En effet , si l'on considère l'équation identique

(jp +7/— i)""*""*^*' = ;? -H 91/— I ,

en regardant 7* comme une fonction donnée de x, et py q comme des fonctions inconnues de x qu'il s'agit de déterminer , les fonctions dérivées des deux membres formeront encore une équation identique } on aura ainsi

divisant cette équatiou par l'équation primitive , on aura

(^-f-ny/- 0(1 +/•-!) y + gV-i

équation qm sera, par conséquent, encore identique.

Qu'on multiplie le haut et le bas de la fraction du premier membre, par jc— j^v^— i , et le haut et le bas de la fraction du second membre, par p — 71/"— i pour faire disparaître le radica^ |/-— L du dénominateur , et qu'ensuite on compare la partie réelle du premier membre avec la partie réelle du second , et l'imaginaire avec l'imaginaire , on aura ces deux équations

m{x+yy) — n{xy' —y) ^ pp' + gg' <»+yy^) + ni{xy'^—y) ^ pg' — gp\

Qu'on prenne maintenant les fonctions primitives , on aura , en désignant par / les logarithmes hyperboliques, et par Atang l'angle de la tangeote ,

m /. /(jc* +^') — »A tang ^ = /. v/(^* -J- ^») -f R ,

n L v/(a:* +^) +»nA tang^ = A tang ^^H-H,

R et H étant deux constantes arbitraires qu'il s'agit de déterminer conformément à l'équation primitive donnée. Or, en faisant dans cette équation ^=0 et 07 = 1, on a^ = oet;E7=i;etces suppositions étant introduites dans les équations précédentes , donnent R = o et H = o.

Si donc on fait, pour plus de simplicité, x ^=iUCOSZ j jrz=:usinz, ce qui donne

u = ï/(x*+7*) , tang z =^,

et ensuite

p ^s=2 r cos Sj ^ = r si

on aura

Ir = mlu — nz ,

s = nJu -|- mzj

« et repassant des logarithmes aux nombres

r =: vP'er^j

e étant le nombre dont le logarithme hyperbdiique est l'unité.

Ainsi r et ^, et par conséquent p et 7, seront dés fonctions réelles , en supposant x^jr^ m^ n des quantités réelles.

4* On peut, par ces formules , réduire à une forme réelle l'expression des racines des équations du troisième degré, dans le cas irréductible. Car l'expression générale de x dans l'équation

x^ — 3Mb: — aN = o ,

étant, comme l'on sait,

laquelle , dans le cas irréductible oà M' ^ M% devient

si l'on fait dans les formules précédentes

on aura ii= j/M^ tanggss V j^ *^ ^ et de \kr=:Jz=\/My ^ ss X ; donc on aura

V^[N=fc/(M« — W)- /— i] = /M(cosg=fc8in | /— i),

et la somme des deux radicaux sera 2 |/M • cos ?•

Or, comme à la même tangente ^ ~ — - répondent les angles

z, z-H^A, z^4^j A étant l'angle droit, l'expression a ^M • cos ^ aura ces trois valeurs différentes,

at/M.cos|, 3|/M.cosr| + y\ av^M.cosQ + yV

qui seront les trois racines de l'équation proposée , et qu'on trouvera ainsi facilement par les tables trigonométriques.

5. Au reste, il est bon de remarquer que, lorsqu'il ne s'agit que de radicaux pairs^ on peut faire la réduction dont il s'agit par ks simples opiëcations. de l'Algèbre .4>rdiiiwre. En effet , soit la quantité ^(a-4- ^t/ — i) i rédtiini; ye consîdèfpe la q^an^té

j'aurai , en élevant au carré ,

2a + 2 j/(fl' + 4*) = M%

quantité toujours nécessairement positive en prenant le radical positivement ; donc u sera une quantité réelle.

Je considère ensuite la quantité

WOTE IX. 171

je trouve de même, en carrant,

quantité essentiellement négative ; ainsi on aura r = — y% et < = V v/ — I , V étant une quantité réelle : de là , on aura

l/(û=fci/— i) = f (ttdbVi/— i).

Considérons de même la quantité

on aura, en carrant,

quantité essentiellement positive , en prenant le radical positivement ; donc s sera une quantité réelle.

Considérons ensuite la quantité on aura de la même manière

quantité essentiellement négative ; car 11* as su -f-^ a v^( o* + 6* )

< 4V^(^*4"**)f ®' P*^ conaéquent 11 < 3 t/(a* -f- ^). Donc, Csiisant r^ss — S^, on aura rs= S|/— i, S étant une quantité réelle; donc

/(fl db^i/— i) = i (^ =fc S/— 1),

et ainsi de suite.

