Nous avons développé plus haut Féquation identique

suivant les puissances négatives de x ; développons - la maintenant suivant lès puissances positives : pour cela ^ soient • • •

a — - 4j? -f- car* — dlr* , etc. les derniers termes du polynôme* • . • af^ — Ajî*~* -f- Bjc*^* -— etc. : on mettra le premier membre de l'équation identique sous la forme

-^'h H- a^g ■>■• 3flfe* -f" 4^^ -^ etc.

a — bx'i'c:^ — «&'+«*♦ — etc. '

et le développement de cette fraction, suivant les puissances crois* santés de x, sera de la forme

— . P* — Q'jc R'a- =s S'x^ -f-etc. ;

en multipliant par le dénominateur, et comparant les termes, on tionvera

aQ' == *F — ac,

<iR' = iQ' — cV + Sd,

aS' =^ *R' — cQ' -H dF — 4c,

etc.,

ce qui donne une eérie récnirente dont l'éclielle est

Le second membre de la même équation, étant développé pareillement suivant les puissances croissantes de x^ donnera la série

— (^, + ^ + ^ + etc. ) x»+ etc. ; de sorte qu'on aura par la comparaison ,

i + Ji + 7 + ^tc. = Q',

etc.

Ces formules renferment la loi des sommes des puissances réciproques des racines.

Il est évident que n et est la plus petite jacine, soit positive ou négative, les puissances — surpasseront d'autant plus la somme

des pareilles puissances des autres racines , que et sera plus petite que chacune des autres racines ^^y^ etc. Par conséquent, si T' et y sont deux termes consécutifs de la série F, Q', R', etc.,

le quotient y? approchera d'autant plus de la valeur de la plus

i36 NOTE VI.

petite racine réelle de l'équation, que ces termes seront plus éloignés du commencement de la série. Ainsi cette série servira à trouver la plus petite racine, comme la première P, Q, R, etc. sert à trouver la plus grande ; et à l'égard des racines imaginaires , on prouvera , de la même manière, qu'elles n'empêcheront paa l'approximation vers la plus petite racine réelle , pourvu que le carré de cette racine soit en même temps plus petit que chacun des produits réels des racines imaginaires correspondantes.

7. On pourrait donc employer celte méthode d'approximation pour chacune des racines réelles d'une équation quelconque, si l'on connaissait d'avance une valeur approchée a de cette racine , telle que la difierence entre cette valeur et la vraie valeur de la racine fût moindre en quantité, c'est-à-dire, abstraction &ite des signes^ que la différence entre la même valeur et chacune des autres ra« cines réelles , et en même temps moindre que la racine carrée de chacun des produits des racines imaginaires correspondantes, s'il y en a, dirmnuées de la même valeur; car alors, en nommant a la valeur approchée de la racine cherchée, et faisant x=z a+p ^ on aura une transformée en p , dont la plus petite racine pourra se déterminer par la méthode précédente ; et cette racine, jointe à la première valeur approchée , donnera la racine cherchée. Mais on ne saurait trouver les premières valeurs qu'en &isant usage des méthodes que nous avons données ; et ces valeurs étant une fois connues , il est bien plus exact d'employer la méthode d'approximation du chapitre III : aussi ne suis- je entré dans ce détail sur la méthode d'ap* proximation tirée des séries récurrentes, que pour ne rien laisser à désirer sur le sujet dont il s'agit.

8. Si l'on veut appliquer la méthode précédente k l'exemple de Newton, on prendra d'abord la transformée p* -j- 6p* -f- 10/? — i ( Note précédente ) ; et comme on sait que la racine réelle est moindre que 0,1 , il s'ensuit que le produit des deux autres ra*

cines qu'on sait être imaginaires, sera > — - > 10, puisque le

dernier terme i est le produit des trois racines ; ainsi on est assuré que le carré de la racine cherchée est beaucoup moindre que le produit des deux racines imaginaires. On formera donc la série

NOTE VI. i37

récurrente par le moyen de la fraction '^*r '^+ jF ^ ^ ^^ y^^

aura les termes lo, 11^9 ii83, 12S12J i3233o, etc. ^ qu'on peut continuer aussi loin qu'on veut par l'échelle de relation lo, 6, i; chacun de ces termes, divisé par le suivant, donnera les fractions

— » —00* — r — 9 etc., qui, étant réduites en décimales, devienlia' n83 ' laSia ' 7^7 7

nent 0,089 , 0,09467 , 0,094549 > 0,09455 1 5 , etc. Or nous avons

vu, dans la Note précédente, que la méthode de Newton donne pour

la valeur de p la série convergente 0,1 , 0,946, 0,09455 147 , etc.,

d'où l'on peut juger de l'accord des deux méthodes. £n effet, nous

ferons voir plus baa que ces méthodes , quoique fondées Sur àes

principes différens , reviennent à peu près au même dans le fond ,

et donnent des résultats semblables.

