ANALYSE

DU TRAITÉ

Par M. POINSOT, de l'Académie des Sciences, etc. (*).

Depuis Leibnitz et Newton ^ presque tous les gëomèires se sont uniquement occupes du perfectionnement des nouveaux calculs , ou de leur application a la Géométrie et à la Mécanique , et il faut convenir que TAlgèbre a été un peu négligée. On a donc cette première obligation à M. Lagrange , de n^avoir pas perdu de vue cette partie fondamentale des mathématiques, et d*y rappeler Tattention des géomètres par cet excellent Traité : car , comme toute r Algèbre se réduit^ au fond, à Tanalyse des équations, on peut dire que cet ouvrage, avec les Notes savantes dont il est enrichi, forme le Traité d'Algèbre le plus complet et le plus profond que Ton puisse désirer dans Tétat actuel de la science.

L'auteur y donne d'abord, pour la résolution des équations numériques, cette méthode élégante et sûre qu^il a publiée pour la première fois dans le Recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin (années 1767 et 1768). Il confirme ensuite , dans les Notes , par des 'démonstrations nouvelles pt llgoureuses , les principes généraux qui servent de base à cette résolution, n y passe en revue toutes les méthodes imaginées pouf le môme objet ; il les compare, les rapproche, et, suivant le tour naturel de son génie, les ramène au môme principe. H y reproduit enfin , avec, des réflexions nouvelles, toute la substance de celles qu'il fit autrefois dans le même Recueil de Berlin , pour 1770 et 1771 : il donne un précis clair et rapide de sa méthode générale fondée sur Tar^ de réduire le nombre des permutations qui multiplie les fonctions cherchées, et d'abaisser par-là le degré des Résolvantes; et rappelant, a l'occasion du beau travail de M. Gauss, ses anciennes idées sur cette matière , il en déduit , dans la Note XIV, qui est entièrement nouvelle , la résolution directe et générale des équations binômes de tous les degrés.

(*) Cette Andyie , pobliét en 1808, dane le Magasin enefUopédtque , aynil nçn TappcobAâon de M. Lagrange , on a cra defoir la placer à la léte de cei Oanagi^

tî ANALYSE DU TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

Tels sont les points les plus importans approfondis dans Touvrage dont nous allons rendre con^ple. Ce simple sommaire suffirait sans doute aux géomètres , qui ne manquent pas de lire les écrits de Tauteur , et qui connaissent très bien Télégance et la simplicité qui régnent dans toutes ses méthodes : mais comme il peut être utile à plusieurs jeunes lecteurs d^avoir une idée nette de la science , de savoir ce qu'ils doivent apprendre dam f^H^ .mrtie de TAnalvae , et où ils le doivent ^ étudier, nous croyons devoir donner quelques détails sur les principales questions qu'on se pro« pose ici , sur les solutions qu'on en donne , et développer la suite des théorèmeis avec une certaine étendue.

D*abord si Ton jette un coup d'œil général sur l'Algèbre, on voit que cette science , abstraction faite des opérations ordinaires (au nombre desquelles on peut compter l'élimination) , se partage naturellement en trois articles principaux, i"". La théorie générale des équations, c'est*à-dire Tensemble des propriétés qui leur sont communes à toutes. 2"*. Leur résolution générale, qui consiste à trouver ime expression composée des coefficiens de la proposée , et qui , mise au lieu de l'inconnue , satisfasse identiquement k cette équation , en sorte que tout s'y détruise par la seule opposition des signes. 3^. La résolution des équations numériques , où il f*agit de trouver des valeurs particulières qui satisfassent d'une manière aussi approchée qu'on le voudra , à une équation dont tous les coefficicns sont actuellement connus et donnés en nombres.

Cette dernière recherche est sans contredit la plus utile dans l'application : car, outre que la résolution générale ne s'étend pas au-delà du 4*" degré, les formules eu sont déjà si compliquées^ et le seraient tellement pour les degrés supérieurs , si l'on venait à les découvrir , qu'on ne pourrait jamais s'en servir pour le calcul des racines. Ainsi il faudrait encore recourir aux méthodes d'approximation qui font l'objet principal de ce Traité. Or, les principes de ces méthodes étant puisés dans les propriétés générales des équations, nous allons d'abord examiner ce que l'on sait de plus général sur leur théorie.

