aç: + «•?: + etc. + «''— eÇ
et l'on suivra le même procédé que nous avons exposé dans le n** i3 et suiv. Que si le nombre ^ est composé de manière que l'on ait st' =s y'V, on pourra , pour éviter le développement d'une puissance trop haute , prendre pour a une racine de l'équation
y — 1 =0, ce qui donnera & /^ la forme
/. = X; + etX: 4- a-X: H- etc. 4. a' -'XÎ''),
et l'on poursuivra le calcul comme ci-dessus ^ et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier facteur indécomposable.
L'avantage de ces décompositions consiste dans l'abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes t pour avoir les fonctions 0^ ce qui diminue la longueur du calcul; et ensuite dans l'abaissement des radicaux qui entrent dans l'expression de la racine r, ce qui simplifie cette expression.
Telle est la marche générale et uniforme du calcul; nous aUons l'appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir, et nous reprendrons d'abord celui de l'équation or' — - 1=0, que nous avons» résolu ci-dessus (n* lo).
18. On a ici fi — i ss 4 s=: ^^^ ; ainsi on fera i' s= 3^ «tt ;=s 2 ,
( n"* II). On prendra pour a une des racines de l'équation
j^ — I CBS o: de sorte qu'à cause de a* :s i , l'expression de la fonc-
t^ NOTE XIV.
tîon / du n* 10, devient
^ = X' + aX'', où X'=r+/^ X"=r* + r».
De là on trouve, en faisant le carre de ty a cause de a* =z i ^
9 = ^* = ^* + <, ^«==X'* + X"% 0' = aX'X''.
Substituant les valeurs de X', X" en r, et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de r au-dessous de r^, à cause de r* = i , on trouve
Donc, comme r '{- r^ ^ r^ -^ r^ somme des racines est = — i par l'équation, on a ^•sssS et ^' = — 2. Ainsi l'expression générale de fl deviendra 0=3 — aa.
De là, à cause que les valeurs de a sont i et — -i, en faisant a s= *- I , on aura = 5; et comme
s = a/ + x" + x'" + 'o:*^ = — I , les formules du n' ii ci-dessus donneront
V' — — ' 4 Y ^ yni ....
On aura ainsi par la valeur de X' celle de r + '^ > somme de deux des quatre racines de la proposée. Pour avoir la racine r en particulier, on fera de nouveau un calcul semblable, en considérant les deux racines r et r^ comme racines d'une équation du second degré.
On fera donc ^, = r + ar*, a étant, comme ci-dessus, racine de j^ — I =o; et de là, on aura
Ict, l'on voit tout de suite que les v«leur» de ^\ et 0| sont données au moyen des valeurs déjà connue» de X' et X'^ En effet , à cause de r*=i, et par conséquent r'ssr*, on a Ç* =sr*4./^s= X" et
NOTE XIV. agf
0[ = a. Donc on aura 6, = X" + set ; de là , en faisant etsas -^^ i ^ on aura 0', = X" — 2, et la formule du n' i4 donnera, tt étant =3,
Enfin 5 substituant ici les Valeurs X' et X" trouvées ci-dessus , on aura
— 1+ 1/54- 1/(— 10 — aï/5) r= ^ j
et par les remarques du n"" t5j ou aura aussi
et changeant X' en X", X" en X',
d'où l'on aura , par les substitutions des valeufs de X' et X*',
, —i+^/S— |/(~io— âv/S) ^ -.-t/ 5+t/(~io +aV/S)
3 — 1—^/5-* \/(^io4-2 y/s)
ComHie 5 est un nombre premier^ ces vaieurs de r, r^^ r', r^ seront les quatre racines qui , arec l'unité ^ résolvent l'équation ar* — 1 = o (n* 3).
