II = B — C + D — E
lesquelles doivent coïncider avec celles de A', A", A'", A”, rapportées ci-dessus (n° 33 ). Mais on voit au premier coup d’œil que cette coïncidence ne peut avoir lieu , à moins qu’on ne change à la fois p en q et g en p dans A' et A", ou dans A'" et A”, parce que dans les formules précédentes, les coefficiens de p et q ne sont les mêmes que dans les deux où la racine \/5 est affectée du même signe, au lieu que dans les expressions de A', A", A'", A”, les quantités p et q ont partout les mêmes coefficiens.
36 . En faisant ce changement dans A' et A", comme nous l’avons indiqué (n* 33 ) pour accorder les formules de V mdermondc avec les nôtres, on pourra supposer
A' = y'i (F + G v /5 + Hp 4- K q),
A»' = v/i (F - Gn /5 + K p- Bq), ce qui se vérifiera en faisant
De là , on aura , par les formules du numéro précédent,
et la quantité A restera indéterminée, parce qu’à cause de... 1 4- r 1 4- r" -f- r"' 4- r” = o , elle disparaîtra des expressions des quantités A du n* 34 -
NOTE XIV
Si l’on fait À= 196, on trouve
B — i3o , C = — 90 , D = — a55, E = ao ,
et la formule
t /( A + Br 4- C r" -f- Dr'" 4- E4')
du n* 34, coïncidera avec celle de / — 6' du n*3o, parce qu’en faisant a = r', on a r" = a 4 , r'" = «*, r” === <4 (n* 35); et les formules dérivées de celle-là coïncideront aussi avec celles de
/— 8", /—fl"', /—fl".
37. Prenons pour dernier exemple l’équation a:' 1 — 1 = 0. Comme i3 — 1 = 12 = a. a. 3, l’opération pourra se décomposer en trois, de la manière suivante.
Il faut d’abord avoir une racine primitive pour le nombre i3, et la table du n* 4 fournit le nombre 2, dont les puissances successives, jusqu’à la onzième , divisées par 1 3 , donnent les restes 3,4, 8,3, 6, la, 11, 9, 5, 10, 7.
Ainsi en nommant r une racine de l’équation
•r" -j- ar" + x '• 4* x s -|- JT* 4“ etc. 4* 1 — o ,
les autres onze racines seront
On fera donc en général
t = r -H <xr* 4- <44 4- aV -4- a 4 4 -4- * ! 4 4- a‘4* 4- <tV" 4- a'4 4- a»4 4- a"4* 4- a"4,
et l’on prendra d’abord pour aune racine de l’équation/* — 1 =0, en sorte que a* = 1 , ce qui réduira la fonction t à la forme.... i=X'-f-aX", dans laquelle
NOTE XIV
De là, on aura
fl = e = £• + «*£,. ? = X'* 4 X"*, r = aX'X".
