X ANALYSE DU TRAITÉ ÔE LA RÉSOLUTION

détàret. L'auteur applique k là solàllon de ce problème cette ingénieuse ûiêôi^ dès fractions continues ^ qu'il a perfectionnée et rendue si féconde dahs tôùtè rÂhalysé. La racinle dont on s'occttpe étant imaginée déyeloppéé éh fraction continue, il fait Yoir "comment , par la répétition de la même méthode appliquée à des transformées sticcessives, on peut trouver exactement les dénominateurs successifs de la fraction , et par conséquent la valeur aussi approchée qu'on voudra de la racine inconnue. Les ojpérations k faire sur ces transformées deviennent très simples; car, si Ton a eu soin de changer d'aboifd la proposée en une autre où les racines soient distantes au iiioins de Tùnité, ce qui est fâdle^ alors chaque transformée li'a jamais qu'une seule racine supérieure à Vunité, et il est bien aisé de trouver les deux nombres entiers qui la renferment. On a donc, par la nature même des fractions continues , l'expression la plus simple et la plus exacte possible de chaque racine, et, k chaque instant, les limites de Terrétir que Von pourrait commettre. Si la racine est commensurable , la fraction continue s'arrête *, si elle est incommensurable du a* degré , la fractioii devient périodique, et la méthode de l'auteur a encore cet avantage de faire connaître les diviseurs conimensurables du i^' et du !i* degrés que la proposée pourrait contenir.

' Ainsi l'on a , dans l'analyse des équations , ce beau résultat entièrement dû à M. Lagrange : si une inconnue e^t engagée dans une équation numérique de degré quelconque , on peut regarder actuellement sa valeur comme déterminée d'une maiiière parfaite*, et Ton est en état d^assigner les termes successifs de la fraction continue qui la représenterait, avec autant de rigueur que s'il s'agissait d'une fraction ordinaire que Ton voudrait actuellement développer.

Ni cette rigueur, ni celte généralité n'ont lieu dans aucune des méthodes données pour la solution du même problème. Outre qu'elles supposent la connaissance des limites des racines^ qui ne s'obtiennéht rigoureusement que par la première analyse de l'auteur , elles ne donnent point & chaque correction les limites de l'erreur , et laissent en doute sur les chiffres que l'on doit conserver. En suivant la méthode de Newton y si élégante d'ailleurs , et si commode dans l'usage , non-seulèmënt on ne reconnaîtrait point les racines commensurables , et les limites de l'erreur actuelle; mais on 'pourrait trouver des valeurs successives corrigées qui , au lieu de converger continuellement vers la racine, s'en éloigneraient, au éotitrair^, de (lus en plus. M. Lagrange', qui examine et apprécie cette méthode dans la Note V, fait voir que l'usage n'en est sûr que dans le cas où la racine cherchée est la plus grande ou la plus petite de toutes ; et s'il y a des racines imaginaires, il faut encore que les parties réelles soient moindres

DBS EQUATIONS NUMÉRIQUES. x)

que la plus gfande racine réelle, ou plus grandes que la plus petite de ces racines. C'est ce qu'oa pourrait voir d'ailleurs par la coostruction géomé» trique delà règle de iVewton. Car les corrections successives de la racine reviennent k ajouter continuellement à Tabscisse qui représente la valeur approchée, la soùs-tangente qui répond à cette abscisse; et il est visible que Textrémîté de cette spus-tangente peut, 'dans plusieurs cas , tomber plus loin de Tintersection cherchée de la courbe avec Taxe , que ne le fait Tabscisso eUe-méme. On éviterait cet inconvénient en tirant la corde de Tare dont les extrémités répondent aux deux, abscisses qui sont les limites de la racine ; car cette corde traversant Taxe dans Tintervalle des limites , donnerait un point nécessairement plus voisin de Tintersection de la courbe, et Ton serait sûr d'approcher.

