D«— 2^ .4*B*D-4- 4^ . 3*C^BD + 4^B^D — 4OB' — .3'C

est négative , la proposée aura nécessairement deux racines réelles et deux imaginaires; mais si cette quantité est positive, alors la proposée aura toutes ses racines réelles ou toutes imaginaires.

Or, toutes les racines seront réelles si les valeurs de tous les coefficiens a, by c, dy e,/sont positives; donc elles seront toutes imagi-

naires A le dernier coefllcieat / étant po6it,lf , quelqu'un des autres se trouTe négatif.

Supposons donc le coefficient f positif, en sorte que Ton ait

44D3 — 3* • 4'B*D*+ 4* . 3'C*BD + 4«B^D — 4C*B«— S^C* > o,

et on trouvera que tous les autres coelHciens seront aussi positifs si l'on a en même temps

B<o, et B*— 4D>o,

et qu'au contraire quelqu'un d'eux deviendra nécessairement négatif si

B>o, ou B*— •4D<o.

Ainsi, dans le premier cas, les quatre racines de l'équation serpol toutes réelles , et dans le second elles seront toutes imaginaires.

On pourrait de même trouver les conditions qui rendent les racines des équations du cinquième degré toutes réelles, ou en partie réeUei et en partie imaginaires; mab comme, dans ce cas, l'équation des dif-

férences monterait au degré — î= lo, le calcul deviendrait extrême* ment prolixe et embarrassant.