19. Les expressions de ces racines coïncident avec celles qu'on trouve en résolvant l'équation a::* — i = o par les méthodes connues. Car on a d'abord, en divisant par a>*-i, ar^+x'+^H-^^c+isso,
équation qpii, étant mise sous la forme o^ H** r^~h ^ ^^.^ i s=o,
devient «••{- m-^ i =0, par la substitution de a: + - = 11. On a
ag» NOTE XIV.
ainsi l'ëquatien af — aw + i = o , laqudle donne
ensuite Téquation en u donne u = ^^ ; Je sorte qu'exi substituant cette valeur , on a
où les signes supérieurs et inférieurs de \/5 doivent se répondre, mais sont indépendans de ceux de l'autre radical ; de sorte qu'on a les quatre racines par Tambiguité des signes des deux radicaux.
ao. Passons à l'équation x^ — i = o , laquelle étant dégagée de la racine i, devient
j:* + a:* + a:<4-a^+a:* + a:Tf- i = o,
dont les racines seront r, r*, r*, r*, r*, r*.
La plus petite racine primitive pour le nombre 7 est 3 , d'après la table du n* 4 • ^vûa\ l'on aura la progression 3**, 3', 3% 3', 3*, 3*, savoir, i, 3, 9, 27, 81, ^43, dont les termes, étant divisés par 7, donneront les restes i, 3, 2, 6, 4) ^9 qu'on prendra pour exposans de r. On aura ainsi , pour les racines de l'équation proposée, les termes r, r*, r*, i^^ r*, /^, qu'on prendra poui af, oé'y x!", etc.
:ii. Nous remarquerons ici que pour avoir les exposans de r qui doivent former toutes les racines, il n'est pas nécessaire d'élever la racine primitive aux puissances successives, et de diviser ensuite ces puissances par le nombre premier auquel la racine pri-milive se rapporte : il suffit de multiplier chaque reste par la racine primitive, et de ne retenir que le reste de la division par le nombre premier donné. Ainsi en commençant par i , ou a , dans le cas présent, les deux premiers termes i, 3; multipliant 3 par la racine primitive 3, et divisant par 7, on a le reste a troisième terme ; 2 multiplié par 3 donne 6 quatrième terme ; 6 multiplié
par 3 et divisé par 7 donne 4 y enfin 4 Biultiplié par 3 et divisé par j donne 5. Si l'on voulait continuer en multipliant 5 par 3 et divisant par 7, on retrouverait l'unité et successivement les autres termes déjà trouvés.
:22. Maintenant on fera
^ = r + fltr* H- «•r' + ctV -f- aV4- aV,
en prenant pour fa une racine de l'équation ^* — i = o ; ensuite on formera la fonction = /'; mais comme l'exposant 6 = 2.5, on pourra simplifier le calcul et les résultais, par la méthode du n* 11, en ne prenant d'abord pour a qu'une racine de l'équation jr* — 1=0; ce qui, à cause de a*= 1 , réduira l'expression de t à celle-ci : ^ = X' + (tX!\ dans laquelle
« ou aura ensuite
fl = «* = 0« + «^', oix Ç^rsK^ + X"*, f = 2X'X",
et l'on trouvera après le développement, à cause de r^=:T,
Or r+ r* + r* + /'• + r* H- r*, somme des racines , est ss — i ; donc ^•= — 3, ^'=4> et la valeur de 9 se réduira à 6:=*— 3-f-4*- De là , en faisant a = — i , on aura 6' s= — 7 , et l'on trouvera sur-le-champ les deux racines
23. G}nsidérons maintenant les trois termes de l'expression de X' comme les racines d'une équation du troisième degré : prenant a pour racine de l'équation j^ — i = o, on fera
i94 NOTE XIV.
ensuite , en faisant
on trouvera , à cause de «' = i et r' = i ,
e' = 3 (H+r^ + r*), savoir ,
de sorte qu'on aura
9, = 6 + X" + ZttX' + 3«*X" j
donc en nomtnaût a et j8 les deux racines imaginaires de^' — i =o, savoir, de^*+7'4- i=o, lesquelles sont
et faisant
e; = 6 + X" H- 3aX' + 3a»X", e: = 6 + X" + 3/3X' H- 3i3*X^
on aura (n* i4)> en faisant t= 3,
24- Venons à l'équation x" — i = o, laquelle étant divisée par j: — I , s'abaisse au dixième degré et devient
a:"* + X* + •3:' H- Jc^ + x* + ar" + ^ H- ^* •+■ -^i^* + «^ + 1=0.