La méthode d'approximation que Daniel Bemoulli a tirée des séries récurrentes, est sujette aux mêmes défauts. Elle, ne s'applique qu'à la recherche de la plus petite ou de la plus grande racine ; et lorsqu'il j^ a des racines imaginaires, il faut aussi que Ja racine soit dans de certaines limites par rapport aux produits réels des racines imaginaires conjuguées. On pourrait également l'appliquer, par une transformation de la proposée, A la recherche de l'une quelconque des racines réelles. Mais il faudrait connalire d'avance une valeur qui fut approchée de cette racine au moins jusqu'à un certain point déterminé. Or ces premières limites ne peuvent s'obtenir, comme on l'a dit , que par les méthodes données dans cet écrit; et ces valeurs une fois connues , il est bien plus exact d'employer la méthode des fractions continues pour approcher rapidement de la vraie valeur des racines. An reste, cette méthode , déduite de la considération des séries récurrentes, revient k celle de Newton, comme on le voit dans la Note XI. M. Lagrange j réduit en formule générale le résultat .des substitutions successives indiquées par cette règle. U déduit facilement de son élégante analyse, le rapprochement des méthodes précédentes y et la formule à^Euler pour le développement en série de la racine d'uAe équation quelconque, et celle de Newton pour le retour des suites , aveo la loi des termes et le moyen de continuer la série aussi loin qu'on peut le désirer ; enfin la démonstration de cette formule qu'il a donnée le. premier, en 1768, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, et qui est aussi remarquable par son élégance que par sa généralité. Cette Note, qui est un des plus beaux morceaux d'analyse , est terminée par l'extension de la règle de Newton k la résolution simultanée de plusieurs équations où l'on connaît déjà lei valeurs approchées des diverses inconnues. Thomas Simpson zy^il indiqué ce procédé ; mais l'auteur développe les inconnues en séries générales dont il montre la loi, œ que i$îiny9J0it n'avait point fait.

xi) ANALYSE DU TRAITE DE LA RÉSOLUTION

Quant à la mëihode de Fontaine, sur laquelle éPAlembert et Candorcet s'étaient contentés de jeter cpelqnes doutes , joh la trouve très nettement , discutée dans la Note Vil. M. Lagrange y prouve d*abord Téquivoque des caractères établis par l'auteur pour reconnaître 9 au moyen des co^ciens de Téquation , le système particulier de racines qui lui doit correspondre. Ces caractères conviennent quelquefois à plusieurs systèmes , et par conquent ne distinguent pas toujours , de tous les autres ^ le système unique dont il s'agit; de sorte qu'on ne peut assurer par-là , ni le nombre , ni la qualité des différentes racines. Mais la méthode est encore en défaut dans la seconde partie de la recherche : on y suppose que, par la substitution des nombres entiers au lieu de l'inconnue , les équations que l'on considère présenteront des résultats de signes contraires \ et cela n'a lieu , comme on sait ^ que pour celles où le plus petit intervalle des racines serait supérieur à l'unité. Aussi M. Lagrange n'ezamine>t-il cette méthode, dont on ne fait point usage , mais dont l'idée est très fine, que pour ne rien laisser a désirer sur la matière des équations. Comme il n'y a , dans toute l'Analyse^ aucun point remarquable où ce géomètre n'ait porté son esprit, et qu'il n'ait, pour ainsi dire, regardé de très près, on est sûr de trouver dans ses ouvrages , en même temps que ses. propres découvertes , tout ce qui a été pensé de plus profond ou de plus ingénieux par ses prédécesseurs; et, ce qui est bien digne de remarque, tout y parait suivre uniformément des mêmes principes, comme si l'auteur en développait les plus simples corollaires.