Le premier principe > connu depuis long-temps, est que si, dans une équation quelconque , deux nombres mis successivement au lieu de l'inconnue donnent des résultats de signes contraires, il y a nécessairement au moins un nombre intermédiaire qui donnerait un résultat nul, ou serait racine de la proposée. On avait coutume de démontrer ce théorème par k considération des lignes courbes ; mais M. Lagrange en donne , dans la Note I, une démonstration nette et rigoureuse, fondée sur la nat]l^is même du polynôme algébrique dont l'égalité à zéro forme l'équation proposée.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUE& ^if

Le second principe est, que si un nombre réduit le polynôme à mérù , ou bien est racine de la proposée , le polynôme est etaet«ment divisSik par le binôme formé de Tincônnue moine Cette racine^ D'Alembert est Yé premier qui ait démontré ce principe d*une manière rigoureuse : tm. eti trouve dans la Note II une démonstration aussi exacte et plus complète | en ce qu'on y voit , non-seulement qtié fa division doit réussir ; mais qu'elle réussit eiicorè actuellement.

Il est bien facile de voir ensuite cette partie réciproque du prenûer théorème : que s'il y a une mcine entre deux nombres, et qii!il ii'y en bX qu'une seule , ces deux noihbres mis au lieu de i'inioonnue donneront 'des résultats de signes contraires ; d'où il suit que la même those cuim lieu pour un nombre quelconque impair de racines comprises , et n'aura litfci que dans ce cas.

Tels sont les principes fondamentaux de toute la théorie des équatioAs : on en déduit stir-le*champ qu^elles peuvent ■ avoir autant de racines qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant de rinèonnue, et n'en peuvent jamais avoir davantage. Que les équations de degrés impairs ont essentiellement au moins une racine réelle ; d'où il suit que dans une équation quelconque, les racines qui manquent sont nécessairement en nombre pair. Quant à ces sortes de racines , que l'on nomme imaginaires, il parut d'abord , par la résolution connue des quatre premiers degrés , que leur forme était la même ^e celle des imaginaires du second degré. D*Alèmbert essaya de démontrer généralement ce théorème, dans sa pièce «qr la catise des vents, et dans les Mémoires de Berlih pour Tannée 1746* M. Lagrange, qui rapporte cette démonstration , au commencement de la Note IX , sUr la forme des racines imaginaires, la rend plus rigoureuse et plus simple; mais il faut convenir qu'excepté l'endroit où l'on prouve qite, dans le paa^ sage du réel à l'imaginaire-, ou réciproquement', la racine devient double, ou quadruple, ou multiple d'un ordre pair, le reste de la démonstratîoii n'eist point è l'abri d*objections très solides. Aussi M. Lagrange revient-jl au théorème d'une manière plus directe , en considérant qu'il s'agit de prouver en général que tout polynôme de degré pair est résoluble en facteurs réels du second degré ; et , comme il n'y a que les équations de degrés impairs où l'on puisse toujours assurer Texistence d'une ratine réelle, ou bien encore celles de degrés pairs ^ ihais dont le dernier ternie est essentiellement négatif, tout se réduit à prouver que , dan^ la recherdlé des coefficiens d'un facteur de degré pair pour le polynôme proposé, on U>mbera finalement sur de telles équations. L'auteur, en raj^ochant les tiravanx successifs des divers géomètres sûr cette matière, et' particulièrement les

éiEuler, de Foneènex, et celles que lu^nnème ajouta -dans les

Tiiî ARALTSE DU TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

Mémoires de Berlin de 177^^» fait voir que le théorème général se trou- Tait parais démontré d'une nmnière rigoureuse; mais à la fin de la même Note IX » il en rapporte une autre démonstration très élégante et déduite des mimes principes, que M. Laplace a fait connaître depuis, dans les Leçons de FÉcole Normale. Cependant, si Ton voulait résoudre effecti-* vement le polynôme en ses facteurs réels , comme il serait presque impossible de suivre le procédé indiqué par l'analyse qu'on y emploie , M. Lagrange croit devoir reprendre en entier ce problème général dans la Note X , on il fait voir à priori, non-seulement la possibilité de la décomposition de tout polynôme en facteurs réels du i** et du a* degré 9 mais encore le procédé qu'il faudrait suivre si l'on voulait actuellement eûectuer cette décomposition , ce qui ne laisse plus rien k désirer sur ce point important de la théorie générale des équations.