On voit par la table du n* 4 9 m^^ ^^ P^^^ petite racine primitive pour le nombre 11 est a ; ainsi la suite des restes qu'on trouvera Ëicilement par le procédé du n* 2 1 , sera ici i , 2 , 4 > ^ 9 ^9 ^^9 9» 7? ^9 69 ^^ sorte que la série des racines sera
dont la somme sera par conséquent =— 1 , et Ton aura pour t cette expression générale ^
^ = r + <xr* + a*r* + aV -|- etV + aV*^ + a«r®
laquelle, en prenant pour a une racine de l'équation ^'''— i =0, donnera, à cause de]flt'*= i ,
Ô = /'« = ^» 4- a^' + a*^" H- «3^'/' 4. etc. + a»^",
d'où l'on tirera la valeur de r par la formule générale du n** 8, en y fiaisant fc = 11.
Mais pour se dispenser d'élever le polynôme / à la dixième puissance, on pourra décomposer l'opération en deux autres correspondantes aux deux facteurs ;2 et 5 du nombre 11 — 1 = 10, par la méthode du n** 11.
Prenons d'abord pour et une racine de l'équation ^* — 1 = 0, de sorte que l'on ait a* = i. Par là l'expression de t se réduira à cette forme plus simple ,
/ = X' + aX'\ en faisant, pour abréger,
et la valeur de 6 sera
fl aor ^» =5 X'* H- X"* + actXX'.
En développant les carrés des fonctions X' et X'^, et rabaissant toutes les puissances de r au-dessous de r**, à cause de r**s= i, on trouve
et par conséquent X'* -|- X"* = 5 (X' -4- X") = — 5 , à cause que X' + ^" ^^ ^ somme de toutes les racines.
agG NOTE XIV.
On trouve de même, par la multiplication,
On aura ainsi 9 = — 5 + 6«fc , et faisant a = — i , on aura fl' = — II.
Donc , on aura par les formules du n* 1 1 , en y faisant v = a ,
25. Ayant ainsi les valeurs de X' et X", pour avoir celle de r, il faudra considérer les cinq termes qui composent la quantité X' comme les racines d'une équation du cinquième degré, et puisque 5 est un nombre premier, on ne pourra employer que Fexpression générale de t,
en prenant pour et une racine de l'équation ^ — i = o. Ensuite il fendra faire
9 s= i* = 0* H- <xf H- aȂ" + aȂ'" + a^^'^j
et il ne s'agira que de trouver les valeurs en r des coefficiens f *, 0'« etc. , par l'élévation de l'expression de / à la cinquième puissance , en ayant soin de rabaisser les puissances de ot au-dessous de a*, et celle de r au-dessous de r**, à cause de a'ssi et r"=i. Par un calcul qui n'a de difficulté qu'un peu de longueur , et sur l'exactitude duquel on peut compter, j'ai trouvé, en retenant les expressions de X' et X" en r du h* précédent ,
Ç* = 130 + 3iX' + 70X", f = 100 + 60X' + 45X^ f = 5o + «5X' H- 3oX^ f = 60X' + 65X", ^•^ = 5oX' + ^SX!'.