0KMH(»OI»WW»W»W»»»» V%» »¥»»m<W»WWW»M»W»»»Mi»^>MM^»^» l^^>»MM^»^»<^»<^^<

Sur la Méthode de Fontaine ^ pour la résojiftion des

équations.

VJOBDfE OQ ne &it point usage de cette méthode, qui est d'ailleurs peu connue, je pourrais me dispenser d'en parler ici; mais le nom de l'Auteur et la manière dont il l'a annoncée, m'engagent à en donner une idée abrégée , et à examiner les principes sur lesquels elle est fondée. Je la donne, dit -il, pour V analyse en entier que Von cherche si inutilement depuis V origine de V Algèbre. Voyez les Mémoires de l'Académie des Sciences, pour l'année 1747 , page 665.

I. Cette méthode a deux parties. Dans la première, l'auteur considère les équations comme composées de facteurs simples, réels ou imaginaires de la forme xdtza^ x dtzadbb ^— i , et contenant un certain nombre de quantités réelles positives et inégales, a y by c, etc. Il parcourt toutes les combinaisons possibles des differens facteurs qu'où peut former de cette manière , et il cherche pour chaque système de facteurs, dans les coefficiens de l'équation , les conditions qui sont propres à ce système , et qui peuvent le distinguer de tous les autres. Il forme ainsi des tables qui contiennent tous les differens systèmes de facteurs, et les conditions qui leur appartiennent ; de manière qu'une équation quelconque étant proposée 9 dont les coeffidens sont donnés en nombres, on puisse tout de suite reconnaître quel est le système de facteurs dont elle peut être composée. Ainsi on saura sur-le-champ combien elle a de racines réelles inégales ou égales , positives ou n^atives , et combien elle en a d'imaginaires avec la forme de chacune des imaginaires.

a. Pour donner une idée plus nette de ce que je viens de dire , à ceux qui ne sont pas à portée de consulter le Recueil des Mé-

moires de Fontaine ^ je vais rapporter ici la table des équations du second degré y avec ud précis de la métliode par laquelle Fauteur Fa construite j ensuite je ferai quelques remarques sur cette mStbode.

Dans les formules suivantes , les lettres m , n et a , & désignent des nombres ou des quantités quelconques positives , et l'on suppose que a est toujours une quantité pins grande que b.

x*H-iiir + »

X* + mx -f- » =

«• — mà'\»n

{pc+a) {pc+a) .m*-

(jc-f-a+a^/— i) (jc+a — a^/— i) • . .//i*- (or-f-a) {x^h) m*-

(x+J+fly/ — (jp+i— ûy/ — i) m*-

(jc— a) (a: — a) .m*-

(x— fl+Av/— i) (a>-a— *v/— i) I '^''

{x — J+a^/ — i) (x— J— ny/ — i) m* (a:— a) (x+b) , (a:-H»y/— i) (^— ay/— i),

•an<o .4/1=0

On voit d'abord dans cette table toutes les combinaisons possibles des différens fecteurs, qui ne peuvent être ici que xdbay xdzb^ ou ordbadbav/— *i , arrba±6y/-«i et xdzbzha^/'^i.

Pour savoir à quelle forme d'équation chaque combinaison pouvait se rapporter , on a développé les plroduits , et on les a comparés aux équations , en £3iisant attention que la quantité a doit être plus grande que b. Jusque là, la méthode n'a de difficulté que la longueur du calcul; et tout Fart consbte à trouver les caractères ou conditions propres à chaque combinaison.

Ces conditions sont de deux sortes; les unes sont données par des équations déterminées , comme m*— 4^ = o, ou m* — a» = O ,

iS..