Mais on a un exemple plus frappant de ce talent de simplifier et d'étendre à la fois les doctrines , dans le problème si fameux de la résolution générale des équations. Tout consiste , comme on l'a dit , i trouver une formule composée des coefficiens littéraux de la proposée et qui la rende satisfaite d'une manière tout-à-fait identique. La première idée qui s'offrit aux géomètres , fut de chercher immédiatement quelque artifice par lequel on pût mettre l'inconnue toute seule dans un membre de l'équation , et tous les coefficiens donnés dans l'autre. On imagina ensuite de chercher des transformations de l'inconnue qui rendissent l'éqiuition semblable à une autre que l'on pût résoudre ou décomposer. C'est à ces premières vues très naturelles, mais point encore éclairées par la théorie profonde des équations, qu'on doit rapporter les solutions de Cardan et de Tartalea, pour le 3* et le 4' degrés \ la méthode de Deseartes pour décomposer l'équation du ^"ycn deux autres du second; eelle.de TschimaUs, pour réduire la proposée aux deux termes extrêmes pa» l'évanouissement des termes intermédiaires ; celle à*EuIer, qui consiste à feindre d'avance la forme de l'expression générale de la racine , et à chercher msuite ce qu1l faut mettre souf les radicaux qu'on y suppose ; enÛA cellfs de

D£S ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. vi)

Bezout^ fondée sur wx principe semblable, mais où Ton commence à observer les degrés des Réduites, et à indiquer la loi de leur élévation successive.

Tontes ces métbodes dépendent^le 1 exécution actuelle d'un calcul , et Ton n'y voit point qu'on doive arriver, à moins qu'on n'arrive efiectivement : or par la nature du problème, la Icmgueur des calculs Croit avec une telle rapidité , que la question ne peut plus étrfr aujourd'hui de chercher la formule , mais simplement dei prédire la suite 4es> opérations qui y conduirait à coup sûr. Aucitte de ces méthodes nepent donc satisfaire l'esprit, et c'est a des idées plus hautes sur la nature des équations iqpi'il faut s'élever à pré^ sent pour découvrir s'il y a ou non ime route certaine qui (erait parvenir k leur résolution générale.

F^andermonde attaqua le problème avec beaucoup de justesse et de profondeur, dans les Mémoires de rAcadémîe des Science^ pour l'année 1771. Il considère que si la formule était trouvée, et qu'on mit, au lieu des coefficiens, leurs valeurs en fonction des raeines, cette formule qui doit donner égalç^ ment chacune d'elles, devrait pouvoir présenter indiâéremment ou la première, ou la seconde, ou Tune quelconque de €e# racines, à volonté. D'après cette idée, prenant plusieurs lettres qui représentent W racines', il cherche à en c<»nposer une expression qui, par l'équivoque des signes, se réduise indifféremment à Tune ou à l'autre, comme on voudra, Les formules connues lui donnèrent sur-le«-champ ces expressions pour les quatre premiers degrés, et par analogie,, il est facile d'en trouver pour les degrés supérieurs. Mais la difficulté resté d'exprimer ensuite ces fonctions des racines, par les simples coefficiens de la {Nroposée, .ou de les faire dépendre d'autres équations dont la résolution s<Ht connue. Il donne la-dessus des formes abrégées de calcul , qu'il nomme Types , et au moyen desquels il peut voir plus rapidement quelle sera Tissue de ces longues opérations. $a métliode, comme toutes les autres, réussit très bien pour les équations des quatre premiers degrés; mais pour le cinquième , il se trouve conduit et arrêté ^ tme équation du sixième degré qu'il faudrait résoudre. Quant à l'équation générale de ce dernier degré, il trouve qu'on arrivera à une réduite finale ou du quinzième, on du dixième, snivan$ la route qu'on voudra choisir ; car pour les degrés composés , on peut former avec les racines plusieurs expressions, équivoques, qui aient également la propriété d'offrir indifiéremment chacune d'elles ; et il y a un choix à faire pour la moindre élévation du degré de la réduite. C'est une remarque que les formulas du 4^ degré aurolit naturellement présentée ^ VamAcrmonàô. Par ceruines méthodes^ on n'y trouve point de radicaux pairs pfau élevés que la radical carré ; par^ d'autres, on y trouve des radicaux quatrièmes. Toutefois les formules doivent .être identiques et le sont en eflei , parce que «s radicaux pairs sont réductiUes entre eux. Je me suis