Comme les valeurs de X', X'' sont déjà connues, par l'opération précédente, l'expression de la fonction de ne présente plus rien d'indéterminé , et elle dounera sur-le-champ la valeur de la pre-
mière racine r, par la formule générale du n* i^t en y disant ^ =5, et prenant pour a, j8, 5^^ J^ les quatre racines qui, avec Punité, résolvent l'équation 7-* — 1=0, et pour fl', fl", G'^', 6'Mes valeurs de 6 qui répondent aux substitutions de ot, /3, ^, J^ à la place de a dans l'eipression trouvée pour ô.
a6. Si dans les valeurs de Ç**^ ^\ etc. , on substitue celles de X' et X", données dans le n* :i4> ^^ ^
f. '39 — 39V/— II ^ w gS+iSy/— II
Vf/ — i5+55t/ — II ^fff ^^ — laS— S|/ — II
^,^ laS+aSy/— II
Si ensuite, au lieu des racines j3, ^, cT, on substitue les puissances a% a\ a^ de la racine a , qui les représentent, à cause que 5 est un nombre premier, et qu'on rabaisse les puissances de a au-dessous de oL^y on aura
et l'expression de la racine r sera
où il n'y aura plus qu'à mettre pour a, a% a', a* les valeurs de r, r*, r', r*, que nous avons données plus haut (n* 18).
117. On trouverait par les mêmes principes les valeurs des puissances de r qui forment les autres racines de l'équation x"*-* issso, excepté l'unité.
Et d'abord on aura les valeurs des racines r*, r*, /*, r*, qui entrent dans la fonction X', en multipliant , dans l'expression de r,
a^ NOTE XIV.
les radicaux \/F, VA", \/¥', \/F% respectivement par a^ jS^ >^ i^y pour la racine r*; par a*, /3', 3.*, «f', pour r"; par a*, jS*,
>% J^% P^^ï"^ ^? ^^ P^^ ^j fiy y^ ^} P^^' ^) c'est-à-dire par ot^, a', a', âj par a', «, a^, a*; par tf% a*, «t, «-'; et par tf, a% a^ «^.
Ensuite, pour avoir les valeurs des autres racines* r*, /^, r**, r', r', qui entrent dans la fonction X", il n'y aura qu'à changer dans celles de r, r*, /^, r», r^, X' en X", et X" en X'; ce qui ne demande que de changer le signe du radical \/— 1 1 dans les expressions de ^•, ^', etc.
.28. Je donne ici d'aiitant plus volontiers ces expressions des racines de l'équation a?" —1 = 0, qu'elles n'ont jamais été données, et qu'elles n'auraient pas même pu l'être par les méthodes connues qui demandent la résolution d'une équation du cinquième degré.
Il y a cependant une exception à faire à ce que nous venons de dire; car on trouve à la fin du Mémoire de f^andernionde , sur la Résolution des équations , dont nous avons parlé dans la Note précédente , l'expression de la racine d'une équation du cinquième degré, d'où dépend I» résolution de l'équation x" — 1=0; car cette équation étant divisée par j: -— i , devient
x^ -f- ^' + **:• •+• etc. -f- I = o ,
laquelle étant du genre des réciproques , peut s'abaisser au cinquième degré, par la substitution de j:4--:^.tt, et l'on obtient par les formules de la Note X (n** i4), cette équation en m,
tt* ^- a* — 41^ — 3ii* -^ 3tt -|^ 1 = o.
Eu prenant u néga'tivement , ce qui change les signes de tous li3s terme? pairs, on a l'équation résolue par Vandermonde. Cet auteur ne donne l'expression dont il s'agit, que comme un résultat de #a méthode générale, sans indiquer en détail le3 opérations p«r iesquelkis il y est parvenu ^ et personne , ajprès lui, ne «'est
NOTE XIV. agg
occupé, que je sache, k vériGer ce résultat^ qu& paraît même être resté igQorë.