6. Ces réductionB supposées, JtAlembmt considère une courbe quelconque , dont Fordonnée jr soit nulle ou infime , lorsque

l'abscisse x est nulle; et il observe que, quelle que puisse être l'équation de la courbe , on peut toujours , lorsque x est très petite j avoir la valeur de jr en x^ au moyen du parallëlogranune de Newton , exprimée par une série très convergente de la forme

jf^ = ax* + bx^ + cjc* 4" etc. , dans laquelle les exposans de x sont imaginés aller eu augmentant, et dont on peut toujours supposer que tous les termes sont réels , en faisant x positive ; car on peut faire répondre les x positives à la branche où les jr sont réelles.

En faisant x négative, les termes où x se trouve élevée à des puissances fractionnaires dont le dénominateur est un nombre pair, deviennent imaginaires; et par le théorème précédent, ils seront toujours réductibles à la forme /> + 9 V^— ^ y p et q étant des quantités réelles. Donc toute la série, et par conséquent la valeur dejr^ lorsqu'elle devient imaginaire , sera aussi de la même forme tant que X sera très petite.

Maintenant , quelle que soit la valeur de jr pour une de x quelconque, on peut toujours supposer jr =:p -^ ^l/-" i , /? et ^ étant des quantités indéterminées; et comme cette valeur est réellement double, à raison du radical (/ — i , les quantités p et q seront exprimées par deux équations qu'on aura en substituant />-|-jr|/— i , au lieu de jr ^ dans l'équation de la courbe, et égalant séparément à zéro la partie toute réelle de la transformée, et la partie multipliée par |/— i ; ces équations contiendront les quantités p et q mêlées ensemble ; mais oh pourra , par les méthodes connues, les changer en deux autres, dont l'une ne renferme que p et or, et l'autre q et x.

Or, si j" n'est . pas toujours de Ja même forme p + q v/^- i , p et q étant des quantités réelles pour toutes les valeurs de a:, soit a la plus grande valeur de x , pour laquelle jr sera de cette forme , et soit p=b^ q=:c lorsque x = a. Supposons a:=û + i, et P^^^'T^y q^c-j^s : en substituant ces valeurs dans les deux équations en p et q, on aura deux équations , l'une en r et i , et l'autre en s et /, dans laquelle / = o donnera r = o et ^ = 0, et qui, par la démonstration précédente, donneront r et ^ de la forme ;; ^^|/— i ^ lorsque i sera très petite, si ret ^ deviennent

imaginaires. On aura donc alors r=a-|«jS|/— i, ^sr^^-cTi/— r, ^> i^9 >9 ^ étant des quantités réelles; donc /?=:6-|-A+i3l/<— i, y=c4-j'+J^V^"^'> et par conséquent, j'=&4'-ct — J+(j8*f-cN+-}') |/— i ; c'est-à-dire de la même forme ^4"9t/'~i* Donc a n'est pas, comme on l'a supposé, la plus grande valeur de x qui donne ^ de cette forme ; donc la valeur de jt , lorsqu'elle est imaginaire , sera toujours de cette même forme , quelle que soit la valeur de x.

Cette conclusion générale s'applique naturellement aux équations d'un degré quelconque, à une seule inconnue; car nommant j^ l'inconnue de l'équation , et supposant le dernier terme égal à or, on BursL une équation entre x etjr, dans laquelle xso donnera ^=o, et qui sera susceptible de la démonstration précédente. Donc, quelle que soit la valeur du dernier terme x, celle de ^, si elle devient imaginaire , sera de la forme p -^ q V^*-— i •

L'équatioa ayant ainsi une racine imaginaire de cette forme, en aura nécessairement une autre de la forme /^-—^v^^i , puisque le calcul est le même pour les deux racines , à cause de l'ambiguité du radical |/-— i ; elle aura donc les deux facteurs jr — ^.-^^|/ — | . et jr — />+^V^— ij qui forme le facteur double réel j^— »a^ -f-;?'+9*, et sera, par conséquent, divisible par ce facteur; ce qui l'abaissera a un degré moindre de deux unités | et l'on pourra appliquer à cette nouvelle équation les mêmes raisonnemens et les mêmes conclusions , et ainsi de suite.

7. Cette démonstration est incomplète; car quoique dans une équation à deux indéterminées on puisse toujours exprimer l'une des indéterminées par une série de puissances ascendantes de l'autre indéterminée, il peut arriver que les coefficiens des termes de la série dépendent eux-mêmes d'équations qui n'aient point de racines réelles , ce qui introduirait dans la série d'autres imaginaires que celles qui viennent des puissances de l'indéterminée. Mais on peut, sur les mêmes principes, fonder une démonstration plus rigoureuse, et en même temps plus générale et plus simple, de la manière suivante.

Soit l'équation

a* + Aor— • + Bx*-» + etc. + V = o , que nous représenterons, pour plus de simplicité, par/x^M s= o,

fx éUint une fonction rationnelle et entière de Xy qui contient x dans tous ses termes. Nous supposerons que cette équation n^ait point de racines péelles , parce que si elle en a , on peut les ëUminer , en divisant l'équation par les acteurs simples réels qui résultait de ces racines.

