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- BQ 4- CP — {m — 5) C,

etc. ,

où l'on voit que la suite des quantités P , Q , R , etc. devient après le ni^^ terme une suite récurrente ^ dont l'échelle de relation est A, — B, C, *- D, etc.

Développant de même les fractions qui forment le second membre, il deviendra

7-i-(« + i3 + etc.)l + (.f + /3* + >' + etc0p + («5-4-/3^ -i- j.» -H etc. ) ^-f-etc.

Maintenant la comparaison des termes semblables des deux membres de l'équation donne

Q=0t-|*i^+>+ etc., R = «• + jS» + >' + etc.,

S = a» + j8» 4- >»-H etc.,

etc. ,

et, en général, un terme quelconque dont le quantième sera fiy à

compter de Q , sera égal à of* -f- |3^ 4- y* -|- etc. C'est l'expression du terme général de la série.

On a par là la démonstration la plus simple de la loi donnée par Newton j pour la somme des puissances des racines. Mais les formules précédentes sont surtout utiles pour approcher de la valeur de la plus grande des racines et, fi^y^ etc. En effet, il est clair que si toutes ces racines sont réelles, et que a soit, par exemple, la plus grande des racines, soit qu'elle soit positive ou native,

la puissance cl^ surpassera d'autant plus les puissances semblables des autres racines , et même la somme de ces puissances , que l'exposant /Ei sera plus grand ; d'où il s'ensuit que si T et Y sont des termes consécutifs de la série P , Q , R , etc. , on aura à très

peu près ee = ^ , et cette valeur de la racine a sera d'autant plus

approchée que les termes dont il s'agit seront plus éloignés du com* mencement de la série.

3. Si parmi les racines /S , > , etc. il y en avait d'imaginaires , on aurait, par exemple, j8 = 7rH-f \/— 1,7^ = 5^-/1/ — 1;

alors faisant \/ {^* -j- p*) =n et^= tang ^ , on aurait

/S = n(cosÇ 4-sinÇ^— •i)et7 = n(cos^— sin^V^ — i)j donc par le théorème connu

^ =i if (cos fi^-f-sinft^i/— i), >^ = ly* (cosft^-— sin a^ 1/ — I )>

et par conséquent

/3^ + jr=an^cosf«(p.

Ainsi , pourvu que la racine ce soit en même temps plus grande que n ou 1/ '(^ 4- ^•)j c'est-à-dire plus grande que \/ fiyy

puissance J* surpassera aussi la somme de pareilles puissances de jS et y.

Donc la méthode ne sera en défaut à cause des racines imaginaires^ qu'autant qu^il s'en trouvera dans lesquelles le produit réel des deux

racines correspondantes, sera plus grand que le carré de la plus grande des racines réelles , et , dans ce cas , la série , au lieu de s'approcher et de se confondre à la fin avec une série géométrique , s'en éloignera continuellement.

4. Celte méthode rentre évidemment dans celle que Daniel Bernoulli a déduite de la considération des suites récurrentes , et c^Euler a exposée en détail dans son Introduction. Dans celle-ci on donne à la fraction génératrice de la série, pour numérateur, un polynôme quelconque d'un degré moindre que le dénominateur ; ce qui rend les m premiers termes de la série, entièrement arbitraires. Cette frac*

tion se décompose dans les fractions simples — — — -f-

-f- — ^ — , etc., d'où résulte, pour les termes de la série, cette

expression générale aeé* + b^ + q'* + etc. , laquelle donne également , lorsque la racine « est beaucoup plus grande que cha-

cune des autres , ^ pour la valeur approchée de a, , quelle que soit

la valeur du coefficient a. Mais l'indétermination âes premiers termes de la série , au lieu d'être un avantage de cette méthode , est plutôt un inconvénient; car s'il arrive que deux racines et, /3,

soient égales, alors les deux termes aal^ + i)S^ prennent en général la forme {J -f- Vfi) etf^ i et si les trois racines a, /3, y^ sont égales , les trois termes oû^ -|- b^ + cj/* prennent la

forme {af -f- ft'jte -j- €//e') «^ , et ainsi de suite : d'où il est aisé de voir que lorsque la plus ^nde racine a est une racine double ou triple , etc. , la série converge bien moins rapidement vers une série géométrique. En prenant pour numérateur la fonction prime du dénominateur , ainsi que nous l'avons fait ci-dessus, tous les coefficiens a, bj Cj etc., deviennent égaux à l'unité ; et dans le cas des racines égales a et jS , les deux termes

af^ J^ ^ deviennent simplement ao^ , et ainsi des autres ; de sorte que les racines égales n'influent en rien sur la convergence de la série.

5. Pour donner uit exemj^le de ce que nous venons de dire ^ ^e

lB4 NOTE VI.

prendrai celui de l'article 346 de l'Introduction diEider. L'équation à résoudre est a::' — Sx* 4^ 4 =^ û. Exiler prend o , i et 3 pour les trois premiers termes , et il forme par l'échelle de relation 3^ O9 — 4? la série récurrente 1,3, 9, 2?, 57, i35y 3i3, 711 ^ etc.* dans laquelle il observe que le quotient de chaque terme , divisé par le précédent, est toujours plus grand que 3, racine double et en même temps la plus grande.

Si l'on emploie les formules données ci-dessus; en faisant

m :^ 3 y A s= 3 y B ss G y G = 4 9

tous les termes P, Q, R, etc. se trouvent multiples de 3; de sorte que , rejetant ce facteur pour plus de simplicité , on trouve par la même échelle de relation, mais en partant des termes i , 1 , 3 , la série

I, I, 3^ 5, II, ai, 43, 85, 171, 341 > etc. ,

où l'on voit que le quotient de chaque terme, divisé par celui qui le précède, converge très rapidement vers la raciçe double a.