FIN

Correction (laissée par M. Lagrange) pour V article 87

de la Note XIII^ p^g^ ^4^-

La règle donnée dans cet article, pour savoir lequel des deux systèmes d'équations on doit choisir dans chaque cas, n'est pas assez générale.

M. Bret, professeur de Mathématiques au Lycée de Grenoble, a trouvé un exemple où elle est en défaut.

Soit l'équation

la transformée en est

fl3 + ,6fl. 2569 (64)* = o,

dont les racines sont — 16, — 16, 16, ce ^jui donne

La fonction A' — 4A.B-+-8C est >o, parce que A=:o, C=:8j ainsi il faudrait prendre le premier système. On aurait d'abord

qui ne satis&it pas. En effet,

(i + 2\^iY « — .3 4- 4v/.

ainsi l'équation serait

ce qui n'est pas zéro.

Le -deuxième système donnerait

3i2 CORRECTION,

donc

Mais je remarque que l'analyse donne simplement la condition

y/^ X \/¥' X V^r = A' — 4AB + 8C;

d'où il suit que le produit des trois radicaux V^fl', \/fl", V^ doit

être égal, et par conséquent de même signe que la quantité

A' — 4-^B H" 8C, Donc si , en prenant les trois radicaux positivement, leur produit est de même signe que cette quantité, ce sera le premier système qui aura lieu ; mais s'il est de signe contraire , alors il Êiudra donner le signe — - à l'un des trois radicaux, ce qui donnera le deuxième système.

Dans l'exemple dont il s'agit, on a

tandis que

Ainsi c'est le second système qui a lieu.

La méprise vient de ce qu'on a supposé que le produit des trois radicaux, pris positivement, serait toujours positif.

Au reste , on peut ôter toute ambiguité en prenant dans le premier système

^gTT/ A3-4ÂB+ j8C

Dans l'exemple proposé, pour lequel

ayant fait v/9^ = 4, N/^= 4 \/— i , on aura v/P'= — 4 v/^IT • alors le premier système donnera

x' = I, jf" =— I + a V^^^, ar"'= i, a:" = — i — 2 \/-^, véritables racines.

>WW<»W » »WW<»MMWIâ<WM)»MM%>M(»l<»>»l<»MM( % »MMW»WW^

NOTE DE M. POENSOT, relalwe à la correction précédente.

Il me semble qa^3 y avait & faire \ sar ce point de cloclriné ^ une remarque plui simple et plus lumineuse que celle qu'on vient de lire, parce qu'en même temps qu'elle efface j de l'Alg^rC; cette inutile énumération de formules qui a donné lieu & la méprise dont il s'agit , elle rend encore plus claire et plus précise la règle qu'on doit suivi*e dans les applications particulières.

En représentant ^ comme le fait Euler , par

l'équation du 4* degrés et par les lettres a, &^c, les trois racines de la rèduiu j j'observe que i dans l'Algèbre , on ne devrait présenter , pour l'expression générale de X, que la simple formule

et qu'il faudrait supprimer, comme inutiles , toutes celles qu'on en tire par ces dif-« férentes combinaisons de signes dont on affecte les radicaux [/a y {/b, \/c. Car ces signes + ou — qu'on met devant ces radicaux , n'en font pas pour cela des quantités positives ou négatives ; et , par l'équivoque même qui reste attacbée au signe radical (/, et à ceux qui entrent dans l'expression de a^ b, c, toutes ces représentations, ou formules diverses en apparence, reviennent toujours à la même , et ne signifient rien de plus en Algèbre. Il suffît donc d'écrire la simple formule précédente , où le signe + que j'emploie , signifie uniquement que l'expression de X est formée par la réunion des trois expressions générales \/a, {/b, y^c, sans rien dire de la nature de ces quantités, qu'on ne peut ni connaître, ni marquer par aucun signe, tant qu'on reste dans la généralité de l'analyse.

Actuellement, je suppose qu'on veuille donner une règle pour l'application arithmétique qu'on pourrait avoir à faire de cette formule générale à une équation particulière donnée. Il suffît de dire que , dans cbaqae cas particulier , on aura soin d'assembler les valeurs trouvées pour ces radicaux , de manière que le produit de ces valeurs soit de signe contraire au coeffîcient q de la proposée : ce qui donnera précisément^ et dans tous les casj les quatre racines de cette équation.

( Ceci suppose que , par la règle analogue dans le 3* degré , on a d'abord dé^ terminé les trois racines particulières a, &, c, qui conviennent à la réduite.)

On voit que tout devient clair et facile , par cette seule attention de ne pas confondre avec l'Algèbre ce qui n'appartient qu'à l'Arithmétique. Le défaut qu'on relève ici vient uniquement de ce faux mélange qu'on veut faire de Tanalyse et de la synthèse. On essaye de dbtinguer et d'isoler , par certains signes, les différentes

3i4 NOTE DE M. POINSOT.

racines d'une formule radicale , et cette séparation est tout-à-fait illiuoire : car ces racinjes coexistent toujours dans une seule quelconque d'entre elles, tant qu'on j laisse ces radicaux qui donnent lieu à cette multiplicité de valeurs. Or, par la nature même de l'Algèbre, il faut que ces signes équivoques demeurent , puisque cette science n'a d'autre objet que d'indiquer les opérations à faire, mais sans les exécuter , afin que le tableau de ces opérations, la seule chose que l'esprit ait en Tue, soit parfaitement conservé. Cest même pour prévenir toute in^perfection de ce genre, que, dans le calcul, au lieu de nombres, on emploie des lettres; d'oi il résulte qu'aucune opération ne peut se faire actuellement, et que le signe de l'opération demandée subsiste toujours.

Lorsqu'on passe aux applications numériques, les opérations s'effectuent, les signes radicaux disparaissent, et l'on n'a plus que des valeurs particulières, composées de nombres réels ou simplement affectés de l'imaginaire |/— i : c^est la seule ambiguité qui reste; et le choix de ces valeurs particulières se fût aisément par cette règle naturelle , qui consiste à se conformer à l'hypothèse même du calcul ^ afin de ne pas se contredire soi-même.

Ainsi, dans la formule d'Ëaler,rhjpothèse du calcul est (/aX V/^X|/c=— ^,

qui signifie que le produit des trois valeurs particulières^ qu'on réunit pour former

la racine « de la proposée , doit être précisément égal à — g. Il faut donc se oon-

former ii cette supposition, comme , lorsqu'on demande le carré de V^-— i , on doit écrire — i , pour ne pas se contredire. Par ce seul principe , <m ert sûr de trouver dans chaque cas les vraies valeurs qui conviennent à la question que Pon considère.

SIM 01 hA MOTS.

Errata.

Page 72, ligne 4, ^, lisez ^

— — 81, ligne i3, a? = -^ d:, /»««« x= ^zp

— — 8a, ligne i5, plus grand que ^'% /m^s plus petit que ('*

— 86, ligne 8 en remontant, 7—, liseï 7-

— — gi , dernière ligne , , lisez

i44, ligne 6, 4-aKi3*, /ûe^ +aK3* — — agS, dernière ligne, /, = i + , lisez ^, = r +