Il est clair que si l'équation proposée n'a pas de racines réelles dans l'état où elle est, c'est-à-dire tant que ses coefficiens ont les valeurs données, elle peut en recevoir en changeant seulement la valeur du dernier terme Y ; car en prenant une quantité quelconque K, et faisant V =— -jTK, l'équation fx > — y*R= o aura la racine réelle K. Considérons donc une des racines io^ginaires de l'équation fx^ Y =5 o , laquelle devienne réelle en faisant varier la valeur de Y, et supposons qu'elle ne demeure imaginaire que tant que la valeur de Y sera entre les limites a et b^ a étant ^ b^ de manière que x ait une vakur réelle « dans l'équation /x ^asso^ et une v^eur réelle fi dans l'équation fx+bzsso^ et que cette racme soit imaginaire dans l'équation Jic -(- ^ + ^ =^ o , et dans l'équation yj?-H6— ê=so, i étant une quantité quelconque poâtiive^ aussi petite qu'on voudra. Soit a -|- u la valeur imaginaire de x dans Féquation fx «I- a -|- 1 sa o , la fonction /2c deviendra , par k sub-

stitution de a^u k la place de a:, ySt + uf'a + — fa + etc. ,

par la formule connue du développement des fonctions; mais puisque tt est la racine de l'équation ^4"^ = o,on afcL^a =0; donc, a sssm^ft ^ ainsi Féquation fx -fr ^ + ^* = o deviendra

uffk -|- — fa + etc. + i =0.

Or, si le coefficient ^a n'est pas nul, il est évident qu'en supposant i une quantité très petite, à volonté, on pourra toujours avoir u par une série très convergente et toute réelle \ car on aura

d'abord u = •— > 7- , ensuite, en substituant cette première valeur

de II, on aura us-—»- — -4rT9 et ainsi de suite. Donc u sera une quantité réelle, contre l'hypothèse.

Il feudra donc, pour que u devienne imaginaire, que l'on ait

fct^O) alors l'ëquation deviendra

7/'«+7^/"'« + etc. + t=o,

et la première valeur approchée de u sera ^ — 77- , laquelle sera

réelle ou imaginaire y suivant que f^'ct sera une quantité négative ou positive, puisque 1 est supposée positive.

Si le premier terme de u est réel , il est aisé de voir que tous les autres* le seront aussi ; par conséquent , toute la valeur de u sera réelle. Si le coefficient f^'tt est positif, le premier terme de u sera

imaginaire de la forme y jr- X V"^ ^ 9 et les termes suivans seront

réels ou imaginaires de la même forme, de sorte que toute la valeur de u sera de la forme p -f-^v^— i ^ p el q étant réelles.

Mais si lV>n avait en même temps f^'a = o, alors Téquation devenant

il est aisé de voir que la valeur de u serait de nouveau réelle , à moins que le terme qui contient u' fie disparaisse, et que/^'V ne

soit positif; car dans c« cas on aurait 11= i/- * y* *k •*" > ; mais

par le théorème démontré plus haut (n^ 5) , v^ «^ i est réductible à la forme m^n^ — i, m et /» étant des quantités réelles; donc, la première valeur, approchée de m, sera de la forme ^H-7|/— i, et les termes suivans seront aussi de la même forme , en sorte que toute la valeur de u sera encore de cette forme, et ainsi de suite.

8. U résulte de la cette conclusion, que lorsqu'une racine et de l'équation fX'-\r â = o, est dans le passage du réel à l'imaginaire, on a, non-seulement y«^« es o, mais encore y* s=so et/"flt>o, et que si /"Ais=o, on aura, de pluîi„/-''dt=so et/*^c6>o, et ainsi de suite. C^, en fiâsatit ^ + a = Fx , on a fx = F*, /''x = F"a:, etc. j donc, par ce qu'on a vu dans la Note précédente (n* 4)> r^ 55=0 sera Ja condition"" pour qile ht racine i de l'équation

fx *|« a := o soit double , f^^et =s o sera la condition pour que cette racine soit triple, etc.

D'où il suit qu^une racine ne peut passer du réel à l'imaginaire, sans devenir double ou quadruple, et en général multiple d'un ordre pair.

On prouvera , de la même manière , en faisant jc s=: jS -(- zi dans l'équation fx + i — t = o , que la valeur de u ne pourra devenir imaginaire, à moins que l'on n'ait y^i3::^o ety^'jS <o, et siy^'jSsso, il faudra , de plus , que l'on ait y" j8 =so et y^^jS < o, et ainsi de suite. D'où l'on conclura que dans le passage de l'imaginaire au réel , la ra* cine devient aussi double, ou quadruple, ou, etc.

Cette proposition n'avait été démontrée jusqu'ici que par la théo-* rie des courbes , ou comnoie une suite du théorème sur la forme des racines imaginaires.