2g. La valeur que nous venons de trouver pour la racine r de l'équation x" — 1=0| pourrait servir à cette vérification; mais on peut parvenir directement à un résultat comparable à celui de Vandermonde j en prenant pour a , dans l'expression générale de i du n* 34 , une racine de l'équation j^ — 1=0, au lieu de l'équation ^•—1 = que nous avons employée , ce qui est permis , puisque 2 et 5 étant les facteurs de 10, on peut partir de l'un ou de l'autre, à volonté.
3o. Faisant donc «' == i , l'eipression générale de t ( n* 34 ) deviendra
« = X' + tfX" + ft-X'" + a»X*^ + i«*X%
et l'on regardera maintenant les quantités X', X'', etc. , comme les racines d'une équation du cinquième degré; c'est le cas que nous avons considéré en général dans le n^ 13.
On fera donc
et l'on cherchera les valeurs de ^y ^% ^\ etc. en fonction de r^ par le développement de la puissance cinquième de £, en y rabaissant continuellement les pmssances de a au-dessous de af^ et celles de r au-dessous de r*', k cause de «^=: i, et r"=i. Le calcul n'a d'autre difficulté que la longueur. Toici les résultats que j'ai trouvés, et dont je crois pouvoir répondre.
En faisant, pour abréger,
on a
dans laquelle
3oo NOTE XIV.
^^ = i64o + i836 s, ^ = 1700 + i83o 5, ^' c= ao5o + 1795 s y 0'"= 1800 + 1820 s y
Or s est la somme des racines qui^ par la nature de l'équation du dixième d^é en x^ dont le second terme est a?', doit être ^ale à —I.
Faisant donc ^ s= -^ i , on aura
Ainsi la valeur de sera
6 = — 196 — i3oa H- ji55a* — aoa* + 90a*.
En mettant successivement à la place de a les quatre racines a^ /3, 5^, cT de l'équation a:r* — i s= , on aura les quantités G', fl", G''', G'^, et si l'on prend , comme ci-dessus (n^ 26) , pour ces racines les puissances a,j ûl*^ a^j et^y dont les valeurs sont les mêmes que celles de r, r*, r", r*, du n' 18, on aura, à cause de «*s= i,
6' = — 196 — i3oa 4- 255 ûL^ — aotf* + goot^, 6"|= -^ 196 — iSoflt* 4- 255a* — aoa + 90a', ^"' :^ — 196 — i3oa* H- 255ct — 20a* H- 90a*, 6'^= — 196 — i3oct* H- 255a' — 20a* + 90a ,
et la formule générale du n* 11, donnera tout de suite , en faisant V ssz5 et ^s=s— -x^
Cette quantité X' est z:^r'+-r^'*z=zr'^-, k cause de r" = i ; c'est
la valeur de 2 cos (n* 1 2) : c'est aussi celle de la racine u de
l'équation en u du cinquième degré (n* 28) y puisque r est la racine de l'équation ar" — 1=0. Ainsi l'expression précédente , prise négativement, doit s'accorder avec celle de p^andermonde.
NOTE XIV. 3oi
3i. Pour pouvoir les comparer facilement, nous substituerons dans les eiipresâons précédentes de fi^, 0'^, 0'^', 0*% les valeurs de a, a% €t?j «*, qui sont les mêmes que celles de r, r*, H, r* du n* i8.
