E'E'= 6*+ EE'= B

on aura fc =3 , -^ et de même E^^ss ^^ ■ - , E'^=5— gr-> etc.

Ainsi on pourra, si on le juge plus commode, employer ces formules à la place de celles qu'on a données plus haut, pour avoir les valeurs de E", E* etc.

53. Maintenant je dis que la fraction continue qui exprime la valeur de «r sera toujours nécessairement périodique.

Pour pouvoir démontrer ce théorème, nous commencerons par prouver en général que, quelle que soit l'équation proposée, on doit toujours nécessairement arriver à des équations transformées dont le premier et le dernier terme soient de signes différens. En effet, nous

avons vu dans le n* 19 qa'on doit toujours nécessairement arriver à une équation transformée qui n'ait qu'une seule racine plus grande que l'unité, après quoi chacune des transformées suivantes n'aura aussi qu'une seule radne plus grande que l'unité ; soil donc

ai^ -f- Att*""' -!• c«*""' + etc. -1-^ =

une de ces transformées qui n'ont qu'une seule racine plus grande que l'unité , et soit s la valeur entière approchée de i< : on fera , pour avoir

la transformée suivante, Il s= ^ »!« —, ce qui, étant substitué, donnera

une transformée dans laquelle il est aisé de voir que le premier terme sera

(iW* H- 4^"-* -j- cf^^ -[- etc. +• A:)w^,

et que le dernier sera a. Or, puisque la vraie valeur de u dans la trans* formée précédente tombe entre ces deux*ci : 11 = ^ et ii=oo, entre lesquelles il ne se tnmve aucune autre valeur de u (hyp.), il s'ensuit qu'en faisant ces deux substitutions dans l'équation en u,^ on aura nécessairement des résultats de signes contraires; car il est facile de ocmcevoir qu'il n'y aura , eti ce cas , qu'un seul des facteurs de cette équation qui pourra changer de signe en passant d'une valeur de u à l'autre (n® 5). Mais la supposition de tt=oo donne le résultat avT (tous les autres termes devenant nuls vis-à-vis de celui-ci), lequel est de même signe que le coefficient a ; donc il faudra que la supposition de 1^=9^ donne un résultat de signe contraire à a\ mais ce résultat est ^al à

«•+ 05"^* -H ^y^'-f- etc. -f- k\

donc , pmsque cette quantité est en même temps le coefficient du pre^ mier terme de l'équation transformée en ¥V, dont le dermer terme est A, il s^ensuit que cette transformée aura nécessairement ses deux termes extrêmes de signes différens.

Et on peut prouver de la même manière que cela aura lieu , à plus forte raison, dans toutes les transformées suivantes.

Gela posé, puisque Féquation proposée

Ylx^ — acr •— E = o

donne les transformées (n^ 5a)

- as'or' — E'^ = o ,

Waf*-

etc.;

il s'ensuit de ce que nous venons de démontrer, qu'on parviendra nécessairement à des transformées, comme

E^+Kx^/ — 26V — E^ = o, etc.,

dont les premiers et derniers termes seront de signes diffërens; de

sorte que les nombres E^, E^.*^', E''"*"^, etc. seront tous de même signe. Or, on a (n° 5^)

B= (e^)* + E>E3^+* = (€>+0* + E^+'E^+^ = etc.;

donc, puisque E^, E^"*"', E^"*"^, etc. sont de même signe, les produits E^E'*'"^', E^"*"*E^"*"^, etc. seront nécessairement positifs; d'où il suit, 1®. que l'on aura W) <B,(€^"*"v <B, etc., c'est-à-dire

(en faisant abstraction du signe) 6^< V'B, €^"^' < y/B, et ainsi de suite à l'infini; 2°. que l'qn aura aussi, à cause que les nombres E,

E', E*, etc. sont tous entiers, E>'<B, E^'^' <B, E>' + ^<B, et ainsi de suite. Donc, comme B est donne, il est clair qu'il n'y aura qu'un certain nombre do nombres entiers ({ui pourront être moindres

que B et que j/B; de sorte que les nombres E^, E^"*"', E^"*"^, etc.,

%^y 6^ * ', É^"*"^, etc. ne pourront avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes, et qu'ainsi dans l'une et l'autre de ces séries, si on les pousse à l'infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité de fois^ et, par la même raison, il faudra aussi qu'une même combinaison de termes correspondans dans les deux séries, revienne une infinité de fois; d'où il suit qu'on aura nécessairement, par exemple.

E>+^+' E^^', et ,y+^+' = ^+^

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 6i

ou bien, faisant y-^'J'ssfty

£'*+' = E'*, et «r+' = fc'-j donc, à cause de

on aura aussi £'*'*'''*"* = ET"*"* ; mais on a

^/MM^ et ^+> »^-*--+ i/B

donc a/^^' z=:af^'y donc la fraction continue sera nëcessairement périodique (n*' 48)-

54' En efiet, on voit par les formules du n® Sa que si Ton a E^+' = E'*, et 6^'^' = fc^, on aura

et ainsi de suite; de sorte qu'en général les termes des trois séries E, E', E', etc., 6, i', ê", etc., A', X^, etc. qui auront pour exposant ju«|.7}v-f-^, seront les mêmes que les termes précédens, dont les exposans seront f^^Tr^ en prenant pour n un nombre quelconque entier positif.

Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique , à commencer par les termes E^, ^ et A'*"*"^, et leurs périodes seront de p termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre à l'infini.

55. Pïous venons de démontrer qu'en continuant la série des nombres E, E', E", etc. on doit nécessairement trouver des termes consécutifs qui soient de même signe, et qu'ensuite la séria doit nécessairement devenir périodique : or, je dis que dès que, dans la même série

on sera parvenu à deux termes consécutifs, comme E^, E^''"', de même signe , on sera assuré que l'un de ces deux termes sera déjà un des termes périodiques, lequel reparaîtra nécessairement dans chaque période.

En efiTet, comme E^, E^^' sont de même signe , il est clair que la transformée

E>+'(x>)' — %^xy — £> = o

aura nécessairement une racine positive et l'autre négative; de sorte qu'elle n'en pourra avoir qu'une seule qui soit plus grande que l'unité; donc toutes les transformées suivantes auront nécessairement leurs termes extrêmes de signes différons (n^ 53) ^ par conséquent tous les

nombres E^, E^^^, E^^^, etc. seront de même signe; de sorte que

chacun d'eux sera moindre que B, et chacun des nombres 6^, é^^'>

é''"*'^, etc. sera moindre que j/B (numéro cité).