9. Maintenant, puisque quand la valeur de Y est très près des limites â et &, une des racines imaginaires de l'équation yr+Ysso, est nécessairement de la forme p^g V"^ ^ ^ ^^ cette racine n'est pas toujours de la même forme pour toutes les valeurs de Y comprises entre ces limites, soit c la plus grande valeur de Y, pour laquelle x sera de cette forme ; de manière que , dans l'équation fx'^ c = o , on ait X =7 m *-!- 'S (/-^ i , m et /» étant des quantités réelles , et soit /w + n |/ — i -|- ti la valeur de x , lorsque Y sera c »|- 1, i étant une quantité positive et très petite à volonté. On aura donc/(/?i-4-nv/— i)»|-cc=o, et /"(/n + nv^— i+m)-|-c-{-*=o; dévelop pant la valeur de u dans la seconde équation , et retranchan t la première , on aura

iifX'w+ «i/— + f/'C'» •+•»/— + etc. -f- *= o.

Mais les fonctions dérivées

/(i»4-n/— 1), /'(/w + n»/— 1), etc,

ne contenant que des puissances de 7iiH^/»|/-^ i, sont toutes réductibles à la forme p -|-y|/— i : ainsi, en prenant des quantités réelles M, N, P, Q, etc., l'équation précédente deviendra

tt(M 4- Ni/— 1) + j (P + Q/-. i) + etc. 4- * =;= o.

Donc 5 la première valeur approchée de u sera

i i(M — Ny/— i)

M + Nv/— i"" Rf+N» '

et par conséquent de la forme ;?+ ^V^— 1 ; et Von trouvera que tous les termes suivans de la série, qu'on peut rendre aussi convergente que l'on veut, en prenant i très petite à volonté, seront aussi de la même forme; de sorte que la série entière le sera aussi. On aura donc, pour une valeur de i aussi petite qu'on voudra, u s=zr + ^v/— I ; donc la valeur de x sera m+ r + (n + ^) v/— i > et par conséquent encore de la même forme p + ^v/— i y contre l'hypothèse. Donc il n'y a aucune valeur de V intermédiaire entre les limites a et bj pour laquelle la racine x ne soit pas de cette même forme.

Si la fonction /^{m^^^n |/— i ) devenait nulle , alors l'équation en u serait

^f"(m H- «»/— i) + f^ f"'{m + »v/- OH- etc. + t = o ,

et l'on prouverait de même que la valeur de u serait toujours de la forme ^ + 7 V^^" ^ 9 ®t ainsi de suite.

Cette démonstration a l'avantage de pouvoir s'appliquer également aux équations qui renfermeraient des fofactions Ic^arithmiques ou circulaires, et en général à toute équation de la forme Fx = o, dans laquelle la fonction dérivée F'j? sera réductible à la forme p ^ç ^ — i , en faisant x^^m^-hn |/— i ; car alors toutes les autres fonctions dérivées F''«r , V^^'x , etc. seront aussi réductibles à la même forme ; mais ce détail nous écarterait trop de notre sujet.

10. Nous venons de démontrer que dans les équations qui n'ont que des racines imaginaires, il y en a, au moins, deux de la forme p^^ V^^ i y on pourra donc trouver les valeurs àe p et y par la méthode du chapitre U (n° 17), et l'équation sera divisible par ar* — apx + />• + y* = o ; après la division , elle ne contiendra plus que les autres racines imaginaires; et en y appliquant les mêmes raisonnemens , on prouvera de même que deux

de ces racines seront nécessairement de la forme p dtzq v^— i , et ainsi de suite.

Quoique la démonstration précédente soit suffisante pour prouver la vérité de la proposition dont il s'agit , on ne peut disconvenir qu'elle ne soit indirecte, et qu'elle ne laisse encore à 'désirer une démonstration tirée uniquement des principes de la chose. En effet, nous avons déjà observé que toute racine imaginaire de la forme

A^+ ^V/ — 1 suppose le facteur réel du second degré a:* — 3^r+;K?*-4-y*, ainsi la question se réduit a prouver que toute équation est toujours divisible par des facteurs réels du premier et du second degré; et comme les équations d'un degré impair ont toujours une racine réelle , et sont , par conséquent , divisibles par un facteur réel du premier degré , ce qui les rabaisse à un degré moindre d'une uiiilé , il s'ensuit qu'il suffit de considérer les équations des degrés pairs.

1 1 . Descartes a trouvé que l'équation du quatrième degré

oc^ + p^ -f" i]X + r = o,

a deux facteurs du second degré ,

X* :izyx + -Ç + i;^ =j= ^ = o, la quantité jr étant donnée par l'équation

y + ^pjr^ + C;^' — ^r)jr^ — 9» = o.

Donc , comme cette équation a son dernier terme négatif, elle a toujours nécessairement une racine réelle (cliap. I*% n® 3) j par conséquent, les deux facteurs seront réels en employant cette racine.