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xiy ANALYSE DU TRAITÉ D£ LA RÉSOLUTION

un peu arrêté sur ce Mémoire , parce qa*il est plein de choses* L*autear parait ne point douter du succès de sa méthode pour la résolution des équations binômes. Sans indiquer la suite des opérations qu*il a dû faire , il donne la formule qui résout Téquation binôme du ii* degré, et il se trouve que ce résultat , à peu près ignoré jusqulci , est exact à un changement de signe près, comme M. Lagrange Ment de le vérifier dans la note XIV de cet ouvrage, où il donne la résolution générale de toute cette classe d'équations. Ainsi Vandermonde est , suivant M* Lagrange luimême, le premier qui ait franchi les limites où la résolution des équations binômes se trouvait resserrée.

A peu près dans le même temps, M. Lagrange parcourant les principales méthodes trouvées jusque-là sur la résolution générale des équations, les rappelait k un même principe^ et formait cette théorie lumineuse où Ton voit sans calcul les degrés où doivent monter les réduites, et la raison de leur abaissement au-dessous de la proposée dans les quatre premiers degrés. Voici Tidée générale de ce beau travail que l'auteur a donné dans les Mémoires de Berlin, pour 1770 et 177 1, et dont le précis fait Tobjet de la Note XIU de cet ouvrage.

Quelles que soient ces équations d'où Ton ferait dépendre la résolution de la proposée , et qu'on nomme ainsi les réduites^ leurs coefficiens seront fonctions des coefficiens de cette proposée, et par conséquent leurs racines, fonctions de ses racines. Toute réduite s'élèvera donc toujours à un degré mar^ que par le nombre de valeurs que peut avoir la fonction des racines que l'on y considère. Or, cette fonction en général aura autant de valeurs qu'on y pourra faire de permutations entre les racines qui y sont contenues. Si donc elle en a moins, cela ne pourra provenir que de la natui-e particulière de la fonction qui sera telle, que plusieurs permutations entre les racines n^ apporteront aucun changement. D'après ces principes, il est bien facile à l'auteur de rapprocher toutes les méthodes des géomètres. Car, en mettant sous leurs formules, à la place des coefficiens^ leurs valeurs parles racines, il découvre les fonctions particulières qu'ils cherchaient, pour ainsi dire, à leur insu^ et il arrive que toutes ces fonctions reviennent à la même , nialgré l'apparente diversité de leurs calculs et de leurs méthodes. Il voit en même temps pourquoi leurs réduites , dans les quatre premiers degrés , s'abaissent audessous de l'équation et la résolvent^ et, se trouvant à même de prévoir le succès de calculs impraticables pour le cinquième degré, il montre que la réduite, qui est naturellement du lao* degré, descendra d'abord au si4*; que cette équation nouvelle se partagera en six autres du 4* degrés dont les coefficiens dépendront ainsi d*une équation finale du 6* degré , qu'il s'agirait d'iibaisser encore , mais qui a résisté jusqu'ici