En Élisant, pour abréger,
m = j/(— 10 — 2 V5), n = v/(— lo+a V5),
on a
et pour s'assurer de la justesse de ces expressions, il n'y a qu'à
faire le carré de — 1+ \/5^mj qui est 6—2 V^+^^'H^^CV^— O'^'î or en faisant passer sous le signe radical de m le coefficient
\/5 — I élevé au carré, on trouvera (v/5— i) m=2/s; de sorte qu'en substituant la valeur de m*, on a
On peut vérifier de même les autres puissances de a. Faisant ces substitutions , on trouve
V = i (— 979 — 275 V^ — 220/îi H- 275/1) ,
fl" = \ (— 979 + 275 \/S — 275/w — • 220;») ,
fl'" = \ ( — 979 H- 275 V^5 H- 275/71 + 220/s) ,
fl*^ s= J (— 979 — 275 \/S H- 220/71 — 275/ï) ,
où l'on remarquera que les coefEciens 979, 375, 220 sont tons divisibles par 1 1 et donnent pour quotiens 89 , 2S ^ 20 -, de sorte que les quantités fi', 6'', fi'^, fi*^ peuvent être «primées plus simplement ainsi :
0' = i^ (— 89 — 25 v/5 — 20m + a5/i), fl'' = 2^ C— 89 + 25 V^S — 25/71 — 10/»),
fi''' =: I5L (— 89 H- 25 V/5 + 25/71 H- 2on),
fl'^s= ii (— 89 — 25^5"+ 2om — 25/»).
3o2 NOTE XIV.
'i2. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de yandermonde, nous emploierons ces transformations :
m = p + q, n =: p — ç, en supposant
lesquelles se vérifient en faisant les carrés , et en observant que ^^ = *-« \/5 , parce que le produit des deux radicaux réels et po~ sitifs v/(5 + 2 \/5) , /(5 — 2 v/5) est V/5 j donc
Par ces substitutions, les quantités fl', fl", fl''', fl*^ deviendront
fl/ = - ( 89 - 25 v/5 + 5;; - 457), ô''=^(-89 + 25v/5-45;^- 5y), fl'''= i^ (— 89 + 25\/§ + 45;; + 5y), fl«T m: ( 89 — a5v/5 — 5;? H- 45^).
33. Vandermonde a donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, de l'année 177 1 (page 4^6)» P<>ur la résolution de l'équation
X* -— X* — 4^ + 3x* H- 3x — I SES
cette expression de la racine
a: = I (i + A' H- A'' + A''' + A'^), dans laquelle
A' = iJ'-V- (89 + 35 VS — 57 4- 45;;), A" = ^V (89 + 25\/5 + 5^ - 45;»), û'^ss ^'•V- (89 - 95 V^ - 5y — 4^), A»'s= ^J'i^ (89 — 25 \/5 H- 5y H- 45jP), en conservant léS valeura de ;i et f supposées à-dessus.
NOTE XIV. ao3
On voit que les expressions de ù!" et à}" coïncident avec celles
de V— 9"' et V^— 9", et que les expressions de A' et A' ne dif-
fèrent de celles de V^ — 8' et V^— 9'^ que par l'échange des quantités p et q entre elles , ce qui ne tient qu'au signe du radical
3 v/5 sous le radical carré. A cette différence près , qui peut venir d'une faute d'impression dans le Mémoire de f^andermonde, ses résultats s'accordent parfaitement avec les nôtres , puisque la racine de sou équation en a: répond à la racine de notre équation en u prise négativement , et que tout radical cinquième
est la même chose que •— \/9. On peut donc dire que
y^andermonde est le premier qui ait franchi les limites dans les*
quelles la résolution des é({uations à deux termes se trouvait resserrée.
34- Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de Vandermonde , nous allons prouver qu'elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l'on désigne, comme lui, par /, /', r'", r'^ les quatre racines qui, avec l'unité, résolvent l'équation x^—- 1=0, il est facile de voir, par la formule générale de l'article YIII de son Mémoire, que la quantité A ne peut être que de la forme
1^(A + B/^ + (y' + D/^'' + Er'^);
et qu'en prenant cette expression pour l'une des quantités A', A", b!^\ A'% les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci , par la substitution de r*, r*, r^ à la place de r; ks quantités A , B, C, D, E étant des fonctions des racines de l'équation à résoudre, indépendantes des racines r', r'', i*'\ r^.
Or, par les relations données dans le même article entre ces dernières racines, on a
3o4 NOTE XIV.