,4o NOTE VII.

ce sont celles qui ont lieu lorsqu'on suppose que la quantité b devient nulle, ou devient égale à a. Elles ne sont pas difficiles à trouver : car, comme ces suppositions détruisent une des deux indéterminées a y bj en faisant la comparaison des termes résultan^sidu produit des facteurs avec ceux de l'équation, on a une équation de plus qu'il n'y a d'indéterminées} de sorte que, par l'élimination, dn parvient nécessairement à une équation de condition ; c'est ainsi que les facteurs égaux (po+a) (x-^a) donnent la condition /»•— 4^1=0, et que les facteurs (x^ a + ay^ — 1), {x + a — a\/ — 1) donnent

Les autres conditions dérivent de celles-ci, en changeant le signe d'égalité dans celui de majorité ou de minorité. Elles résultent de cette considération , que si une fonction des coefficiens m et n est nulle lorsque a z=zb ou bz=zo ^ elle sera plus grande ou plus petite que zéro lorsque a sera plus grand que i, ou i plus grand que zéro.

Ainsi , comme le système (x >^ a) (x ^^ a) peut résulter de celui-ci (jc + a) (^ + i), en faisant b z=z a ^ ou de celuici ( a: + a + i v/— i) {x + a — b v/— i ) , en faisant ^= o, b fonction m* — 4/s > qui est nulle pour ce système-là , ne le sera plus dans ces deux - ci ; et l'on trouve que cette fonction est positive pour le système (x -\-a ) ( jc + 6 ) , et négative pour le système (x + a + b\/'—i)(x'\^a — b{/ — i).

L'auteur suppose , comme un principe général , que la fonction qui est nulle dans le cas de la coïncidence de deux systèmes, sera toujours plus grande que zéro dans l'un, et moindre que zéro dans Tautre , et il détermine par un exemple particulier celui des systèmes où elle est positive, et celui où elle est négative; mais cette proposition ne peut pas être admise sans démonstration; et il* y a même de fortes raisons de douter qu'elle soit vraie en général.

Dans les cas dont il s'agit, on en peut prouver la vérité: car le système (x -+- a) (x + ô) étant développé , donne a:* + (a -f-A)a:-f-aA; donc m=za^ by n zirzaby et par conséquent m* — ^n:=(a — i)*, quantité toujours positive. De même, le système *

{x +a + b)/ — t) (x+a — iy/— 1) =a:» -f-aojc + «•-}- ^•>

NOTE VIL» 'i4i

domne inss.aa, » = a*+;i% et .mf.^-^4'*=*' ■^4^> quantité ^jours Dégative. On pçut démoiitnsr de la même manière lios autres conditions pour les différens systèmes des équations du second degré.

3. L'auteur a appliqué les mêmes; prindipe& et la même n^thode aux équations du troisième et du quatrième degré, et il a donné pour ces degrés des tables semblables -à 'celle -(que nous venons de rapporter, f^ojfez le Recueil de seç Mémoires, imprimés en 1764.

L'étendue de ces tables avgmente , en proportion du, nombre des combinaisons des diflférens facteurs; et la refch'erche des conmTions propres à chaque combinaison ou système, devient d'autant plus ^iflidie, qu'il arrive.souvent que les couditioos^qtti lé^ulteuLde l'égalité de quelques-unes des quantités a, &, c, etc., qui sont censées former une série décroissante , ont lieu pour plus d'un système à la fois, et qu'il est alors nécessaire de trouver des conditions pour distinguer ces mêmes systèmes entre eux.

L'auteur ne donne aucune- ' règle générale sur cet objet; il se contente d'essayer successivement le& fonctions les plus s^ApJes des coefficicns niy n^ p, etc. de l'équation, jusqu'à ce qu'il en trouve une qui soit nulle dans le cas commun à deux systèmes, et qui soit plus grande que zéro dans l'un , et plus petite que zéro dans l'autre. » « *. ,^

C'est ainsi , par exemple , qu'ayant trouvé pour l'équation

a:' + ^^^^* + ^^^ +/' ^= ^ q"® I®^ ^®^* systèmes (^-f-^) (jc+i) (x-f-^) et {x + àj(x+à)(x'^b) ont la même équation de condition

il cberche une fonction de la forme Am^-j-B/i, ou Aw'+Bww+Q?, ou etc., telle qu'elle soU =s o - dans le cas commun .dea=:^, et qu'elle smt >o pour le premier système, et < o pour le second; il trouve celle-ci, am*-— gm/i-^- 27/?, qui satisfait à ces deux conditions.

