Soit eii effet le polynôme du degré m

a* — «c*"* 4- ftoT-' — cxr^ + etc. db A,

que nous supposerons composé des m fiicteurs simples x— -« ^ x^^fi,

En développant le produit de ces &ctèurs , et le comparant terme

à terme avec le polynôme douné, on aura, comme Ton sait

a = a 4-i8 + y +<r+ etc. y

c z=z a^+ <xj8cr-|- j35.cr+ etc.,

h ss et^yS"...

Si l'on représente de même par

^« .. ^^:^" -|- ya'~' — ro:*"'^, etc. db u

un diviseur du même polynôme , ce- polynôme (U viseur ne pourra être composé que d'un nombre n des mêmes facteurs amples ; ainsi on aura , en ne prenant que /i quantités parmi les m quantités, «, ^, >, etc.

p z=z et H-iS -j-^-f- etc.,

q =1 et fi + *> + i3> + ^tc* r r = afiy + etc. ,

etc.,

u = etfiy.. • •• »

Comme les coefficiens donn^ a^ i ^ Cj etc. A sont des fimctions des quantités «, /3, >, etc. dans lesquelles ces quantités entrent toutes également , et qui demeurent ainsi invariables, en fidsant entre ces mêmes quantités tels échanges que l'on voudra, il s'ensuit que toute expression rationnelle de ces coefficiens aura la même propriété; et comme les coefficiens p, ^, r, etc. u du diviseur, sont de semblables fonctions, mais seulement d'un nombre n des quantités et , /3 , y y etc. , il est évident que ces coefficiens ne peuvent pas être exprimés par des fonctions rationnelles des coefficiens a y b, Cy etc.; mais on pourra les faire dépendre chacun d'une équation dont tous les coeffidens seront des fonctions rationnelles de d, by ûy etc., en composant cette équation de manière qu'elle ait pour racines toutes les différentes valeurs de p^ ou de ^ , ou de r, etc. , dont le nombre est égal au nombre /jl donné ci-*dessus.

3. Considérons le dernier coefficient 11, qui est formé du produit de n des quantités a, fiy y j etc., on aura etfiy. . • , /S^J^. . . , ayj". •• y etc. pour les diff*érentes valeurs de u. Donc, si l'on forme un polynôme du produit de ces facteurs simples,

u -^ ajSj.. . . , u --^ fiy^^ • • > I* — *>J^- • • > «le- ,

ce polynôme aura la propriété d'être une fonction invariable de a , /3 , y, etc. , indépendanunent de l'indéterminée u ; par conséquent, étant développé, tous ses coefficiens auront encore la même propriété.

Car soit ce polynôme

«r — AiT^' + BttT-* — CiT"* 4- etc. =fc V^ on aura

A == eifiy. . . + fiy^* • • 4- *> J^« • • + etc. y B = afiy. . . X iSj^cT. . . -H «>^. • • X esyj"

+ iSjJ^. . . X o^cT. . . «f- etc. , etc. / V = A^y. . . X iS^çT. . . X ayj". . . ,

où l'on voit que les coefficiens A, B, C, etc. sont en effet des fonctions invariables de afiy , etc. Or , on sait que ces sortes de (onctions peuvent toujours être déterminées par des fonctions rationnelles des coefficiens a, &, c, etc. A.

4- En effet , on peut d'abord déterminer par ces fonctions la somme des puissances d'un même degré des quantités ^ , iS> >> etc., comme nous l'avons vu dans la Note Yl (n* i). Ensuite, si l'on multiplie

2a , somme des puissances ct^j par 2a^, somme des puissances a^, le produit 2*^ X 2«^ sera q;al à Xit^'^'* + ^^^i^î »^^»i <>" aura

la somme des termes « /3^, au moyen de celle des puissances. On trouvera pareillement

Xa""^ X 2/ = 2a^+'i3^ 4- ^cl""^^' + 2ctVy ;

T^è NOTE X.

ainsi <m aura aussi cette dernière somme en fonctions des sommes des puissances , et ainsi de suite.

