ARTICLE PREMIER

Sur les fractions continues périodiques.

45. Nous avons déjà remarqué dans le n* i8, que lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable , la fraction continue doit nécessairement se terminer; de sorte que l'on pourra avoir l'expression exacte de la racine ; mais il y a encore un autre cas où l'on peut aussi avoir l'expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille à l'infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique, c'est-à-dire, telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours dans le même ordre à l'infini; par exemple, si on avait la firaction

P + etc-i il est dair qu'en nonunant x la valeur de cette fraction , on aurait

ce qui donne cette équation

qoc^ — pqx — ^ = o ,

par laquelle on pourra déterminer a:; il en serait de même si la période était d'un plus grand nombre de termes, et Ton trouverait toujours pour la détermination de x une équation du second degré. 11 peut aussi arriver que la fraction continue soit irréguliére dans ses premiers termes, et qu'eUe ne commence à devenir périodique qu'après un certain nombre de termes ; dans ces cas ^ on pourra trouver de la même manière la valeur de la fraction , et elle dépendra pareillement toujours d'une équation du second degré; car soit, par exemple, la fraction

^ r + etc.

Nommons toute la fraction x^ etj* la partie qui est périodique, savoir :

' ■*" r+ eta, on aura

d'où l'on tire r ==- r-^ — r : niai3 l'on a r = r+ • , ce qui

donne ^ — rçT*— r=so; donc, substituant pour j^ sa valeur en Xj on aura

^(or— ;?)•— rî(ar— ;?)[x— ç(ar-.;?)] — r[i— ç(jr— ;?)]*==o,

équation qui , étant développée et ordonnée par l^pport à x, montera au second degré.

46. On voit, par ce que nous venons de dire, que le cas dont il s'agit doit avoir lieu toutes les fois que, dans la suite des équations transformées (a), (6), (c), {d)j etc. du n"* 18, il s'en trouvera deux qui

DES É<2TT AXIONS NUMÉRIQUES. 4d

auront les mêmes racines; car si la racine z, par exemple, de Pëqiia^. tion (c) était la même que la racine x de l'ëquation (a), on aurait

ce qui est le cas que nous avons examine ci-dessus, et ainsi des autres* Donc, quand on voit que, dans une fraction continue, certaines nombres reviennent dans le même ordre , alors pour s'assurer si la fraction doit être réellement périodique à l'infini , il n'y aura qu'è examiner si les racines des deux équations qui ont la même valeur entière approchée sont parfaitement égales, c'est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune; ce qu'on reconnaîtra aisément en cherchant leur plus grand commun divisem:, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations, s'il y en a : or, comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la ^ " racine d'une équation du second degré, il s'ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.

47. Supposons donc qu'on ait reconnu que parmi les différentes équations transformées, il s'en trouvé deux qui ont la même racine; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l'infini; de sorte qu'on pourra la continuer aussi loin qu'on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres ; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du n* ^3 sans être obligé de les calculer toutes l'une après l'autre par les formules données.

Pour cet effet , nous supposerons que l'on ait en général

x = A'+7, a/=:M'+^, 4/'=A'^.H.j^, etc.,^

en sorte que x étant la racine cherchée y a/ y af'y xf^'y etc. soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par jy Zy Uj etc., et l'on aura

tf6 DE LA BÉSOLUTICm

Doaoy fintent QQMuae dms le n"" dtë

P' = aY + /, L" = X'U

r = A^r + l'y L' = ATL' + L'

etc.| etc.,

on aura ces firactîons conveigentes vers x

E> Ï7' !7> L*'' L»» > ®^^* Maintébatit l'ëqciation ap= A'+ -7 donnera

mettons au lieu de â/, dans le second membre de cette équation y ta valeur A"-|* -> , et multipliant par od', on aura

on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation I A"'+ jr a la place de ai\

et ainsi de suite.

PardllemôBt l'ëquatiom afzsi A''-(- -^r donnera

enisuite, substituant dabs là second nombre A''^-^ -^ à ki place de af^y et lÀïiltipIiaht par jé^, on aura

et ainsi de suite*

DES tQVATlQ^S NVAl£lt;IQU£& <ik

D'où il suit qu'où aura en général, [quelle que MÛt la finaçtion continue , soit périodique ou non ,

X oc X • • • • • oc ï^ii JLi «^ *p" 1j j

Il faudra bien se souvenir qu'ici et ^ans les calculs suivans les exposans des quantités x^ /, L représentent des indices çt non des puissances.