Quoique l'auteur soit parvenu a trouver ces fonctions pour tous les cas des équations du troisième et du quatrième degré, on p^t douter 4|ii'il soi^- possible de les trouver en général dans les. équations des degrés supérieurs; du moins U n'est pas çlémontré quHl existe

i4a NOTE VII.

toujours néeessmfmeut des fonctions qui- aient ees pfopnélés : i^wm la théorie peut être aussi en défaut de ce côté.

4. Au reste, on peut trouver directement les conditions précédentes ^ car, si l'on suppose que l'équation

x^ -f- lîMC* -f- nJf 4- /> =s o

ait un facteur double ( jc + et )• , il n'y aura qu'à diviser le polynôme ^ +Liiu:' *+ nx + pfSLV x^ + 200: + «• , on trouvera le quotient X 4. m -^ 2ct , et le reste

(» — «' — 2nm H- 4«*) X + p -^ 20? '^ ma*;

ainsi, il fiiudra &ire séparément

20? — wia* + ^ ;= oj d'où l'on tire et =;^ ^^E^.

Cette valeur , substituée dans la première équation , donne

(mn — gpY + 4 (^ "• 3^) (5m;> — »•) = o j

cç qui est la condition commune aux deux système.

Maintenant, comme le quotient x -^ m ^^ ^^ forme le facteur inégal de l'équation , on fera a :=s b et m^-^ acL zas a pour le système (x •+• a) {x + b) (X'i^b)y eietssxa, in-^ sttfuzcs b pour le système (a: ■+• a) (x + a) {x + ^) } donc, puisque par l'hypothèse a "> bj on aura pour le premier système nii -— 2« ^ a , ou m — * 3a ^ o , et pour le second iti •<- 3^ <^ p.

Mais en substituant la valeur de a , on a

7nr — o/i

d'un autre côté, il est facile de s'assurer que , pour les deux systèmes, on a ?ii* — 5/1 > o; car le système {x + «) (x + b) (4^ 4* b) donne /ti ;s=s a -f- a6 , n s 2ab -f* ^ 9 comme il résulte du dévelop*

pcmeftt; donc

m* — 3/» = fl* — aaô 4- J^ 5= (fl — &)•;

et obmme pour l'autre système il n'y a qu'à changer a en & , on aura de même m* — 3ii =s ( a <-*-£)*• Donc les eonditiotiS' pour les deux systèmes seront simplement

2m? -^ gmnj^^'jp > o pouTv le j^remi^r , am* — 9/wn + 27/1 < o pour le second |

comme Fontaine l'a trouve.

5 r Mais le»- cénditibns mêmes qm rësulleiit de f ^alité^ àé qûelquesrunes • des. quantités ay^byCy^ieMf ne sobl 7pas toujotàrs fii^ ticulières aux systèmes dans lesquels ces égalités ont lieu ^ comme Fontaine le suppose ; ce qui détruit un des principaux fbnchmens de sa théorie*

Par exemple 9 il trouve dsms le troisième d^ré que -^ pour l'équation

x^ -|- mx^ — /w? — /? s= o,

la condition

ajii?' •^ mn -^« p «sçb o

est particulière au système

et doit le distinguer de tous les autres. JMtais j'ai reconnu que cette^ condition. a lieu aussi pour tout système de la forme (o: •!- a } (or -*-* £) (;r + ^)V qui se rapporte à la même formule d'équation , lorsque a + c ;=s 2& ; ce qu'on peut aussi prouver à priori.

Ain^i , si l'on a l'équfitien a^ -H a«' — 5a? — 6 =» o , comme elle satisfiiit à la condition dont il s'agit , ptt^que « en faismt m s :2^ n s 5^ p,=s^ 6^ on a 2.Q — 2.5 -^ 6 £=so , on pourrait conclure de la table de la page 546 du Recueil des Mémoires de Fontaine , que cette équation a trois facteurs de la forme

i44 NOTE VIL

et que par conséquent elle a deux racines imaginaires y tandis qu'elle a au contraire les trois facteur^ réels.

(a: + 5) (jc — 2) (jc 4- i).