Maintenant, il est facile de voir que toute fonction rationnelle ^et invariable des quantités a^ (i ^y^ etc. ne peut être formée que d'une ou piusieWB sommes des formes précédentes; eUe pourra donc toujours être déterminée en fonctions des coefEciens a, ^j Cj etc.

C'est là un des principes les plus féconds de la théorie des équations. Newton, et long-temps avant lui AUbert Girard, avaient donné la manière de déterminer la somme des puissances des racines d'une équation par des fonctions de ces coefiiciens. Voyez dans l'ouvragé d^ Albert Girard, intitulé Invention nous^elle en Algèbre, et imprimé à Amsterdam en 1629, l'exemple second du théorème second. Euler, dan^ les Mémoires de l'Acadânie de Berlin pour l'année 17489 et Cramer, à la fin de son Introduction à l'Analyse des lignes courbes, ont fait voir que l'on pouvait toujours déterminer, par les coefficiens d'une équation , les sommes des produits de ses racines , prises deux à deux , trois à trois , etc. , et élevées à différentes puissances i et PF'aring a donné ensuite des formules générales pour trouver ces sortes de fonctions des racines; mais dans les cas particuliers, il est peut-être plus simple d'employer la méthode indiquée ci-dessus.

5. A l'égard des coefficiens A, B, G , etc. du polynôme, on pourra les calculer de la manière suivante.

On commencera par déterminer les sommes des puissances par ces formules

2a' = àlct — • ^b y

2a* = fl2a'— . tea-f- 3c, '''■^"

etc.

Ensuite on cherchera les termes n*^'*" des séries

2a=sii, :EûLfi=zb, l^fiyzszc, etc.

2ie», 2«»jr= ' , x«t»iSV= 5———, etc.,

X<^, z«»^=s r-z » ïtf'^V^. — TT- 5 •^^-— • etc.,

Ces termes seront les valeurs des sommes 2ai8)f..., 2'j3^5^..., 2a^j8*>' . . . , etc.

EnBn on aura

etc.

Au reste, il est visible qu'on aura d'abord sans calcul les valeurs du premier coefficient A et du dernier Y ; car le coefficient A est évidemment égal au coefficient de la puissance x^"'* dans le poly* nome donné jc" — aaf^^ -f* etc. Quant au coefficient V, il eat visible qu'il doit être de la forme J ^'yS^ . . . , c=: A'; et pour déterminer Pe^poss^nt 9 , il suffira de considérer que ce coefficient doit être le produit de {ju quantités , dont chacune est le produit de n quantités prises parmi les m quantités a, jS, > , etc. , de sorte que ce coefficient sera de la dimension nfi* \ donc il faudra que m$z=.nfjL^ et par

conséquent v = — .

-,. m(ii»— i)...(iit— 1»+ 1)

Donc 9 puisque ft = — ^ — ^ — - , on aura

et la valeur de Y sera K.

Ayant ainsi la valeur du dernier coefficient Y du polynôme en £i, on pourra se contenter de calculer directement la première moitié des coeffidatts A, B, C,- etc. de ce polynôme. Car soient Ty S y R, etc. les termes qui précèdent le dernier Y, il est Seicile de voir qu'on aura

O, si l'on désigne par (/»)• le coefficient de la puissanoe or^ dans

iga NOTÉ X.

le polynôme donné, on aura aussi

+ z:r h—T H etc.

Donc = = ^ j et par conséquent T = ^^f-.

Ensuite si l'on désigne par g ^ /, e ^ etc. les coefficiens du polynôme donné, qui précèdent le dernier A; lorsqu'on aura trouvé l'expression de B en a, &, c, etc., il n'y aura qu'à y changer a

en ^ , i en j , £? en I , etc. , pour avoir la valeur de -g , et fidsant

les mêmes changemens dans l'expression de C , on aura la valeur

de ^ , et ainsi de suite.

Ayant ainsi formé le polynôme en ii, si on le fait égal à zéro, on aura une équation dont les racines seront tfi8>«**, fiy^...^ oLy^. . • y etc. , et qui servira , par conséquent, à déterminer la valeur de u. Il ne restera donc plus qu'à trouver les valeurs de tous les autres coefficiens p^ q^ r, etc. du polynôme diviseur.

