Or, comme on a B = («^) +E^E^^', il est visible que les

nombres E^, E*^*^^ seront ou tous les deux moindres que v/B, ou que si l'un est plus grand, l'autre en sera nécessairement moindre; de sorte qu'il y en aura au moins toujours un qui sera moindre que |/B«

Supposons que ce soit E^^ je vais prouver que les nombres E^,

E^"'"', E^"^^, etc., €*', e^"*"', e^"*"^, etc. seront tous nécessairement de même signe que le radical v^B. En effet, puisque les racines ai y j^y xf^y etc. des équations transformées doivent être toutes plus grandes que l'unité par la nature de la fraction continue | on aura

donc autoi jî^>i, a:'*^^>i, et ainsi de suite; donc

et comme

B = {^Y + E>Ey+" = G^O* + JB^+'E^^ = etc. , ou aura

et ainsi des autres f donc aussi

>ij rT:>i>ctc,

DES Ê017ATIONS NUMÉRIQUES. 6S

Or, comme i^, e^"'"', etc. sont plus petits que v/B, il est clair que quel que soit le signe de ces nombres £^, €^ * ^, etc., les dénominateurs j/B— -é^, \/h — fc*'"'"', etc. seront nécessairement dd méine

signe que v/B; donc il faudra que les numérateurs Ey, E^^', etc. soient aussi tous du même signe que \/B.

Maintenant, supposons pour plus de simplicité f/B positif, en sotte que E^, E^"^', etc. doivent être aussi tous positifs j je dis que é% ^y+i^ ^7+2^ g^ç jg seront aussi. Car, soit, s'il est possible, €^=: — )f (ti étant un nombre positif) comme E^< \/B (hyp.), on aura, à plus forte raison, E^< j/B + Ji; donc —53;^ = pIT» »«"><'>

au lieu que cette quantité doit être > i ; donc «^ doit être positif. Soit ensuite, s'il est possible, é*^' = — u^, comme Ton à, par les formules du numéro Sa, é^"*"' =s A^^' E^^' — i^, on aura

^y+i£y+i --.^7 — ^#. donc, à cause que t^ et V sont des nombres positifs moindres que y^B, et que A^"'"^ est aussi un nombre entier positif, il est clair que E^"**' devra être moindre que |/B; et, dans ce

cas, on prouvera, comme ci-devant, que «^"^' devra être positif, et ainsi de suite.

Si |/B était pris négativement, on prouverait de la même manière

que ^, ^ y 6to* devraient être négatifs; et même, sans faire iat nouveau calcul, il n'y aurait qu'à remarquer que les formules du numéro cité demeurent les mêmes, en y changeant le^ signes de toutes les quantités E, E', E', etc. s, ^, d'y etc. y et dâ radical f/B; de sorte qu'on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités E, E', E', etc., s, €', c'',.etc. avec des signes contraires.

57* Gela posé, je dis que si deux termes correspondans quelconques

des suites £^, E^"^', E^^, ett.,i^, ^', s^"*"*, etc. sont donnés, tous les précédens dans les mêmes suites serotit nécessatremetit donnés aussi.

Supposons, par exemple, que É^ •" et «^ * soient donnés (on verra

aisément que la dëmonstration est générale , quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du n^ 5^ , et des conditions du numéro précédent. On aura d'abord

donc £>+^ = a>+3e>'+^ — 6>+^

mais on doit avoir û^^<^ j/B; donc il Êiudra que l'on ait

On aura

de même

' = A>+*E>+^ — fi5'+^

d'où, à

cause de

gj'+i

< j/B, on tirera

mais il faut, par la nature de la fraction continue, que A'^^ soit un nombre entier positif j donc il Ëiudra que l'on ait

or, on a aussi

Ë3'+aE?'+3-B(,>+3)* — (^B + «>+*) (|/B — 6>+»);

donc j/B — t^* < E''"' , savoir : en mettant pour P^* sa valeur ci-dessus, i/B — A^+^E^'^^ + «>+^ < E>+^ j d'où

Donc, puisque le nombre A^^ doit être entier, il est clair qu'il ne pourra être ^al qu'au nombre entier qui sera immédiatement plus

petit que * — ^^ j ainsi A^ «era donné, et de là é^^^ le sera

aussi ; et comme E>"*"^ = — JL^" y il est clair que E^^ sera aussi donné. Maintenant on aura

et par conséquent, à cause de £^<C l/B,

Donc, pour que A^"*"' soit entier positif, tel qu'il doit être, il faudra

que é^"*"* -j- \/B > E^"*"* ; par conséquent, à cause de

EV+ » Ey+^ — B — (é^+O* , il faudra que {/B — 6^+^ < E^^ , bu bien , en mettant pour €^ * * sa valeur ci-dessus,

^B — xy+^E^+^ + é^^ < Ey+^ ; d'où l'on tire

De sorte que le nombre A^"*"^ ne pourra être que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que la quantité donnée * it-K?;

donc ce nombre sera donné , et par là les nombres g^' et E^"^' le seront aussi*

Enfin, puisque E^ est (hyp.) < v/B, on aura, à plus forte raison,

€^+ V/B>Ey; et de là, à cause de E^E^' =6—0^)*, on aura

|/B — 6^ < E'^, ou bien , en substituant pour ^ sa valeur trouvée cidessus ,

»/B — X^^* E^+' H- ^+' < E^' ; ce qui donne

Donc le nombre A^^* ne pourra être que le nombre entier qui est

81 DE LA RÉSOLUTIOir

imiiiédialemeiit moinéte que k qaaBti|é doonëe — :^^^ — j par conséquent ce nombre sera entièrement donné , et les nombres £ et E^ le seront aussi.

Or, nous avons vu (n* 53) qu'en continuant les séries E^, E?^*, etc.,

6^, E^"*"^, etc., îl arrivera nécessairement que deux termes correspou-

dans , comme E^"*" , s^"^ , rq>aisaîtront après un certain nombre d'autres termes; en sorte que Foa^iira, par exemple,

Donc, par. ce que nous venons de démontrer, on aura aussi en remontant ,

etc. , etc. ,

Ey+' £y ^y+' ,y

58. De là je conclus en général , que lorsque dans la série des nombres E , £', Ë'V etc. , on en trouvera deux consécutif de même signe , celui des deux qui sera moindre que \/B sera déjà nécessairement périodique.

Ainsi, si dan^ l'écraatlon proposée

E'j:* — 2iX — E = o,

les coeiEciens E et E étaient de même signe , la série serait périodique

dès le premier ou le second terme.

E Si l'on a € s= G, en sorte que xtsz \/ -^,j alors on aura B ssEE'j d'où

l'on voit que des deux nombres E , E^ le plus petit sera moindre que \/Bf et le plus grand sera nécessairement plus grand que |/Bj donc ,

dans ce cas , si le nombre p dont il s'agit d'extraire la racine carrée est

plus petit que l'unité , la série sera périodique dès le premier terme E ; et, s'il est plus grand que l'unité, la période ne pourra pas commencer plus bps qu'au second terme^