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. xt

À tous les efforts des géomètres. H trouve de même rabaissement des réduites au i5* ou an lo* degré, pour la résolution générale du 6* : on voit Vaccord de ces résultats avec ceux que F^andermonde obtenait dans le même temps par le moyen de ses formes ou types de calcul qu^il avait imaginés. Mais la théorie de M. Lagrange est bien plus claire 9 et Ton y prévoit avec une égale facilité les résultats qu'on peut espérer pour la résolution de tous les degrés supérieurs. De plus , Fauteur en tire une méthode simple et uniforme pour résoudre les équations. Gir il est clair actuellement que le problème peut revenir à celui-ci : trouver des fonctions des racines qui soient telles d'abord qu'on en puisse aisément dégager ces racines , et en second lieu y qui ne dépendent que d'équations inférieures h la proposée , dont les coeffidens soient connus , ou dépendent eux-mêmes d'équations aussi inférieures à cette proposée. M. Lagrange choisit une fonction linéaire des racines: réquatipn qui la donnerait y et qu*on peut actuellement construire , s'élèverait au degré marqué par le nombre des permutations qu'on pourrait faire entre toutes ces racines, et, passé le a* degré, serait toujours phis haute que la proposée. Mais si l'on a soin de prendre , pour les coefficiens de cette fonction linéaire, les racines de l'unité du même degré que l'équation , ce que toutes les méthodes indiquent , la réduite s'abais* sera, comme on peut; le voir à priori, par la forme même de la fonction. Pour en donner une idée, qu'il s'agisse, par exemple, de résoudre Téquation générale du 5^ degré. L'équation résolvante qui donnera la fonction linéaire de ses cinq racines, s'élèvera au degré i. a. 3. 4*5 ou lao, nombre de manières dont on peut permuter cinq choses entre elles. Mais si les coefficiens de cette fonction sont les racines cinquièmes de l'unité, on observera que cette fonction multipliée successivement par ces 5 racines , fournira 5 fonctions pareilles où les racines de la proposée auront changé de place. Cette multiplication équivaudrait donc à 5 permutations qu'on ferait entre les racines. Donc, si la fonction simple a lao valeurs différentes, sa cinquième puissance n'en aura que la 5* partie ou 214. On cherchera donc la cinquième puissance de la fonction linéaire. Mais ces a4 valeurs se partageront encore en six groupes. Car , par la nature des racines imaginaires de l'unité, une seule, avec ses puissances succès» sives, donne toutes les autres; une autre, avec ses puissances successives, les donne encore , mais rangées dans un ordre nouveau. Or , comme il y a ici quatre de ces racines, la même fonction oà l'on emploierait successivement et de la même manière ces quatre racines, répondrait successivement k quatre de ses valeurs, comme si l'on y eût permuté quatre fois les racines de la proposée. Toute expression semblable de ces quatre

xw) ANALYSE DU TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

fonctions , telles que leur somme » la somme 4e leurs produits deux k deux , ou trois i trois , etc. , a*liura donc que. le qusrt de toutes les valeurs , ou simplement six valeurs différâtes. La fonction pourra donc être regardée comme la racine d*une équation du 4* degr^ dont les coefficîens seront donnés par une équation du 6* qui sera entièrement connue. On ferait ▼oir par les mômes raisonnemens que la résolvante du n« degré et qui montera au degré i.a.3.4«5.6.7 s'abaissera au degré 2*3. 4*5; et ainsi de suite : de sorte que la métbode , pour les degrés qui sont des nombres premiers, ne fait disparaître que les difficultés marquées par les deux derniers facteurs dans la formule qui exprime le nombre de toutes les permutations possibles ; et cette réduction ne suffit pas pour les degrés supérieurs au 3*.

L^auteur applique également sa métbode aux équations de degrés composés ; et par la nature même de la cbose, il y a pour ces degrés des simplifications particulières dans la marche et le résultat du calcul. Les réduites s*y abaissent davantage^ mais, au-delà du 4' degré, elles restent toujours supérieures à la proposée; et Ton n'a pu y voir jusqu-ici aucune réduction ultérieure.

Voilà tout ce qu*on sait sur la résolution générale des équations où les racines sont supposées dans une parfaite indépendance. On ignore entièrement si celte résolution est possible, et s'il ne pourrait pas y avoir des formes de fonctions où l'on épuiserait plus de permutations que dans celles dont nous venons de parler.