Hudde a considéré ensuite l'équation générale du sixième degré , dans son Traité De Reductione jEquationunij imprimé à la suite du Commentaire de Schoten sur la Géométrie de Descartes, et il a trouvé que cette équation est divisible par une équation du second degré, comme jc*—j^je +11= o, dans laquelle le coefficient^ est donné par une équation du quinzième degré, et le coefficient u est une fonction rationnelle de j. Or, l'équation du quinzième degré ayant nécessairement une racine réelle , il s'ensuit que le diviseur du second degré pourra toujours être réel en employant cette racine;

de sorte que Féqualion se trouvant ensuite abaissée au quatrième d^é, on aura encore deux autres diviseurs réels.

Hudde n'a pas été plus loin ; et comme il n'avait trouvé l'équation en jr du quinzième degré qu'en faisant le calcul tout au long , il a dû sentir qu'il tomberait dans des calculs impraticables par leur longueur, s'il voulait traiter de même les équations des degrés plus élevés.

12. On trouve à la fin de l'Algèbre de Saunderson, imprimée en 1740, après sa mort, cette remarque importante, que dans le diviseur x* '■^yx + w = o de l'équation du quatrième degré , le cœfTicient y est donné par une équation du sixième degré, parce que ce coefficient devant être la somme de deux racines de l'équation du quatrième degré , l'équation en j doit avoir pour racines toutes les diflférentes sommes qu'on peut faire des quatre racines de la proposée , prises deux à deux ; et comme ces combinaisons sont au nombre de six , l'équation en j doit être du sixième degré , comme Descartes l'a trouvé ; mais l'auteur n'applique cette remarque qu'à un exemple particulier, et n'en tire d'ailleurs aucune autre conséquence.

Le Seur, l'un des commentateurs des Principes de Newton, a généralisé ce résultat, dans un petit ouvrage sur le calcul intégral, imprimé à Rome en 1748. Il prouve, par la théorie des combinaisons , que quand on cherche à diviser une équation du degré m par une équation d'un degré moindre n, les coefficiens de celle-ci sont donnés nécessairement par des équations du degré

— ^ ~ 5-^ ^ -! — ' , parce que le diviseur devant avoir ,

ce qui est évident, n racines communes avec l'équation proposée, on peut former autant de diviseurs différens qu'il y a de manières de prendre n choses sur m choses; et de là il conclut que toute équation du degré 4^ + a est toujours divisible par un fiicteur réel du second degré , parce que ce facteur dépend d'une équation qui se trouve d'un degré impair, et qui aura par conséquent une racine réelle ; mais on n'en peut rien conclure pour la réalité des diviseurs du second degré des équations dont le degré est un nombre qui n'est pas de la forme 4^ + 3? parce que ces diviseurs dépendent alors d'équations de degrés pairs.

i8o NOTE IX.

i3. Euler a approfondi cette théorie dans un Mémoire imprimé en 1 75 1 , dans le Recueil de ceux de PAcadémie de Berlin pour l'année 17499 ^^ ^ ^^^ attaché principalement à prouver que toute équation d'un degré exprimé par une puissance de 2 , est décomposable en deux équations réelles d'un degré moindre de la moitié; pour cela, il suppose que l'équation proposée est privée de son second terme ; ce qui fait que le coefficient du second terme est le même avec des signes contraires dans les deux équations dont elle est le produit j et il trouve, par la théorie des combinaisons, que ce coefficient est donné par une équation d'un degré impairement pair , qui manque de toutes les puissances impaires ^ et dont le dernier terme est le carré d'une fonction des racines de la proposée , précédé du signe moins.

Euler suppose que cette fonction des racines peut toujours être déterminée sans irrationnalité par les coefficiens de l'équation proposée , et il en conclut que son carré est nécessairement une quantité positive, et que, par conséquent, l'équation qui détermine le coefficient dont il s'agit a deux racines réelles ; il arrive , en effet , que cela a lieu lorsque l'équation proposée n'est que du quatrième degré, comme on le voit par les formules de Descartes, rapportées ci-dessus; mais pour les équations des degrés plus élevés, il &ut une démonstration à priori, qvL Euler n'a point donnée, et qui est même d'autant plus nécessaire , que cette fonction ne contenant pas toutes les racines de la même manière , ne parait pas déterminable par une fonction rationnelle des coefficiens , qui sont euxmêmes , comme l'on sait , des fonctions où toutes les racines entrent également.

Euler considère , de plus , les équations dont les degrés sont exprimés par les nombres 2^', 4^*, 81, etc. ,* i étant un nombre impair quelconque, et il trouve qu'elles admettent des diviseurs réels des degrés 2, 4 9 ^9 etc., parce que les équations dont ces diviseurs dépendent 9 sont toutes de degrés impairs; de sorte que, par ce moyen , toute équation peut se décomposer en équations réelles de degrés exprimés par des puissances de a ; mais la difficulté de décomposer ensuite celles-ci , lorsqu'eUes passent le quatrième d^é^ reste en son entier dans la théorie d^Euler.