Donc, les quatre expressions dont il s'agit deviendront
V^(A H- B/ H- Cr" H- D/" H- Er") , V^(A H- B/" 4- 0"-t- Dr" H- Et' ) , V/(A -f- Br" + Cr"'+ D/ + Er") , \/{A H- B/' H- Cr' + Dr" -f- Ei"').
35. Dans l'article XXIII du même Mémoire, on trouve pour les racines de l'équation x* — i := o, ces expressions y dans lesquelles j'introduis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres p et g employées ci-dessus ,
£n . prenant la première de ces racines pour r^y de sorte que l'on ait
il faudra , d'après les formules du n^ 3 1 , en prenant a pour r^y et substituant p+Çj p — q pour m, n, supposer
Substituant ces valeurs dans les expressions ci«dessus , elles se changeront en celles-ci :
V^i (F + G \/5 H- H^ + Rç), ^i (F — G V5 -h K;» — Hy), V'i (F — G V5 — Kp + Hy), V^i(F+.G V^ + H;,-Ky),
NOTE XIV. 3o5
en faisant, pour abréger,
lesquelles doivent coïncider avec celles de A', A", A'", A'^, rapportées ci-dessus {p? 33). Mais on voit au premier coup d'œil que cette coïncidence ne peut avoir lieu , à moins qu'on ne change à la fois ;; en ^ et 7 en ^ dans A' et A'', ou dans A''' et A*% parce que dans les formules précédentes , les coefficiens de ^ et ^ ne sont les
mêmes que dans les deux où la racine \/5 est affectée du même signe, au lieu que dans les expressions de A', A'', A'^'^ A'% les quantités ;? et q ont partout les mêmes coefficiens.
36. En faisant ce changement dans A^ et A'', comme nous l'avons indiqué (n* 33) pour accorder les formules de F'andermonde avec les nôtres, on pourra supposer
A' = 1^1 (F + Gv/5 + ^p -{- Kg), A" = i^i (F -♦- Gv/5 — H;? — Kg), A"'= t^i (F - Gn/5 - K;7 4- Hg), A"'= i^i (F - GN/5 + K;, - Hg),
ce qui se vérifiera en faisant
F=ii.89, G=ii.35, H = — 5, R=:4^.
De là , on aura y par les formules du numéro précédent,
B=:A— 11.6, C=A— 11.26, DsssA— 11.41? E=A— 11.16,
et la quantité A restera indéterminée, parce qu'à cause de... I + r' H- /' 4" ^'' + ^^ = o > elle dbparaîtra des expressions des quantités A du n* 34.
3o6 NOTE XIV.
Si l'on fait A = 196, on trouve
et la formule
V/(A + B/ 4- C/^' + D/^" + Er«')
du n* 34 , Coïncidera avec celle de l/— 0' du n* 3o , parce qu'en feisant rtssr', on a /^'= a*, /^'' =«% r«^ =î a» (n* 35); et les formules dérivées de celle - là coïncideront aussi avec cel les de
37. Pï^nons pour dernier exemple l'équation x*^ — 1=50. Gmimct i3— «1 = 12=: 2.2.3y Popération pourra se décomposer en trois , de la manière suivante.
U faut d'abord av oit une racine primitive pour le nombre i3^ et la table du ft* 4 ^m^t le nombre 2 , dont les puissances successives^ jusqu'à la onzième, divisées par i3, donnent les restes 2, 4 9 89 3» 6, 12, II, 9^ 5, 10, 7.
Ainsi en nommant r une racine de Téquadon
a:" + or" + ar" + j:» + ^^ -f- etc. -+• i s= o, les autres onze racines seront
On fera donc en général
/ = r 4- ar* + aV •+. otV + aV + aV
et l'on prendra d'abord pour aune racine de l'équation^*— i =0, en sorte que «•= i, ce qui réduira la fonction i à la forme. ... / =:X' H- aX", dans laquelle
De là , on aura
6 = /»=rfH-<, e = X'»4-X"% r = 2X'X".