Mais , lorsque les racines sont liées par quelque relation connue , la difficulté descend toujours à celle des degrés inférieurs. Si une partie des racines est traitée d'une certaine manière, on pourra sur-le-champ dégager le polynôme qui les renferme ; et s'il y a plusieurs groupes où les racines contenues soient semblablement traitées, on obtiendra un quel* conque de ces groupes par une équation d'un degré marqué par leur nombre. Quand on sait, par exemple, que les racines d'une équation se conjuguent deux à deux, de manière que leur produit fait l'unité, cette équation , qu'on nomme réciproque j se partage aisément en deux autres de degré deux fois moindres; et de même, si les racines se conjuguaient trois à trois par quelque relation commune , l'équation se partagerait en trois autres^ et, en général, la difficulté dune équation où les racines s'assemblent en groupes semblables se réduit aux difficultés des degrés respectifs marqués par le nombre des groupes, et par le nombre de racines contenues dans chacun d'eux.

C'est ce qui arrive naturellement aux équations binômes d'un degré composé. Si vous considérez, par exemple, l'équation binôme du i5*

DES EQUATIONS NUMEI^IQUSS. xvij

degré, elle a i5 racines^ mais, pa^rmi ces, racM&çs^ U y en a trois dont les cubes isont égaux, trois autres dont Les cubes sonjt égaux, etc.; dpnc si, au lieu de chercber les racines simples, vous ne cberchez d'abord que les cubes, vous n aurez plus que cinq valeurs. Et de même, si Ton n'eût cbercbé que les cinquièmes puissances, on n!aurai| eu que trois valeurs différentes ; d'où il parait manifesta qufune équation binôme d'un degré composé se réduit à la résolution d'équations semblables de degrés marqués par les facteurs du degré de la proposée.

U ne resté donc qu'à résoudre l'équation binôme d'un degré premier. Or, en étant par la division le facteur linéaire qui répond à la racine réelle, ou obtient une équation réciproque de degré pair, laquelle se dédouble comme on l'a dit, et n'a plus que la difficulté d'un degré dçux fois moindre.

On n'avait pas été plus loin dans la réduction des équations binômes , lorsque M* Gauss démontra que cette équation réciproque pouvait se résoudre k l'aide d*autant d'équations particulières qu'il y a de facteurs dans son degré, et dont les degrés sont exprimés par ces mêmes facteurs. Ainsi l'équation binôme du i3* degré donne, en séparant le facteur réel, une équation réciproque du la* degré q\ii ne demande plus que la résolution de trois équations des degrés respectifs a, a et 3 qui sont les facteurs premiers de la. L'équation binôme du 19* degré n'exige de même que la résolution de trois équations des degrés a , 3 , 3 ; et ainsi de suite. Sans entrer ici dans le détail des propriétés de nombres qui ont condmt M. Gaiiss k cette réduction nouvelle, nous ferons observer qu'elle tient essentiellement à çç que les racines se conjuguent non-seulement deux à deux , comme on le savait depuis long-temps , mais se groupent encore 3à3,5à5,etc.;si 3 et 5^ etc., sont encore facteurs du nombre de ces racines. Ceat ce qu'on pourra reconnaître sur des exemples, avec un peu d'attention. Ainsi, l'on verra sans peine que les douze racines imaginaires de l'équation binôme du i3* degré se partagent en quatre groupes de trois racines, telles, dans cbacun d'eux, qu'en mettant l'une à la place de l'autre , ces trois racines ne se séparent pas; et par conséquent, si Ton écbange les racines d'un groupe i l'autre, les groupes ne feront que cbanger de place en conservant toujours leurs mêmes racines. Ensuite on verra que , parmi ces quatre groupes , il y en a deux qui sont tels que , tout échange qui iaU passer i'un 1 la place de l'autre, ramène celui-ci à la place du premier; «insi, les deux autres groupes sont dam le même cas. Si donc sous demandez à l'équation du la* degré, le diviseur du 3* qid Tasseihblcrait les trois radnes d'un groupe, vous aurez les cœffidens de ce diviseur par ]uae