On doit dire la même chose de la condition

+ a^i3V5.7/ipV — 3^7y -f- 2\5Y = o,

que Fontaine trouve ( page 568 ) pour le caractère commun des deux systèmes

• (x+a) (or — ^)(a:f — i + cy/— i) (or— 4— cj/ — i)^ ei(x + a) (X'-yc) (jc — c + i y/— 1) (a?— c — i y/ — i),

appartenant à la formule

x^ — nx* + px — y = o.

Cette condition n'est pas particulière à (^es deux systèmes; elle a lieu

aussi dans tout système de la forme

(x + a) (x '^ h) (jc — c) (j: — d)j

appartenant à la même fimnule d'équations (page 55^), pourvu que l'on nit b ^ d z=i 2c 'y c'est ce qu'on peut trouver à priori ; mais ce détail nous mènerait trop loin.

6. On peut conclure de ces iobservations , qu'il n*est pas toujours possible de trouver les conditions qui distinguent chaque systràtie de facteurs de tous les autres, en ne considérant dans les quantités a y b yC y etc.*, qui entrent dans ces facteurs, d'autres rapports que ceux d'égalité ou d'in^alité, suivant la théorie de Fontaine. Mais, quand on le pourrait, le travail pour les trouver dans les d^rés au-dessus du ' qiiatrièm'e , serait immense, et ne serait pas même utile pour la résolution numérique des équations, comme nous allons le montrer en examinant la seconde partie de la Méthode.

7. Dès qu'on aura trouvé, conune l'auteur le suppose, la forme de chaque facteur de*. l'équation proposée, il. n'y aura plus qu'à

dëterminer les valeurs des quantités a , /^ / c , etc., qui entrent dans ces facteurs , et qu'on sait être toutes positives et inégales ; et voici comment il s'y prend. Il développe le produit des Ëicteurs , et le comparant à l'équation proposée , il a autant d'équations qu'il y a d'indéterminées a ^ b ^ c , etc. , il élimine toutes ces quantités , hors deux , qu'il se propose de déterminer : il a ainsi deux équations entre ces deux quantités ; il fait la plus grande de ces quantités = Rct, et la plus -petite s= RjS^ et éliminant R, il a une équation homogène en et et jS , dans laquelle il substitue x^ ^ y pour et , et z^ -4* £é pour /3.

Il suppose d'abord eux z=: i.^s=o,2 = o,i<s=;i;ila une équation en ^ , dans laquelle il fait successivement ^ =: i , 2, 3, etc. , jusqu'à ce qu'il trouve deux résultats de signes contraires ; alors il fait ^ s= A, A étant le plus petit des deux nombres qui ont donné des résultats de signes contraires : donc ot sss A, jS = i.

Il fait ensuite x =i A.y jr^=i i,z= i, 11 = 0; et dans l'équation résultante en ^ , il cherche de même deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires : nommant B le plus petit des deux nombres , il fait ^ = B; donc et =: AB -f* i , j8 s= B.

Il continue de la même manière , en faisant x s= à la dernière va« leur de a , j^ à l'avant-demière , is = à la dernière valeur de jS , et 11 à l'avant-dernière .

Substituant ensuite successivement ces valeurs de et et jS dans l'expression rationnelle de R qui résulte des deux équations, on a celles de a et 6 ; d'autant plus exactement, que les opérations sur et et /3 ont été poussées plus loin .

Pour en donner un exemple, je vais rapporter ôelui que l'on trouve dans les Mémoires de l'Académie de 17471 P^g^ ^1^*

Soit l'équation x^ — 3a: *f« i == o ; comme elle se rapporte a la formule x^ — mx + 1» , en faisant ut r= 3 , n s= i , si l'on examine les conditions relatives à cette formule dans la table donnée ci-nlessus , on trouve que celle-ci m* — 4^* = ^ ^ ^^®^ 5 ^^^ ^^^ conclut que les deux facteurs sont de la forme (jp— -fl) (x— i). On a donc en développant a-{-i&=3 eta^ssi.

Soit a sa ctR, b ssjSR, on aura R (ct + i8)=j3, R'etjSssi;

t46 NOTE VIL

donc R == j37^ et Qctfi =ss ( a 4- /3 )•; savoir,

«fc* — 7*iS + j8* = o,

où Ton fera A s=s ar^ + 7 et /S sa «^ -f* ii.