NOTE IX. i8i

14. On peut éviter cette difficulté, comme Foncenex l'a fait dans le premier volume des Miscellanea de Turin, imprimé en 1759, en ne considérant que les diviseurs du second degré. Car soit

a^p le degré de Féqualion proposée, v étant un nombre impair, si l'on cherche à la diviser par une équation du second degré jc*— M^*|-V = o, on trouve, par la théorie des combinaisons, que le coefficient u est déterminé par une équation du degré 2^^(2^S i) ^^-1 / ^^ V 2^*-^, ^ étant, comme l'on

voit, un nombre impair.

Donc, si f6= I, cette équation sera d'un degré impair et aura nécessairement une racine réelle; de sorte que, comme le dernier terme V est exprimé généralement par une fonction rationnelle de «, l'équation proposée aura un diviseur rationnel du second degré , et s'abaissera par là à un degré moindre de deux unités.

Si ft est plus grand que l'unité, on cherchera à diviser pareillement l'équation en ii, par une équation du second degré, comme u* -*- ^K -f- T ss o , et le coefficient t sera donné par une équation du degré

Tf"

-^ ^ = Dl ^{2 ^ — l) = a /,

/ étant , comme l'on voit , un nombre impair; et le terme T sera exprimé généralement par une fonction rationnelle de t.

Donc, si /jLz=i2j cette équation sera d'un degré impair, et aura une racine réelle ; donc < et T auront des valeurs réelles , et l'équation u^ -"^ ut ^T ^=z o donnera pour u une valeur réelle ou imaginaire de la forme ^ + y)/ -— i« Dans le premier cas, u et Y seront des quantités réelles; dans le second, ces quantités seront imaginaires de la même forme, puisque Y est une fonction rationnelle de u.

Mais l'équation a:*— lur-f" V=o donne jc= -db i/^^ — VJ ; donc,

par la réduction des radicaux imaginaires, cette valeur deviendra aussi de la forme /? + 7V^— !•

Si fe est un nombre plus grand que a, on continuera le même calcul, et l'on divisera l'équation en t du d^ré ar'"**f,

iSa NOTE IX.

par une équation du second degré , comme <* — ^^ *f- S = o ; on aura, pour la détermination de s^ une équation du degré

2^-Va^-"^ — i) J^—^ f f^-^ \ i»*— 3 . ^

^i C -= aT f{pr p — i)z=z2'^ ^ , ^ étant , comme

l'on voit, un nombre impair, et la quantité S sera généralement une fonction rationnelle de s.

Donc , si )be = 3 , cette équation étant d'un d^é impair , aura une racine réelle; donc ^ et S auront des valeurs réelles; donc l'équation t* — st + S = o donnera pour t une valeur réelle ou imaginaire de la forme ^ + y V^ "" ' • Donc , dans l'équation a' -— ^a 4- T = o , les coefficiens i et T auront des valeurs réelles ou imaginaires de la même forme ; et de la résultera aussi pour u une valeur réelle ou imaginaires de la même forme p ^ ç \/ — I , comme nous l'avons vu ci-'dessus , parce que

fc i/C-T — T^ ; donc enfin l'équation j:* — no: •|-V=o, donnera aussi pour a: une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.

Si fJ^ est plus grand que 3 , on continuera le calcul de la même manière, et l'on parviendra nécessairement à un diviseur du second degré, dont les coefficiens seront réels; et de la, en remontant successivement aux diviseurs précédens du second degré, ou trouvera que leurs coefficiens seront réels ou imaginaires de la forme P + ÇV^"^ ^ 9 jusqu'au diviseur or* — aa: + V==o de l'équation proposée, lequel donnera aussi pour x une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.

Telle est la démonstration donnée par Foncenex; on voit qu'elle est très rigoureuse, en admettant le principe, que les coefficiens de l'équation du second degré , qui est un diviseur d'une équation du degré n, ne dépendent que d'une seule racine d'une équation du

degré ^v^ ' \ Ce principe est vrai généralement ; mais J'ai re-

marqué , depuis , qu'il était sujet à des exceptions qui pouvaient mettre la démonstration précédente en défaut. En effet, lorsqu'on cherche à rendre un polynôme d'un degré quelconque /», divisible par un autre polynôme d'un degré moindre n^ soit qu'on fasse la division à la manière ordinaire , et qu'on égale ensuite à zéro chaque terme du reste , soit qu'on multiplie ce polynôme par un autre du

NOTE IX. i83

degré wi— •?^, et qu'on compare le produit terme à terme avec le polynôme proposé ; on parvient toujours , par l'élimination successive , en prenant un des coefficiens du polynôme diviseur pour Finconnue principale, à déterminer les autres coefliciens du même polynôme par des fonctions rationnelles de celui-ci, et ensuite on trouve , par les substitutions , une équation où il n'y a plus que celui-ci d'inconnue , et où l'inconnue monte au degré

— i ^ —^ ^ = — ^ , comme on la dit plus haut.

