarquera que le terme p'®* est toujours égal à la somme
NOTE X.II.L
des racines , qui est ici
X' + X" + X'" 4- etc. = a/ 4- *" + + etc. = A.
On n’aura encore par là que les racines X', X'', X'", etc.; pour avoir les racines primitives x', x", x™, etc. , il n’y aura qu’à regarder séparément celles qui composent chacune des quantités X', X", X'", etc. comme les racines d’une équation du degré égal au nombre de ces racines, et y appliquer la même méthode.
a6. Lorsque n est un nombre premier, ce qu’on peut toujours supposer en prenant poxir n un des facteurs premiers du nombre m , les quantités £', £", etc. seront, comme dans le u° 18, les. racines d’une équation du degré n — î , dont les coelïïciens dépendront d’une équation du degré ] .a. 3. . .n — 3. Cette dernière équation aura pour coediciens des fonctions rationnelles de ceux de l’équation en X, dont X', X", X' n , etc. sont les racines. Or ceux-ci ne sont pas connus;' il n’y a que ceux de l’équation donnée, dont x 1 , x", x'", etc. sont les racines, qui le soient; il s’agit donc de' voir comment ceux-là pourront dépendre de ceux-ci.
11 est clair qu’en substituant pour X', X", X”, etc. leurs valeurs en x', x", x" 1 , etc. , les coediciens dont il s’agit deviendront des fonctions connues des racines x', x", x'*, etc. ; et pour trouver les éq nations d’où ces fonctions dépendront , la difficulté se réduira à chercher de combien de valeurs différentes ces fonctions seront susceptibles par toutes les permutations possible» entre les racines x', x", x*, etc. xK
a 7. Le nombre total des permutations entre ces m racines, est en général i.a.3...m; mais s’il y a des permutations qui ne produisent aucun changement dans les fonctions dont il s’agit, il faudra diviser par le nombre de ces permutations le nombre total des permutations, parce que chaque permutation 'se combinant avec toutes les autres , ne s’ajoute pas aux autres , mais les multiplie.
Or les racines x*, x<* +0 , etc. , x ( *“* + ' 5 qui entrent dans l’expression de X', et qui sont au nombre de p , à cause de m = np , sont susceptibles de 1.2. 3 ...p permutations; mais comme elles
NOTE XIII
entrent dans X' sous une forme invariable, leurs permutations ne produisent aucun changement dans la valeur de X'; par conséquent on aura d’abord le diviseur i.a.3.../;.
L’expression de X" étant dans le meme cas, donnera de nouveau le diviseur i .a. 3. . .p\ de sorte qu’on aura le diviseur (i .a. 3. . . p)\ à raison des deux fonctions X' et X" ; par la même raison , les trois fonctions X', X", X'", donneront le diviseur (i .a. 3. . . p) a et les n fonctions X', X", X'", etc. X (,) donneront par conséquent le diviseur (i . a .3. . .p)“.
Enfin les n quantités X', X", X" 1 , etc. sont susceptibles en ellesmêmes de ■ .3.3. . . n permutations; et comme les coefliciens de l’cqualion en X, sont des fonctions invariables de ces quantités, il en résultera encore le nouveau diviseur i.a.3... n.
D’où l’on peut conclure que les coefliciens de cette équation , regardés comme des fonctions des m racines x', x'', x"', etc., ne seront
susceptibles que de „ .. t . : a ' 3 ' " ' " . valeurs différentes, et
* u i .a.* nX(i.I
ne dépendront par conséquent que d’une équation de ce degré.
Ainsi, les coefficiens de l’équation du degré i.a.3...n — a, qui sont des fonctions rationnelles de ceux de l’cquation en X, dépendront d’une équation de ce degré.
’ Donc, en donnant à ces coefficiens toutes les valeurs qui répondent aux racines de cette dernière équation , et. multipliant ensemble toutes les équations résultantes, on aura enfin une équation du degré ^ X 1.3.3...» — a), savoir ,
,* , a ” — jÿi j ce s 6 ™ l’équation d’où dépendront les coef-
ficiens de l’équation en £ du degré n — i , dont les racines seront les valeurs de Ç'", etc. Ainsi on peut dire que c’est à une
équation de co degré que la résolution de l’équation proposée se réduira en dernière analyse.
a8. Pour achever la résolution de l’équation proposée en x, il faudra encore tirer les valeurs de scs racines x', x", x"', etc. x < " ) de celles des racines X', X”, X m , etc. ( n° a5). Pour cela, on regardera les p racines x', X e "*' 5 , etc. , qui composent la valeur
NOTE XIII. a5g
de X', comme étant les racines d’une équation du p“ a ‘ degré , et qui sera de cette forme
x r — 4- Xx'~‘ — ftx f ~ z + txr~* — etc. = o,
dans laquelle les coefficiens A , ft , r , etc. seront inconnus; mais comme cette équation est censée renfermer p des m racines de l’cquation proposée
x a — Ajc" - 1 -f- x m ~* — G** - ’ 4- etc. — o,
ou m=z np , elle devra être un diviseur de celle - ci ; par conséquent il n’y aura qu’à faire la division ordinaire, en supposant nuis les termes affectés de x *— £*“*, etc. dans le reste. Ou aura, par ce moyen, p équations en X’, A, ft, etc. dont les p — i premières donneront les valeurs de A , ft , etc. en X', par des équations linéaires. Ainsi X' étant connu, on aura aussi A, ft, etc., et il ne s’agira plus que de résoudre cette équation du degré r p. De même, en substituant la valeur de X" à la place de celle de X', on aura l’équation qui donnera les racines x", Æ t * + * 5 , etc. ,
et ainsi de suite.
a g. On voit par là que cette dernière méthode revient à décomposer l’équation du degré m = n/> en n équations du degré/»; mais si, pour cette décomposition, l’on suivait la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré *
m{m — i) (ot — a)... . . (jn — p 4* O 1 . 3 . 3 ..*.... ... .p *
comme nous l’avons vu dans la Note X ; au lieu que celle-ci ne demande que la résolution du degré
qui est toujours moindre que le précédent.
Soit m = 4> n — 2 » /> == a , ces degrés seront
et
s6o NOTE XIII.
Soit m = 6, n=a, p=3, on aura
? — 30 t — -, ^vrr — = IO;
if fl. 3 ’ 2(1. a. 3)* ’
et si l’on fait n = 3 , p = 2 , on aura
et ainsi de suite.
30. Appliquons la théorie précédente aux équations du second , du troisième et du quatrième degré.
Soit d’àbord l’équation du second degré
x* — Ax 4- B = o ,
dont- les racines soient x 1 et x".
On a ici m = a, qu’on peut regarder comme un nombre premier ; prenant pour a une racine de l’équation j - * — 1=0, oh fera
t = x 1 •+■ »uc",
d’où l’on déduit
6 = f = x' % + x"‘ + attx'x",
à cause de a* = 1 ; donc = ix'x", fonction invariable des racines x 1 et x".
En effet , on a B = x’x", et par conséquent £' = aB. Or l’équation jr‘ — 1 =3 o donne y = i , — 1; donc a = — i , et (n° 17) &* = A* — a£-' = A* — 4B. Ainsi les expressions des deux racines seront (n M 16, 17)
comme on le sait depuis long-temps.