Soit , i^. x=siyjr;ssOjZ:ssOj u s=s i ; donc « =: ^, /9 as i • substituant ces valeurs, on a f * -— 79 + i es o; fiûsant ^ ss: i , a , etc. , jusqu'à ^ = 6 , on a des résultats négatif ; mais ^ sa j donne le résultat i ; donc ^=36, donc a sa 6 , j8 ss i ,

a*. X = Q^jr = j , 2 = I , li = o^ donc ctsssG^+i, j8=^, et Ton a l'équation 5^* — 5^ — i =0.

Ici 9 ss I donne le résultat — i , ^ =s a donne 9 : donc 9=1; etdelàct=s7,j8 = i,R=g.

3®. a:s=5 7,j^=:6,z= i,ii=: 1 j donc et 5=7^ + 6, j9=^*f-i; et substituant, on a Féquation ^* -— 5^ — - 5 =: 0. Faisant =^ i , :i , etc. , jusqu'à ^ = 5, on a des résultats négatifi ; mais ^ s=: 6 donne

le résultat i \ donc ç = 5 , et de là « = 4^ 9 i^ ^= 6, et R =3 y- j

et ainsi de suite.

8. TeHe est la méthode d'approximatioa que Foniaine a donnée sans démonstration dans son Mémoire de 1 747 , et qu'il a redonnée de même dans le Recueil de ses Mémoires^ Elle suppose, comme l'on voit, que l'on peut toujours, par la substitution des nombres I ,. a: , 5 , etc. , au lieu de ^ dans les différentes équations en ^ , trouver deux nombres qui donnent des résultats de signes différens ; ce qui, par ce que nous avons démontré dans le chapitre I*', (n® 5 et suivans) n'a lieu qu'autant que ces équations ont des racines positives dont là moindre différence est pins grande que Tnnité. D'aprèft cette considératûm , il est &eile de trouver des escfmples où la méthode de Fontaine sf^sb en défiinfc.

Soil, par exemple , l'équation

a^ — 2X^ — 23 Of-f- 60 =0, qui se rapporte à la formule a^ — mx^ — /ix + p^ en fiûsant m s= a, ^ = a3, /? = 60. La table de la page 547 ^^ Recueil dès Mémoires de Fmtaine, domxe ces trois conditions

NOTE VIL i47

4(w* + 5/I*) (/!• + 5mp) — ( — m/i + 9p)* > o,

pour le système (x H- a) (x — i) (jc — c) , lesquelles se trouvant remplies ici^ il s'ensuit que ce système est celui de Féquation proposée.

Pour trouver les trois quantités positives et inégales a^ h, Cy etc. , on comparera le produit des&cteurs

j:*-f-(a— -i — c)x* + ( — ai — flc»|- bc) X -[- abc avec l'équation donnée , on aura ces trois équations a-^é-^c = — a,— -«4 — ac-4-^^ = "^^3et abc ss 60.

Éliminant c y on aura c = ii-— &-f-^>6t les deux autres équations deviendront

a* — ai ■+• 4* ■+• 2 (a — - i) = ^3 , (a — i ) a J + aai = 60 ;

et fusant a ;s= aR, 4 s= /3R , on aura

R« (et* — etj3 + jS») + aR (et — /8) = 35, R» (flfc — /8) «jS + aR* AjS = 60.

Enfin., éliminant R, on aura une équation homogène du sixième degré en £t et j8 , réductible à cette forme

[ao(etH-i8*)-^i(cti8)(i5«M-/9')--54«/3][ia^^^

Maintenant on fera , suivant Fontaine , » =z jc^ ^ jr ^ jS = ;5^ -|- 11^ et on supposera dans la première opération x as i , j^s=o,2 = o, 11= i;ce qui donne cl z=(Py fi ssi i : l'équation sera donc

[ao(^*^.0— 41^] [i5(?*+i)— 54?] [ia(?*-f-0+^5(p] = o,

et il &ttdra &ire succestiv«ment 9 =s I9 ^i 3, etc.,. jusqu'à ce que l'on trouve deux valeurs de ^ qui donnent des résultats de signes contraires , ce qui n'arrivera jamais , les résultats étant toujours posi-

tifs comme il est facile de s'en convaincre par la simple inspection de l'équation. Ainsi la méthode sera en défaut dès la première opération.