i5. Mais s'il arrive que cette équation ait deux ou plusieurs racines égales, alors, à moins que les valeurs des autres coefficiens qui répondent à ces racines égales , ne soient aussi égales , ce qui n'a lieu que lorsque le diviseur est lui-même un diviseur double ou triple , etc. , il est visible que ces valeurs ne peuvent plus être exprimées en fonctions rationnelles de ces mêmes racines , mais qu'elles doivent dépendre elles-mêmes d'équations du second, du troisième degré, etc., suivant le degré d'égalité des racines. Dans ce cas, en substituant dans les fonctions rationnelles trouvées , une des racines égales, les fonctions deviendront indéterminées, par l'évanouissement simultané du numérateiu: et du dénominateur ; et en revenant sur les éliminations, on se trouvera arrêté à une équation du second ou du troisième, etc. degré, parce que l'équation à laquelle il faudrait la comparer, pour l'abaisser à un degré moindre, sera identique avec elle. C'est de quoi on peut se convaincre par le calcul; et nous en donnerons , dans la Note suivante , une démonstration générale. Comme la même difficulté peut se présenter dans toutes les éliminations, je suis bien aise d'appeler l'attention du lecteur sur ce point, pour qu'il ne se trouve point embarrassé dans l'occasion.

On voit que cette circonstance peut mettre en défaut la théorie que nous venons d'exposer sur les diviseurs du second degré; car lorsque l'équation d'où dépend un des coefliciens a des racines égales, l'autre coefficient, en employant ces racines, dépendra d'une équation d'un degré égal au nombre des racines égales , et qui , par conséquent, si elle n'est pas d'un degré impair, demandera de nouvelles combinaisons pour pouvoir s'assurer qu'elle a une

i84 NOTE IX.

racine réelle de la forme /? + y v/— i ; et si Ton ne voulait pas employer ces racines égales , alors , en les éliminant par la division, on aurait une équation d^un d^é moindre, à la vérité, mais qui ne serait plus exprimée par un nombre de la même forme :i*~'7r, ou 2"""*p, etc.

Si l'on considère , par exemple, la formule trouvée par Descartes, pour la résolution des équations du quatrième degré , que nous avons rapportée ci - dessus , et d'après laquelle nous avons condu tout de suite que l'équation est toujours décomposable en deux facteni^ réels du second degré , on voit qu'il y a néanmoins un cas qui échappe à cette conclusion ; c'est celui où l'on^ aurait y = o ; car alors la réduite en jr a deux racines égales ^ = o ,

et en employant ces racines , le terme — du facteur du second de*

gré devient ^.

On pourrait employer d'autres racines ; mais l'équation en jr étant divisée par j^% devient y^ + npjr^ -|- /?• ^^ 4''= ^ ? laquelle étant de nouveau du quatrième degré , et son dernier terme n'étant pas essentiellement négatif, la difficulté est ramenée au même point. Ce n'est pas que dans ce cas particulier on ne puisse prouver, par ces formules mêmes, la réalité des deux facteurs; car si p^ <^ 4^, le dernier terme de l'équation en y sera négatif; et par conséquent U y aura deux racines réelles. Si p^ >> 4^9 alors l'équation proposée devenant, à cause de ^=s o, x^^^p^x* -|- 4''= o, aura les deux facteurs réels , x' -|- - rb 1/(7- — rS-

16. Ces difficultés ont occasionné les recherches que j'ai données sur cette matière â l'Académie de Berlin, en 177^9 et dans lesquelles je me suis particulièrement attaché à compléter la théorie commencée par JEuler.

J'ai démontré d'une manière rigoureuse, que si Fon veut décom* poser un polynôme du degré 2" en deux polynômes du degré a*"*; tels que (n étant = 2"""*) ,

etc. , etc. ,

NOTE IX. i85

et qu'on fasse

II — a(M — M.) + *(N — N,) 4- c(P — P|) + etc.,

a, b^ Cy etc. étant des quantités quelconques, on pourra déter-* miner généralement les coefficiens M, N, P, etc., M,, N,, P,, etc. des deux polynômes, par des fonctions rationnelles de u, et que l'on trouvera pour u une équation d'un degré impairement pair, n'ayant que des puissances paires de », dont le dernier terme sera essentiellement négatif; et à cause des arbitraires a, &, c, etc., on pourra toujeurs &ire en sorte que le dernier terme de cette équation ne soit pas nul , ce qui lui donnerait les deux racines égales u = o , ni qu'elle ait d'autres racines égales. De sorte qu'on sera toujours assuré d'avoir par là des valeurs réelles pour les coefficiens dont il s'agit , et par conséquent de pouvoir décomposer l'équation du degré â" en deux du degré 2"*', et ensuite chacune de celles-ci en deux , du degré a"^*, et tinsi de suite , jusqu'aux équations du second degré.