6. La manière la plus simple de trouver ces coefficiens, est de faire la division actuelle du polynôme x^ — aaf^* + etc. par le polynôme af — pa^^^ + etc. =b u , jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un reste dans lequel la plus haute puissance de x soit moindre que af) alors en égalant à zéro chacun des termes de ce reste, pour qu'il devienne nul indépendamment de l'inconnue x, on aura n équations entre les n coefficiens p^ (J^ etc. u\ et l'on pourra , généralement parlant , par ces équations , déterminer les valeurs de ^, ^, etc. en fonctions rationnelles de u. On aurait ensuite l'équation même en zi, par la substitution de ces valeurs dans l'équation restante; mais comme on ne voit pas, de cette manière, de quel degré devrait être cette équation finale en u^ qu'on pourrait même parvenir à une équation eu u <l'un d^ré plus haut qu'elle ne devrait être, ce qui est l'inconvénient ordinaire des méthodes d'élimination , nous avons cru devoir montrer comment on peut trouver cette équation a priori, et s'assurer du degré précis auquel elle doit monter.

Par la même raison \ nous croyons qu'il est nécessaire d'avoir une

mélhode directe pour trouver les expressions des coeificiens p^ q^ etc« en II, et pour être assuré que ces expressions peuvent toujours être rationnelles, excepté les cas particuliers où elles doivent dépendre d'équations du second ou du troisième degré, comme nous l'avons déjà observé dans la Noie précédente. Voici donc comment , en supposant l'équation en 11, on peut avoir la valeur des coefficiens p^ q y etc. en fonctions de u.

7. Je considère que la quantité x étant indéterminée, on peut mettre x — i à la place de x^ tant dans le polynôme donné j:"— aa:*""*-f-etc. , que dans le polynôme diviseur ar"+;par""' + etc. Par cette substitution , le premier de ces polynômes deviendra

or" — a.o:"""* + h^af^^ — etc. =fc h^ , où l'on aura

etc.

A. = /k + gi +fi^ + e? H- etc.

Et le second polynôme deviendra pareillement

x" — PiOC^* + ^i^*"' — etc. et i«, ,

en faisant

Pi = P + ni,

u, =: Il -f- <i -|- S^ + '^^ H- CtC-

D'où l'on peut conclure que si , dans l'équation en n, liT— A«r-' + BttT-^ ~ etc. =fc V = o,

dans laquelle les coefficîens A, B, G, etc. sont des fonctions de a, b^ Cj etc. h^ on substitue respectivement a,, b^^ c^y etc. A. au lîea de ces quantités , la valeur de u deviendra celle de u^ , quelle que sml la valeur de i; de sorte qu'en développant les termes suivant les puissances de i, il &udra que la somme de tous les termes mul-^ tipHés par une même puissance soit nulle; ce qui donnera pluneurs équations , dont chacune servira à déterminer un des coeffidens t , Sy r^ etc. par les précédens.

8. On pounra même trouver directement ces équations par Talgo-

rithme des fonctions dérivées. En effet , si l'on met partout — à la

place de i, il s'ensuivra des formules précédentes, que a devenant a^iy b deviendra

c deviendra

, m — 2 , . , (m — i) (m — a) .^ , 111(7» — lYm— s) ^

etc. , et enfin u deviendra

«* + i ^ + ;^ *' + ;^3 *• + «te.

Donc, si l'on regarde, ce qui est permis, les ooefficiens^, c, etc., h et Uy comme des fonctions de a, et qu'on se rappelle que a àt^ venant a -^-'iy toute fonction de a, comme u, devient

Il 4- Mi'+ *^ a»»^— tt-» ^ etc. , on pourra supposer b = a, y = — i — - — i 4'*aïc=a;

c S= ■■» i/L C sa iw ■ ■ I ii r i m I ■ t n •

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t,f ifi(m— i)(iii — 2) ,

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i«, (»— 0(»— a)(ii>~ 3) , ^, m(m-i) (ro-a) (m~3) (m— 4) " — ^? '" — m* »

etc.

II' = - , u' = —y v!" z=z — j- , etc. ,

et il n'y aura plus qu'a prendre les fonctions dérivées successives de l'équatioQ en ii, et y faire les substitutions précédentes.