XTnj ANALYSE DU TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

équation du 4* degré; et si vous cherchez à celle-ci le diviseur du secoi|d qui a ses raciDes correspondantes aux deux groupes conjugués, vous aures ses coefficiens par une équation du a* degré; de sorte que la proposée sera résolue par des équations auxiliaires du a* et du 3* degré ; et ainsi des autres. Quant à ces équations auxiliaires , elles n*ont elles-mêmes que la difficulté des équations binômes du même degré. On peut Toir U-dessus les disquisitiones arithmeticœ, aux endroits cités par M. Lagrange, dans la Note XIV de ce Traité.

Mais, par Tanalyse quil vient de nous donner dans cette Note nouvelle, on voit» avec la dernière évidence, la réduction immédiate de Féquation réciproque proposée à une équation binonie du même degré qui est déjà censée résolue ; de sorte que sa méthode rend superflue cette considération des équations auxiliaires, et fait disparaître les ambiguïtés que Ton rencontre dans le procédé de M. Gauss, pour distinguer à chaque instant la racine particulière qu'on a dessein de dégager dans toute la suite du calcul.

Pour mieux expliquer cette Analyse , qui n'est autre chose qu'une application particulière de la méthode générale exposée dans la Note précédente, je prendrai l'exemple de l'équation binôme du onzième degré : le discours en sera plus facile , et le raisonnement ne perdra rien de sa généralité.

En séparant donc la racine réelle, on a une équation réciproque du lo* degré qu'il s'agit de résoudre. Or^ on sait d'abord que les racines de cette équation ont cette singulière propriété , qu'une seule d'eAtre eUes élevée successivement aux puissances i, a, 3, 4» 5> etc., donne toutes les autres ( '^ ) ; et si l'on continuait d'élever à des puissances plus hautes , on les verrait reparaître périodiquement dans le même ordre, à l'infini, en trouvant l'unité à chaque puissance qui serait un multiple de onze. Cette propriété nous permet donc d'écrire toutes nos racines avec une seule lettre aifectée de différens exposans. Mais, au lieu de ranger ces exposans en progression arithmétique, M. Gauss, d'après le théorème de Fermât sur les résidus des puissances , eut l'heureuse idée de les ranger en progression géométrique, en prenant pour base un de ces nombres , <iu Euler nomme racines primitives , et qui sont tels que leurs puissances successives ,' divisées par le nombre premier dont il s*agit, qui

(*) H^aring attribue ce théorème à M. Lagrange '^ ce qa*U y a de remarquable, c^ei t qae Vandermonde ne le comiaÎMaît point en 177 1 : il représente encore lei diferseï racines de Tonité par des lettres différemment accentuées, tandis qu'il ponyait les représenter par nne même lettre arec différens exposant , et voir sans calcul toutes les réductions qu^il effectue si laborieusement dans sou Mémoire.

. DES ÉQIÎATIONS HUMÉRIQUES.Î ; • x«:

est ici ODEO, laissent des résidus successifs tous différens: de cette manière on a encore les ds mêmes racines que si Ton eût pris. les expo-» sans I, a, 3| 4» etc. 9 mais dans un ordre nouveau, ce qui est indiffé-r:. rent. Or à présent , on peut voir que cette disposition des racines est telle que, si Ton veut mettre une d'entre elles à la place d'une autre, et que, par ce changement, une des racines s'avance d'une, de deux, de. trois ou de quatre places, etc., toutes les autres s'avanceront en même temps d'une, de deux^ de trois ou de quatre places, etc.; de sorte que toutes les permutations possibles que vous voudriez faire entre ces dix racineé, par le transport de Tune à la place d'une autre, se réduiront uniquement aux dix permutations que vous obtenez en lisant de suite vos racines, d'abord à partir de la première, puis de la deuxième, puis de la troisième > etc., enfin de la dixième, exactement comme si elles étaient écrites en ^cercle. Cela posé , si , en suivant la méthode générale de la Note XITT, vous prenez une fonction linéaire de vos dix racines, et que vous mettiez pour coeffidens les dix racines dixièmes de l'unité, en plaçant ces racines suivant Tordre naturel des puissances d'ime $eule^ vous observerez qu'en multipliant toute cette fonction linéaire par la première racine dixième de l'unité, vous faites avancer dans la fonction toutes vos racines cherchées d'une place; si vous multipliez par la deuxième, vous les faites avancer de deux places, et ainsi de suite. Donc, si vous élevez tout d'un coup la fonction linéaire à la dixième pi\issance, vous épuisez les dix seules permutations différentes dont elle était susceptible, et par conséquent vous n'y trouvez plus qu'une seule valeur, quelque échange qu'on y fasse entre les racines contenues. Vous obtenez donc cette première fonction linéaire en remettant le radical dixième sur sa dixième puissance qui est connue. Vous obtenez de même une seconde fonction linéaire, en employant une autre racine dixième de l'unité, et ainsi de suite; et de ces dix 'fonctions linéaires vous tirez surle-champ, sans ambiguïté,. vos dix racines inconnues.

Telle est la méthode donnée par M. Lagrange , comme une suite naturelle de sa méthode générale. On y profite 'encore des simplifications qui se présentent dans la résolution des équations composées. Ainsi, au lieu d'élever la fonction linéaire k la puissance marquée par le degré de l'équation^ on peut n'élever d'abord qu'à la puissance marquée par l'un des facteurs premiers de ce degré, et ainsi de suite; et l'on aura le double avantage d'arriver d'une manière plus prompte à des formules plus simples. Toutefois ces formules seront les mêmes eu égard à la nature des radicaux , parce que des radicaux d'un degré composé se réduisent à ceux des degrés respectifs marqués par les facteurs premiers de

u ANALYSE DU TRAIIÉ 0E LA RÉSOLUT. DES ÉQUAT. NVMÉIL

oe degfé* On voit detfc que 9 dans b formule qoi t^ésont une équation bifiiptne d^un degré quelconcpae premier, il n*y awa pas d'autres radicaux que ceixt qiii répondent aux facteurs simples de ce degré premier moins un. Ain», potir TéquaUon bitiome du 17* degré, il n'y aura que des racines carrées; on pourra dànc construire la formule par la règle et le Cbmpas ; voilà pourquoi Ton peut inscrire géométriquement le polygone régulier de dix-sept côtés ; et en général , tout polygone d'un nombre de côtés, égal a une puissance de deux plus un, et en même temps pre» nrier. dar on saât qne la résolution de Péqnslion bmome donne la division du cercle en parties égailes : rédiroquemest , si l'on sait diviser le cercle en parties égales, on peut résoudre l'équation binôme dfun degré marqué par le nombre de cea parties. Aussi , de toutes les solutions de cette équation , la meilleure dans Pusage est celle que doraient les tables de. trigonométrie, où l'on trouve la circonférence divisée en un nombre quelconque de parties^ avec une très grande exactitude. Mais il n'en était pas moins curieux et important pour l'Analyse, d'examiner et do suivre jusqu'au bout cette résolution algébrique des équations binômes, qui est comme la def de la résolution générale des équations complètes Ç^).

^m*^mm0mmmitttmmm^mm^mtmmÉÊ^mmm^màm»*m**m^mmimmm0im*mitmmmm^

(*) Vojes oe qoit ooiia arooi écrit depoii far mUc madère , dtne le XIV* et denrier Tohune des Mémoires de Tlnsiitat , et dantle tome FV des Mémoires de F Académie des Sciences.

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