À regard des équations du degré aTiy i étant un nombre impair, Euler avait trouvé qu'en employant un diviseur du degré a", on tombe dans une éc{uation d'un degré impair, pour la détermination d'un quelconque de ses coefficiens; et j'ai remarqué que si elle a des racines égales, les racines doubles, quadruples, etc. pourront être éliminées y parce que l'équation restante sera encore d'un degré impair, et que les racines triples, quintuples, etc. pourront être employées Jbp^ la détermination des autres coefficiens , parce qu'elle dépendra alors d'équations du troisième, du cinquième, etc. degré, qui auront, par conséquent ^ toujours des racines réelles.

. 17. De cette manière, la décomposition des équations en diviseurs i6eb du premier et du second degré était rigoureusement démontrée ; mab Laplace a donné , depuis , dans les Leçons de l'Ecole Normale, un moyen plus simple d'établir cette yénté , en partant de Fanalyse employée par Foncenex. Au lieu de considérer simplement l'équation qui détermine le coefficient u du diviseur quadratique jc* — i«P + V = o, il considère l'équation qui détermine la quantité u-hâV, que ]e désignerai par u^, a étant un coefficient quelconque. Cette équation sera, par la théorie des combinaisons, du

i86 NOTE IX-

même degré que l'équation en u. Donc , si l'équation proposée est du degré av , p étant impair , l'équation en u^ sera d'un degré impair, et aura toujours une racine réelle ; et comme on peut donner a a une infinité de valeurs , on aura une infinité d^équations qui auront toutes une racine réelle. Parmi ces racines, il y en aura nécessairement plusieurs qui se rapporteront au même diviseur; soient et, )3 deux de ces racines, et a^b les deux valeurs du coefficient ai on aura tt-|-aV = *, u^by = )3, d'où Pbn tirera les valeurs de u et V, qui seront par conséquent réelles.

Si l'équation proposée est du degré 4^9 ^ étant un nombre impair quelconque, l'équation en u^ sera du degré 27, tf étant auisi un nombre impair. Cette équation aura donc, par ce qu'on vient de démontrer^ un diviseur quadratique de la forme 11/ — - ^t -|-T=o, qui donnera pour u. une valeur de la forme .et + A \/— - 1 , et en donnant à a une infinité de valeurs, on aura une infinité d'équations en u, , dont chacune aura une racine 4e la forme a-]- Av^— - 1 ; parmi ces racines, il y en aura nécessairement deux qui se rapporteront au même diviseur; en les désignant par et -|- A |/— 1 et j8 + B\/— I , et pav a, b les deux valeurs de a qui y répondent, on aura u + aV =: et + A|/— i , i*+ iV = jS + B|/ — i ; donc u et V seront l'une et l'autre de la forme p-h^V — '> ^^ ^^ valeur de Xy tirée de l'équation a:* — «a: -|- V = a, sera encore de la même (Orme. Donc, toute équation du degré fyf aura deux radne» de la forme p datj^'^^ i , et par conséquent un diviseur réel du second degré, et ainsi de suite.

Cette démonstration ne laisse rien à désirer comme simple démonstration ; nAiis si l'on voulait résoudre eflfefijtivement une équation donnée' en ses acteurs réels de deux dimenclans, il serait comme im^ possible de suivre le procédé indiqué par llttiBlyse que nous venons d'exposer. Cependant cette résolution est nécessaire pour trouver les^ fonctions primitives, ou les intégrales des fonctions rationnelles fractionnaires d'une seule variable, et on la suppose dans tous les Traités de Calcul intégral. Cette raison m'engage à m'arréter encore sur cet objet important, et à en faire le sujet de la Note suivante.

%^%M»>M»^%»^WM»^^WMM^>M»%»»»M»^M%»W»MW » ^IMMWW^^»^^f»^»^WWWWM^V%%W^l»W»^%»^»^^%%»W»%^

Sur la décomposition des polynômes d'un degré quelconque

en facteurs réels.

I. Je me propose de montrer, dans cette Note, comment tout polynôme d'un degi*é quelconque peut toujours se résoudre en polynômes réels du premier ou du second degré. En regardant un polynôme comme composé d'éofant de facteurs simples qu'il y a d'unités dans l'exposant de la plus haute puissance de l'indéterminée, on voit clairement qu'il ne peut avoir pour diviseurs que des polynômes composés de quelques-uns de ses facteurs; d'où il suit d'abord que si m est le degré du polynôme donné , il pourra avoir autant de diviseurs différens du degré n, qu'il y a de manières de pi*endre n clioses sur m choses , c'est-à-dire par la théorie des combinaisons , qu'il y a d'unités dans le nombre

1 «dvd******* • 1%

que nous désignerons par /jk â$m là suite.

Cette seule considération nous met en état de déterminer à priori les cœfficiens du polynôme diviseur, sans passer par les opérations longues et pénibles de la méthode ordinaire^ fondée sur la division ou sur la comparaison du produit de deux polynômes indéterminés, avtec le polynôme diviseur, et sur l'élimination successive des inconnues.