On peut se dispenser de chercher la valeur de ^•j en se servant de l'expression de 6 du n* 1 1 , qui ne renferme pas Ç*, et qui donne ici, à cause de y = a et de ^ = — - 1 somme des racines de l'équation proposée, fl =r i -}-(«— i)Ç'; de sorte qu'en faisant «=s5**-i, on aura la valeur de 0^, et les deux racines X', X" seront (n^ cité)
Pour avoir la valeur de ^, il faut développer le produit XX." en puissance de r, ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à r"*, à cause de r*^ = i , et l'on trouve XX." =: 3^ , en mettant s pom: la somme des racines r, 7^, r^, etc., laquelle est=—- 1 ; de sorte qu'on aura ^'=—6, et les valeurs de X', X" seront
38. On regardera maintenant les six racines qui composent k quantité X' comme celles d'une équation du sixième degré, et l'on fera de nouveau
mais au lieu de prendre en général pour cl une racine de l'équation j^* — - I s= o j ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme <., nous prendjKms de nouveao une racine de l'équation /* — - i = o, de sorte qu'au moyen de a* = I , la fonction /, redeviendra de la forme /.;:= X| -{- X' , dans laquelle on aura
3o8 NOTE XIV.
On aura ensuite, comme ci-dessiis,
fl. = /: = ?: + <, e: = x:' + x:, ?:-:=ax:x:,
et à cause que la somme des racines est ici X', on aura surle-champ
on aura en même temps 9» = X'* -{-(a — ï) ^^ «it faisant a =3 — • i ,
e:=:X'--aç:.
Pour avoir ^[ , il faudra développer le produit de X[ par X *,' en se souvenant toujours que r'* = i , et l'on trouvera
ce qui donnera Ç[ = 6 + aX'',
et par conséquent
39. Nous remarquerons ici que comme en mettant r* au lieu de r, la fonction X' devient X", et la fonction X" devient X'j si l'on dénote par (X^), (Xî)ce que deviennent les fonctions X', X^, en y substituant r* au lieu de r dans toutes les puissances de r, ce qui donne
on aura les valeurs de (X'), (X*), en échangeant dans celles de X^ , X* , les quantités X', ,X" entre elles. On trouvera ainsi
-—.v X'— v/(X'» — 1 a — 4X') {AJ = .
Ce sont les fonctions correspondantes àX[, X' qu'on obtiendrait en procédant à l'égard des racines qui composent la fonction X'', comme on a fait sur celles de X'. Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de r.
40' Pour cet eflfet, il faul encore regarder les trois racines qui composent la fonction X^ comme celle d'une équation du troisième degré , et faire , en conséquence ,
/. = r + tfr* + flt^r®,
et prenant pour a une racine de l'équation J^' — i =0. De la , on formera la fonction
fl. = 'î = ?: + < + «•?:,
et l'on trouvera, par le développement, en faisant a' = i , et r*' = I , ces expressions
Donc , nommant a et fi les deux racines de l'équation et faisant
on aura, comme dans le n^ 23 ,
Ainsi la valeur de r est entièrement déterminée; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d'employer, pour la résolution de l'équation x*^ — 1=0, ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues eu sinus et cosinus.
3io NOTE XIV.
4i. Je remarquerai, en finissant, que la méthode exposée dans cette Note, peut être i*egardée comme une simplification de celle que M. Gauss a indiquée d'une manière générale , dans l'article 36o des Disquisitiones arithmeticœ . Celle-ci est fondée aussi sur le développement d'un fonction semblable à la fonction que nous avons désignée par 0; mais elle demande de plus la formation et le développement d'autant d'autres fonctions du même ordre que l'équation a de racines, ce qui alonge considérablement le calcul. JNotre méthode est indépendante de ces fonctions auxiliaires ^ et conduit directement aux expressions les plus simples des racines.