Il est aisé de voir qu'on ne peut avoir des résultats négatifs qu'en donnant à ^ une valeur intermédiaire entre i et 2. Par exemple en

faisant Ç s= - , on trouve le résultat — 2-^^^= — j mais cela est contraire à l'esprit de la méthode de Fontaine, qui suppose que « et /S sont toujours des nombres entiers. D'ailleurs , si l'on voulait admettre pour ^ des nombres fractionnaires , il serait bien plus simple d'opérer immédiatement sur l'équation proposée , en cherchant deux valeurs de l'inconnue qui donnent des résultats de signes contraires; mais la connaissance de la forme des facteurs, qui est l'objet des Tables de Fontaine, devient inutile pour cette recherche, et la difficulté du problème demeure en son entier.

Nous remarquerons encore que, puisque dans la première opération on fait 9 = Â ^^ Â ' l'équation en ^ sera toujours , généralement parlant , d'un degré plus haut que l'équation proposée ; car si a et 6 sont deux racines réelles^ les racines de l'équation en ^ seront tous les quotiens qu'on peut former en divisant une racine par l'autre ; de sorte que si m est le degré de la proposée , m(m -— i ) sera celui de Téquation en ^, laquelle sera d'ailleurs nécessairement du genre des réciproques.

Mais si a étant une racine réelle , b était la partie réelle de deux

racines imaginaires, alors ^ serait le quotient d'une racine divisée

par la demi-somme de deux autres racines , et l'équation en ç serait d« degré "«C^^-O^Cm-a)

g. Au reste , comme l'équation en ot et jS , que l'on trouve par le procédé de Fontaine , est nécessairement une équation homogène ,

elle n'a , à proprement parler , qu'une seule inconnue - et la substi-

tution de x^ -|-^ à la place de 01, et de z^ -I- » à la place de

fi , revient à substituer immédiatement f^^ y^ à la place de l'incon-

nue de cette équation ; or , cette formule est V expressiou générale des fractions convei^entes qui résultent d'une fraction continue^ dans laquelle (p représente successivement les dénominateurs de cette

fraction , et -, - sont les deux fractions successives qui précèdent

la fraction T^ , comme il résulte de la théorie connue des fractions

continues. Ainsi, îl parait que Fontaine 9 cherché à exprimer le rapport entre les quantités a et /i , qui est le même que celui entre les quantités aetb y par les fractions convergentes dépendantes des fractions continues ; mais la difficulté consiste à déterminer

les valeurs de (f lorsque la fraction r n'est donnée que par une équa-

tion . /^o^6z ci-dessus l'article IV (n®78).

Je me suis un peu étendu sur l'analyse de la Méthode de Fontaine , parce que je ne connais jusqu'à présent que deux auteurs qui en aient parlé, d*Alembert dans l'Encyclopédie, au mot Équa^ tion , et Condorcet dans l'Histoire de l'Académie des Sciences pour les années 1771 et 177a, et que l'un et l'autre se sont contentés de jeter des doutes sur cette méthode , sans donner les moyens de l'apprécier.

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Sur les limites des racines des équations ^ et sur les caractères de la réalité de toutes leurs racines.

La reclierche des limites des racines est le premier problème qui se présje^t^ dans la théorie des équations , après cdm de leur résolution générale. Gonune cette résolution est bornée jusqu'ici au quatrième degré , et comme il est démontré , par la considération des fonctions des racines , que si elle est possible au-delà de ce degré, ce ne peut être qu'en résolvant des équaticms d'un degré beaucoup plus élevé , ce qui donnerait des expressions intraitables par leur complication : on peut dire que c'est du pro* blême des limites que dépend maintenant tout l'art de résoudre les équations. En effet , dès qu'on a trouvé des limites particulières pour chaque racine, on peut les resserrer par des substitutions successives, et approcher ainsi de la valeur de la racine autant que l'on veut.