On peut se dispenser de chercher la valeur de j;*, en se servant de l’expression de fl du n* 1 1 , qui ne renferme pas Ç*, et qui donne ici, à cause de r = a et de j=— i somme des racines de l’équarlion proposée, 6 = i -|- (<*■— i)£'; de sorte qu’en faisant «.=«■*>, on aura la valeur de fl*, et les deux racines X', X" seront (n* cité)
Pour avoir la valeur de Ç', il faut développer le produit X'X" en puissance de r, ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à r“, à cause de r” = i , et l’on trouve X'X" =3$, en mettant s pour la somme des racines r , r*, r 4 , etc. , laquelle est =s — i ; de sorte qu’on aura 6 , et les valeurs de X', X" seront
38. On regardera maintenant les six racines qui composent la quantité X' comme celles d’une équation du sixième degré, et l’on fera de nouveau
t, s= r 4 ar * 4 <**/ J 4 «V* 4- * 4 r* 4- *V**j
mais au lieu de prendre en général pour a une racine de l’équation j* — i = o, ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme t , , nous prendrons de nouveau une racine de l’équation y* i = o, de sorte qu’au moyen de »* =s i , la fonction t, redeviendra de la ferme t, = X[ -f- X’ , dans laquelle on aura
NOTE XIV
On aura ensuite, comme ci-dessus,
et à cause que la somme des racines est ici X', le-champ
y- __ X'+t/iî^ X' — t/sT
on aura
sur-
on aura en môme temps 0, =s X'* -f-(® — i) Çj, et faisant a = — i ,
Pour avoir £(, il faudra développer le produit de Xj par X*,< en se souvenant toujours que r 1 ’ = i , et l’on trouvera
ce qui donnera $•' = 6 -f- aX",
et par conséquent
Y' X’ -f» LZ(X #t — 12 — <fX*)
3g. Nous remarquerons ici que comme en mettant r* au lieu de r, la fonction X' devient X", et la fonction X" devient X'; si l’on dénote par (X,'), (X')ce que deviennent les fonctions X' , X', en y substituant r* au lieu de r dans toutes les puissances de r, ce qui donne
on aura les valeurs de (X[), (X*), en échangeant dans celles de X;, X,, les quantités X’, X f/ entre elles. On trouvera ainsi
(X') = **+ y/ÇX'*— 12— 4 X') nr-s — X*— t/(X'.— 12 — jX')
NOTE XIV
3og
Ce sont les fonctions correspondantes àX', X| qu’on obtiendrait en procédant à l’égard des racines qui composent la fonction X", comme on a fait sur celles de X f . Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de r.
4o. Pour cet effet, il faut encore regarder les trois racines qui composent la fonction X* comme celle d’une équation du troisième degré, et faire, en conséquence,
i, = r + ar 5 +
et prenant pour a une racine de l’équation y 3 — i — o.
De là , on formera la fonction
et l’on trouvera, par le développement, en taisant a s = i , et r” = i , ces expressions
Donc , nommant a et /3 les deux racines de l’équation
et faisant
on aura, comme dans le n° a3 ,
x; + W, + fa
Ainsi la valeur de r est entièrement déterminée; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d’employer, pour la résolution de l’équation • r ” — i=o, ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues en sinus et cosinus.
3io
NOTE XIV
4i. Je remarquerai, eu finissant, que la méthode exposée dam cette Note, peut être regardée comme une simplification de celle que M. Gauss a indiquée d’une manière générale , dans l’article 36o des Disquisitiones arithmeticœ. Celle-ci est fondée aussi sur le développement d'un fonction semblable à la fonction que nous avons désignée par 9; mais elle demande de plus la formation et le développement d’autant d’autres fonctions du même ordre que l’équation a de racines, ce qui alonge considérablement le calcul. Notre méthode est indépendante de ces fonctions auxiliaires , et conduit directement aux expressions les plus simples des racines.
Correction ( laissée par M. Lagrange) pour t article 3-] de la Note XIII , page a4 2 -
La règle donnée dans cet article, pour savoir lequel des deux systèmes d’équations on doit choisir dans chaque cas, n’est pas assez générale.
M. Bret, professeur de Mathématiques au Lycée de Grenoble, a trouvé un exemple où elle est en défaut.
Soit l’équation
x 4 + ax* — 8x + 5 = o; la transformée en fl est
fl 5 + ,6fl* — a 56 fl — (64)* = o, dont les racines sont — 16, — 16, «6, ce qui donne
v'fl 7 = 4 . v/6 7 ' = 4v /=r r, v/r = W—'-
La fonction A* — 4 ^® + 8 C est >o, parce que A=o, C = 8 ; ainsi il faudrait prendre le premier système. On aurait d’abord
x 1 = i + a y/ — i , qui ne satisfait pas. Eu elTct,
( i -f- ay r —ï)‘ = — 3 + 4 V* — « ,
ainsi l’équation serait
ce qui n’est pas zéro.
Le deuxième système donnerait
x' = — 1 — ay/ — 1 ,
donc
