Gela posé, supposons que Pon ait >trouvé'9 par exÀnple

o^ + 'ssa:/*, c'est-à-dire que ia racine de ^à »(At 4" i»)^ ^transformée soit égale à celle de la transformée ft^; \èl6rs çn aur;^ aussi a:<»»+' + i = x^+S af*+' + ^ =a/*+^, etc., af*+^'=: jc^; etc., et en général 0:^+'*'' + ^ = X'^ + '^j donc aussi A^ + '+* =A/^+", ;^+» + 2.;^ + 2^ etc., et en général A/*+'*'+*' = W*+*'j de sorte que l'on aura ^ ■

V*-*-* + etc.,

j/f."*- ' + etc.

Maintenant si on suppose en général p = fo -|- w + ^, il est facile de voir que les deux équations (B^ du numéro prédédent deviendront

Or, en faisant dans les mêmes équations p = ft, <ui -A

xx'af. ... jrrf* se #j/* .i-(- /•" * ,

ê% DE LA RÉSOLUTION

De plus, à cause de

o^ = X-+' -f- ;^y *- + » = A-+-+ ^jîVî etc., il est clair que si Ton (ait

h ^= ly H 1= G,

A"»== X''-+^A"4- À', , H"'= X'^+V H- H',| A" = A'* + Vh- A", H" = A-" + %"' -f- H",

on aura en général

IXmc on aura

et, k cause de «'•+' = x'* (hyp.).

De sorte qu'ICQ Êdsaat ces substitutions dans les deux équations ci-*dessus , on aura

(ta^ H- r - ») (hV+' + H*- ') (H'*" 4- H'~')«

Dans ces formules et dans les suivantes, tes exposans des quantités X, hy H dénotent ausn des indices.

49. Or, les équations (D) étant divisées l'une par l'autre, dcmnoat

d'où Ton tire

hr—BTx^

Donc, fidsant a=7r, on aura jc^t'^ = — -- — — , et de là

H*"a:^ + *' + H*""' = ;mai8 il est facile de voir par

la nature des quantités h^ h!^ hl\ etc., H, H', H'', etc., que l'on a

H'A — AU = I , H'A'— A'W= ~ », B!^K'^ hf'lA!' = i , etc. ; d'où l'on aura en général

le signe supérieur ayant lieu lorsque ne est un nombre impair, et l'inférieur lorsque tt est pair.

Doncj faisant ces substitutions d9ns les deux dernières équations du numéro précédent , on aura

db {ra/^ H- r-') (jXa^ 4- H' -*)-

les signes ambigus dépendans du nombre tr, comme nous l'avons vu ci-dessus.

Maintenant, si, dans l'équation (Ë)^ on fait assi», on aura, k

cause de JC^ + ' = JC^ (hyp.) JC^= ^^5^7 î <*'^*^ *'on tire l'équation en x/^

S4 DE LA HtSOLVTVOm

Soit, pour abréger.

en MTte qœ Poa ait d^:=P-f- ^Q; substituant cette Talenr

(rp + r- ' + r»/Q) (irp + et- • + bvq)'

(iCH'-» — it-'ir) (p+^/Q) +/«-•*' — 5*'-',

(Lrp+L^~'+Lrt/Q) (irp + H' ~ ' + H VQ)"

= (L^fiT-* — L« -' IT) (P4- V^Q)+L<~' A'— L<»*— ' ,

d'où, à cause de Fambiguité du radical v^Q, on tirera «joatzv éqna-

UoDs, par lesquelles on pourra déterminer 5, 5~~^, U^ U '. 5o. En eSêt, supposons, pour abréger,

les exposans de /, F, K, dénotant des indices, on trouvera ces quatre équations :

' (f'+ JVQ) (K7 -f. ffij/Q)- — cr — yyQ) (k^ — hvq )■

a*-i/Q) (y^+ g'j/Q) (K* + HVQ)'

^ (F^-f-I/'j/Q) (K' +HVQ)'— (E>'~-I/'v/Q) (K'—H y/Q)'

Donc si l'on ajoute la première multipliée par A à la seccnde maltipliée par H , et de même la troisième multipliée par n a la quatrième multipliée par H'^, et qu'on fasse, pour abréger,

on aura, à cause de A'^H' "" ^ — H'A'"" " = =t i (n* 49),

TC (F^+I/^j/Q) (G^+HVQ) (K^+H^l/Q)»

/ étant = jiA + 7W -H 9r.

Ainsi , lorsqu'à Taide des quantités A', A', X'", etc. A'* "*" ', on aura calculé, par les formules (A) et (C), les quantités /, f, Pj etc., L,

U, V'y etc. jusqu'à /^ et LT, €t les quantités A, A', A*, etc.. H, H',

H", etc. jusqu'à A' et H', on pourra , par les formules précédentes ,

trouver les valeurs de /^ et de L*, c'est-à-dire les termes de la frac*

tion y-, quel que soit l'exposant du quantième f ; car pour cela il n'y

aura qu'à retrancher fe de f , et diviser la différence par v , le quotient sera le nombre n qui entre dans les ibrmules piëcédentes comme exposant, et le reste sera le nombre :t, qui sera par conséquent toujours moindre que r.

Quoique les formutes précédentes renferment le radical v^Q, il est

£Eu;ile de voir que ce radical s'en ira aprèt le développement ; de sorte

que les nombres P etU seront toujours rationnels et entiers.

5i. Au reste y â Ton voulait trouver en général l'équation du second degré par laquelle peut être déterminée la racine x de l'équation proposée lorsqu'on aaf^^ = oé^^ comme dans le n^ 4^9 ^ ^'j aurait qu'à remarquer que les équations (B) du n® 4? étant divisées l'une par l'autre y donnent en général

d'où Ton tire, en&isant /ss/x, jr = ; donc, substi-

tuant cette valeur de af^ dans l'équation (F) du n* 49 9 ^^ ^^^ ceUe-ci :

ir(ir-'x— r"-'>-(A'-H'--0 (ir-'«-z'^0 (r-D"x)

c'est-à-dire

[h'(i7— 0* + (a'- ff- ir- » ir- A'- ' (ir)']»« +H'(r-0' + (a' - H'-Or-'r- a— '(r)«=o ,

et cette équation sera nécessairement un diviseur de l'équation pro* posée.