1. On a senti, avant la fin du dix-septième siècle, la nécessité de s'occuper de ce problème , et dès qu'on eut trouvé que l'équation , formée en multipliant chaque tenne d'une équation donnée par l'exposant de son inconnue, renferme les conditions de i'^alité des racines de la proposée , on découvrit bientôt que les racines de cette même équation ainsi formée étaient les limites de celles de l'équation primitive' On sait que Hudde est l'auteur de la première de ces deux importantes découvertes ; et )e crois que la seconde est due à Rolle , qui l'a donnée dans son Algèbre , imprimée en 1690, et qui en a Ëiit la base de sa méthode des Cascades. Suivant cette méthode , les limites des racines d'une équation dépendent d'une équation d'un degré inférieur d'une unité , et les limites des racines de celle-ci dépendent de même d'une autre équation d'un degré moindre d'une unité , et ainsi de suite ; de

WOTE VIII. iSi

sorte que, pour parvenir anx limites déd rsicines de réqnation proposée, il faut résoudre des écpiations différentes et SuteeâfSivéS , qui vont toujours en baissant d'un degré. Voyez V Analyse démonttëe de Bëyheàu, où cette méthode est exposée Avec beaucbup* de détail. Mais la longueur du calcul qu'elle demande , et l'ihcèrtitdde qui naît des racines imaginaires , l'ont fait abandonner depuis longtemps; et l'on aurait peut'^élre été obligé de renoncer à avoir une méthode générale pour résoudre les équations , si l'on n'avait pafs t-rëuvé, poBi» déterminer les limites des racines , un moyen indépcSidant de la résolution de toute équation, comme on l'a vti dans lé Ghslpltre V^ et dans la Note IV*.

La considération des maxima et minima des lignes parabolii|ùes a conduit Stitlifig à une méthode pour déterminer le nombre et tes liniites des racines réelles du troisième et du quatrième d^gré , laquelle a été généralisée par Euler , dans son Calcul différentiel. Cette méthiodé revient à celle de Jkoîlè dans le fond ; mais elle etilbMsse égaleiiient les racines réelles et les racines îmàgiii'airès , ef {Kkhrràit fotimir des formules gétiét^les pour dislinguer ces ràeiiles datis lés équatioiis du cinquième degré, au moyen dés rètcines du ^Mtriême.

La même considération a faîxt trouver k De Gua une méthode pour déterminer les caractères de la réalité de toutes les racines d'une équation queiccmque. {Mémoires de V Académie dés Sciéf(ceSj aft^ née 1741-)

Neufs aVons vu ^e Ce problème |)eut se résoudre aussi par le moyen ât réqûatîon dont les ràôitoeâ sont fes carrés des différences entre les racines de l'équation donnée ; mais cette soluti on est fondée sur la forme même des racines imaginaires, au lieu que \dt théâ*ie' de De Gua est indépendante de cette forme ; et sa méthode a, de plus, l'avantage de n'exiger quelle' eàïcKit d'eqttaGoh^ èff degféè inférieurs à celui de l'équation proposée.

Comme ces différentes méthodes sont intéréisâtrtei fiàr elleà-m^élf , et encore plus par l'usage dont elles peuvent être dans plusieurs occasions, j'ai cru quTori^iérâîf bien aisé dSîIês trouver ici réunies, et

,5a NOTE VIII.

déduites d'une même théorie, formée uniquement sur les premiers principes de l'analyse des équations.

2. Soit en général Yx une fonction , rationnelle et. sans diviseur, telle que

jtf -f- Ajc"-' + ftr—» + CxT-^ + etc. + V;

si l'on nomme et y /3 , y y etc. les racines réelles de l'équation Fj?s=:o , c'est-à-dire les valeurs de x qui peuvent satis&ire à cette équation , on aura l'équation . identique .

Fx=(^ — a) (x — /3)(x— >) X>x ,

fx étant une pareille fonction de x , mais d'un degré moindre que m , et qui ne pourra jamais devenir nulle ni négative, quelque valeur qu'on donne k x { Note II ).

Cette équation devant avoir lieu , quelle que soit la valeur de x , elle aura lieu aussi en mettant x -|- £ à la place de x , quelle que soit la valeur de i; donc, développant les fonctions suivant les puissances de if, il faudra que tous les termes affectés d'une même puissance de i se détruisent mutuellement ; ce qui donnera encore autant d'équations identiques qu'on pourra trouver ainsi par le développement actjuel. Mais comme ces nouvelles équations ne sont autre chose que celles que nous avons appelées dérivées, dans la Théorie des fonctions , nous emploierons ici , pour plus de simplicité, la notation et l'algorithme de cette théorie; et l'application que nous allons en fairç aux équations fournira un nouvel exemple de son usage dans l'Algèbre, dont elle n'est proprement qu'une branche.