ARTICLE IV

Sur la manière de trouver les racines imaginaires dune équation.

4o. Nous avons vu dans l'article II* que chaque couple de radnes imaginaires correspondantes a-f-/3v^ — '» « — i^v/— i donne nécessairement dans l'équation des différences une racine réelle négative — 4/3* \ d'où il suit qu'en cherchant les racines réelles négatives de cette équation, ou trouvera nécessairement les valeurs de —4)8% d'où l'on aura celle de j9 à l'aide desquelles on pourra ensuite trouver les valeurs correspondantes de a, comme nous l'avons enseigné dlains le n* 1 7 ; de sorte qu'on aura , par ce moyen , l'expression de chaque racine imaginaire de l'équation proposée; ce qui est souvent néces* saire^ surtout dans le calcul intégral. Voici seulement une observation qui peut servir à répandre un plus grand jour sur cette théorie , et à dissiper en même temps les doutes qu'on pourrait se former sur son exactitude et sa généralité.

4i« Lorsque les parties rëelles «) >, etc. des racines imaginaires

> + «rv/— I,

etc.

sont inégales tant entre elles qu^avec les racines réelles a^l^ c^ etc., il est évident, par la table de l'article second, que l'équation des différences n'aura absolument d'autres racines réelles négatives que celles-ci : — 4/3% 4^% ^^^' î ^^ sorte que le nombre de ces racines sera le même que celui des couples de racines imaginaires dans l'équation proposée.

Mais s'il arrive que , parmi les quantités a , y^ etc. , il s'en trouve d'égales entre elles ou d'égales aux quantités a, b^ Cy etc., alors Téquation des différences aura nécessairement plus de racines négatives que la proposée n'aura de couples de racines imaginaires.

En effet, soitâ=:ci, les deux racines imaginaires (et — a-f-/3l/— *i)% (a — a — fi\/ — i)', deviendront — jS*, et — j3», et par conséquent réelles négatives.

De sorte que si l'équation proposée ne contient, par exemple, que les deux imaginaires « + jS \/ — i , et a — j3 {/ — i , l'équation des différences contiendra, dans le cas de a=â, outre la racine réelle négative — 4i3*, encore ces deux-ci : — /S*, — j8% égales entre elles.

D'où l'on voit que lorsque l'équation des différences a trois racines réelles négatives, dont deux sont égales entre elles, alors la proposée peut avoir ou trois couples de racines imaginaires, ou une seulemeut.

Si la proposée contient quatre racines imaginaires a-f-jSj/ — i, A .^ jSy/.-. I , > + J^ V^— I , J' — J^ V^— I > alors l'équation des différences contiendra d'abord les deux racines réelles négatives — 4/S*, — 4J^*; ensuite si « = fl, elle aura encore ces deux-ci : — 'iS*, -^/3*; si yzszby elle aura de même ces deux autres-ci : — J^* — cT'j enfin , si on avait a=>> alors les quatre racines imaginaires

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deviendraient

-(/3-«r)«, -(^-cT)', -c^+cT)', -(^+«r)«,

c'est-à-dire réelles négatives, ou égales deux à deux.

4a. De là il est facile de conclure,

1®. Que lorsque toutes les racines réelles n^atives de l'équation des différences sont inégales entre elles, alors la proposée aura nécessairement autant de couples de racines imaginaires qu'il y aura de ces racines.

Et, dans ce cas, nommant — tv une quelconque de ces racines, on

aura d'abord ô = — ; cette valeur étant ensuite substituée dans les

deux équations (H) du n*" 17, on cherchera leur plus grand commun diviseur, en poussant la division jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste ou ft ne se trouve plus qu'à la première dimension ; et faisant ce reste égal à zéro , on aura la valeur de cl correspondante à celle de /3 ; par ce moyen, chaque racine négative — îv donnera' deux racines imaginaires aH-jSv/-^!, et a— /3v/ — i.

a"*.' Que si, parmi les racines réelles natives de l'équation des différences, il y en a d'égales entre elles, alors chaque «acine inégale, s'il y en a, donnera toujours, comme dans le cas précédent, une couple de racines imaginaires; mais chaque couple de racines égales pourra donner aussi deux couples de racines imaginaires, ou n'en donner aucune; ainsi deux racines égales donneront ou quatre racines imaginaires ou aucune; trois racines égales donneront ou six ou deux racines; quatre racines égales donneront ou huit ou quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

43. Or soient, par exemple, •— w, et — w deux racines égales néga«

tives de l'équation des différences, on fera j3 = -— comme ci-dessus;

et substituant cette valeur de /3 dans les équations (H) du numéro dté, on cherchera leur commun diviseur en ne poussant la divisioti que jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où a ne se trouve qu'à la seconde dimension , à cause que la valeur de jS est double , conune nous l'avons déjà remarqué dans l'endroit cité.

Ainsi, faisant ce reste égal à zéro , on aura pour la détermination de a

une ëquatlon du second degré , laquelle aura , par conséquent ^ ou deux racines réelles ou deux imaginaires.

Dans le premier cas, nommant ces deux racines a! et et'', on aura les quatre racines imaginaires *'+i8v/ — i, *' — ^Sj/-— i, a"+ /3v/ — i, ai^ — /3 ^ — I ; dans le second cas , les valeurs de tt étant imaginaires contre l'hypothèse, ce sera une marque que les deux racines égales — -fVy — *TV ne donneront point de racines imaginaires de la proposée.

44- S'il jnavait dans l'équation des différences trois racines ^ales et

négatives — w, — w^ — ^, alors faisant )8=: -î— , on poussera seulement

la divbion des équations jusqu'à ce que Ton parvienne à un reste où a se trouve à la troisième dimension ; de sorte que ce reste étant fait =o> on aura une équation du troisième degré en ci, d'où l'on tirera, ou trois valeurs réelles de c&, ou une réelle et deux imaginaires : dans le premier cas , on aura six racines imaginaires ; dans le second , on n'en aura que deux, les valeurs imaginaires de a devant toujours être rejetées «omme contraires à l'hypothèse^ et ainsi de suite.

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