CORRECTION

— 7 — iW — i — G +8 — i — f- 8 -f- 1 6 \/ — î + 5 =o.

Mais je remarque que l’analyse donne simplement la condition

V/ 5 7 X \/¥' X v/Ô* = A» — 4 AB + 8C;

d’où il suit que le produ it des trois radicaux N/O", \Z¥" doit

être égal, et par conséquent de même signe que la quantité...». A*‘ — 4 AB + 8C. Donc si, en prenant les trois radicaux positivement, leur produit est de même signe que cette quantité, ce sera le premier système qui aura lieu; mais s’il est de signe contraire , alors il faudra donner le signe — à l’un des trois radicaux, ce qui donnera le deuxième système.

Dans l’exemple dont il s’agit, on a

x v/ff' x v^ 5 — 4- x i\Z=Ti x 4 v' zr ï =— 64 ,

tandis que

Ainsi c’est le second système qui a lieu.

La méprise vient de ce qu’on a supposé que le produit des trois radicaux, pris positivement, serait toujours positif.

Au reste , on peut ôter toute ambiguité en prenant dans le premier système

x/ m A 3 -4AB+ 8C

V ” \/Vx l/F ‘

Dans l'exemple proposé, pour lequel

ayant fait \/¥ — 4 , \/¥ — 4 V^— i , on aura — 4 \/— 1" ;

alors le premier système donnera

x' — i , x" = — 1 + 2 \/ — 1 , x"’= 1, x” = — 1 — 3 \/ — 1 , véritables racines.

NOTE DE M. POIJNSOT , relative à ïq correction précédente*

Il me semble qu’il y avait à faire sur ce point de doctrine, une remarque plus simple et plus lumineuse que celle qu’on vient de lire, parce qu’en meme temps qu’elle efface, de l’Algèbre, cette inutile éumiération de formules qui a donne lieu à la méprise dont il s’agit , elle rend encore plus claire et plus précise la règle qu’on doit suivre dans les applications particulières.

En représentant, comme le fait Euler, par

l’équation du 4 # degré, et par les lettres a t b t c , les trois racines de la réduite , j’obærve que , dans l’Algèbre, on ne devrait présenter , pour l’expression générale de x, que la simple formule

et qu’il faudrait supprimer, comme inutiles, toutes celles qu’on en tire par ces différentes combinaisons de signes dont on affecte les radicaux, {/a, [/b , y/c. Car ces signes ou — qu’on met devant ces radicaux , n’en font pas pour cela des quantités, positives ou négatives; et, par l’équivoque même qui reste attachée au signe radical^, et à ceux qui entrent dans l’expression de «, b f c , toutes ces représentations, ou formules diverses en apparence, reviennent toujours à la même, et ne signifient rien de plus en Algèbre. Il suflit donc d’ccrire la simple formule précédente , où le signe -f- que j’emploie , signifie uniquement que l’expression de x est formée par la réunion des trois expressions générales y/a, y/ b , y/c, sans rien dire de la nature de ces quantités, qu’on ne peut ni connaître, ni marquer par aucun signe, tant qu’on reste dans la généralité de l’analyse.

Actuellement , je suppose qu’on veuille douncr une règle pour l’application arithmétique qu’on pourrait avoir à faire de cette formule générale à une équation particulière donnée. 11 suffit de dire que , dans chaque cas particulier , ou aura soin d’assembler les valeurs trouvées pour ces radicaux , de manière que le produit de ces valeurs soit de signe contraire an coefficient q de la proposée : ce qui donnera précisément et dans tous les cas , les quatre racines de cette équation.

( Ceci suppose que , par la règle analogue dans le 3 e degré , on a d’abord déterminé les trois racines particulières a, b t c, qui conviennent à la réduite.)

On voit que tout devient clair et facile , par cette seule attention de ne pas confondre avec l’Algèbre ce qui n’appartient qu’à l’Arithmétique. Le défaut qu’on relève ici vient uniquement de ce faux mélange qu'on veut faire de l’analyse et de la synthèse. On essaye de distinguer et d’isoler , par certains signes, les différentes

3i4 NOTE DE M. POINSOT.

racines d’une formule radicale , et cette séparation est tnut-à-fait illusoire : car ces racines coexistent toujours dans une seule quelconque d’entre elles , tant qu'on y laisse ces radicaux qui donnent lies 4 cette multiplicité de valeurs. Or, par la nature même de l’Algèbre, il faut que ces signes équivoques demeurent, puisque cette science n’a d’autre objet que d'indiquer les opérations à faire, mais sans les exécuter, afin que le tableau de ces opérations, la seule chose que l’esprit ait en vue, soit parfaitement conservé. Cest même pour prévenir tonte imperfection de ce genre, que, dans le calcul, an lieu de nombres , on emploie des lettres; d'oii il résulte qu’aucune opération ne peut se faire actuellement, et que le signe de l’opération demandée subsiste toujours.

Lorsqu’on passe aux applications numériques , les opérations s'effectuent , les signes radicaux disparaissent, et l’on n’a plus que des valeurs particulières, composées de nombres réels ou simplement affectés de l’imaginaire — I : c’est la seule ambiguité qui reste; et le clioix de ces valeurs particulières se fait aisément par cette règle naturelle, qui consiste à « conformer à l’hypothèse même du calcul, afin de ne pas se contredire aoi-méme.

Ainsi, dans la formule d’Euler, l'hypothèse H u calcul est \/a X \/b X(/t= — g, qui signifie que le produif dcvtrni. •U*«rs particulières , qu’on réunit pour former

la racine x de la proposée, doit- être précisément égal à — Il faut donc so con-

former à cette supposition, comme , lorsqu'on demande le carré de l/— - t , on doit écrire — i , pour ne pas se contredire. Par ce seul principe , on est sûr de trouver dans chaque cas les vraies valeurs qui conviennent à la question que l’on, considère.

flU XI* LA hOTl*

CwC\\

Errata.

7 a , ligne 4 , jjj , hsft jj,

81 , ligne i3, x e= ^ ±, lue* x = 4y T

fia, ligne i5, plus grand que lue* plus petit que {'

86 , ligne 8 en remontant, * * ~*~, w , /i»i^t { { A { — C*

gi, dernière ligne, — , /«es — -

. Ad; 4- A ±4;

>44. Kg" 8 6, -+■*'• <3‘, tuez -fa'. 3*

?93, dernière ligne, /, = 1 -f , litt* t, = r +