La nature des racines étant par-là bien connue , on peut se proposer maintenant ce problème général de leur résolution numérique.

« Étant donnée une équation numérique , sans aucune notion préalable » de la grandeur ni de l'espèce de ses racines , trouver la valeur exacte , Il s'il est possible, ou aussi approchée qu'on voudra de chacune de ces » racines. »

D'abord, s'il y a des racines égales., \1 sera facile de les reconnaiti^ et de les dégager de l'équation , comme on le voit dans le Chapitre > Il du Traité. S'il y a des racines imaginaires , la recherche des parties imaginaires se réduira k celle des racines réelles d'une autre équation que l'on peut actuellement construire^ et les .parties réelles de ces mêmes racines s'obtiendront sur-le-champ par la simple opération du commun diviseur , comme l'auteur le fait voir dans le même chapitre. Reste donc à savoir comment on obtient les racines réelles d'une équation quelconque. Mais , pour plus de clarté, cette recherche se divise encore^ car parmi les racines, les unes seront positives, les autres négatives. Or, si l'on sait trouver les positives , la même méthode appliquée à la transformée que donne l'équa» tion , en y changeant le signe de l'inconnue, fera connaître les racines positives de cette transformée, et par conséquent les négatives de la proposée.

Tout se réduit donc enfin à savoir trouver les racines réelles et positives d'une équation numérique quelconque donnée. Or , le premier problème sera d'en reconnaître le nombre et les limites entières les plus approchées.

Si ces racines différaient entre elles au moins d'une unité, de sorte que, entre deux nombres entiers consécutifs , il n'en put tomber qu'une seule, on serait sûr qu'en mettant , au lieu de l'inconnue , la suite naturelle des

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ûl

nombres , les résultats successifs présenteraient autailt de variations de signe qu*il y aurait de racines dans la proposée. Mais si , entre les deux nombres consécutifs , il se trouve deux , ou un nombre quelconque pair de racines, les résultats donnés par ces nombres seront de signes semblables , et ces racines ne seront point aperçues. S'il s'en trouvait un nombre impair, les deux résultats seraient à la vérité de signes différens, et indiqueraient Texistence de racines comprises, mais ne feraient point connaître leur nombre, puisqu'il pourrait y en avoir une , ou trois, ou un nombre quelconque impair. Donc, pour reconnaître à coup sûr le nombre des racines, il faudra faire une suite de substitutions dont les intervalles soient moindres que le plus petit intervalle des racines entre elles. Alors on verra paraître dans la suite des résultats, juste autant de variations de signes qu'il y aura de. racines dans la proposée. C'est pourquoi M. Lagrange cberche d'abord dans le problème du n"* 8 , Chapitre I, une équation dont les racines soient les différences entre celles de la proposée prises deux à deux. Il apprend à trouver une quantité qui soit moindre que la plus petite racine de cette équation , et par conséquent , que le moindre intervalle des racines de l'équation numérique k résoudre. Il est le premier qui ait fait ce grand usage de l'équation aux différences, soit pour séparer exactement les racines , soit pour obtenir les imaginaires , et reconnaître leur présence dans les- équations. Il donne, au reste, dans la Note IV, une manière plus simple de trouver cette limite de la plus petite différence , sans calculer en entier l'équation; et cette méthode peut abréger considérablement le travail dans la résolution des équations un peu élevées.

Cette recherche des limites des racines doit être regardée comme la plus importante de toutes dans la résolution des équations. C'est une chose qui ne parait pas avoir été sentie par la plupart des auteurs : quelques-uns, même dans des ouvrages nouveaux , croient encore donner une méthode sûre , en indiquant le procédé de la substitution successive des nombres entiers ; ce qui est , pour ainsi dire , passer à côté de la seule difficulté réelle du problème; car, une fois qu'on a les limites, il est bien aisé de les resserrer , et d'approcher autant qu'on veut de la racine comprise. Au reste , on a encore sur cette détermination des limites des racines, et sur les caractères de leur réalité, plusieurs méthodes très élégantes que Li considération des maxima, dans les lignes paraboliques, a fait découvrir i plusieurs géomètres. On les trouve réunies dans la Note YIII, avec la fameuse règle de Descartes ^ mais toutes déduites, suivant la marche uniforme de l'auteur , des premiers principes de l'analyse des équations.

Lorsque le nombre et les premières limites des racines sont déterminés, il s'agit de voir comment on en approche d'aussi près qu'on peut le