CHAPITRE I
Classification des équations numériques.
38. La classification des équations numériques résulte de la nature de la fonction représentée par le premier membre, le second membre étant zéro.
Lorsque le premier membre est une fonction algébrique à laquelle on peut donner la forme d’une fonction entière, en chassant les dénominateurs et faisant disparaître les radicaux , les propriétés générales caractéristiques de ces fonctions conduisent à des moyens spéciaux de découvrir, soit directement, soit indirectement, les valeurs de la variable pour lesquelles ces fonctions deviennent milles. Ces valeurs sont ce que l’on nomme les racines de l’équation. Nous appellerons équation algébrique une équation dont le premier membre est une fonction rationnelle et entière de l’inconnue. La difficulté de résoudre l’équation étant jusqu’à un certain point liée à son degré , il y a lieu de diviser les équations algébriques en deux classes : les équations de degré inférieur au cinquième , dont les racines peuvent être calculées directement en fonction des coefficients, et les équations de degré supérieur au cinquième inclusivement, dont les racines ne peuvent être trouvées qu’indirecternent, en s’appuyant sur l’étude faite plus haut des fonctions entières (')
Lorsque le premier membre d’une équation renferme des
I . M. Hermite a montré qu’on peut résoudre directement les équations du à’ degré à l’aide des fonctions elliptiques.
fonctions transcendantes, l’équation est dite transcendante. On ne peut alors avoir recours qu’à un petit nombre de propriétés communes à toutes les fonctions continues pour rechercher ses racines. Il en est de même lorsque le premier membre est une fonction algébrique irrationnelle. De plus, tandis que le nombre des racines d’une équation algébrique est toujours limité, le nombre des racines d’une équation transcendante peut être infini; et s’il est limité, la liaison qui le fait dépendre du premier membre de l’équation est presque toujours impossible à découvrir.
La résolution de l’équation exige généralement une élude particulière, dont la difficulté dépend de la composition du premier membre.
Nous verrons cependant qu’on rencontre un grand nombre d’équations transcendantes aussi faciles à résoudre que les équations algébriques.
Théorèmes généraux sur la recherche des racines d’une équation quelconque.
Les propositions précédentes (Chap. II), appliquées au premier membre d’une équation , lorsque la fonction qui le compose est continue, prennent la forme suivante:
39. Si deux nombres a, fl, substitués dans le 'premier membre (Hune équation, donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent une ou un nombre impair de racines. Et réciproquement (§ 25).
Si deux nombres a, (3, substitués dans le premier membre d’une équation , donnent des résultats de même signe , ils comprennent un nombre pair de racines ou n’en comprennent aucune. Et réciproquement (§ 26).
40. Entre deux racines d’une équation, il y a au moins une racine de l’équation obtenue en égalant à zéro la dérivée du premier membre (§ 28).
41. Si une équation on racines égales, lu dérivée aura n — 1 racines égales.
Los propriétés précédentes sont indépendantes de la forme de l’équation. Celles qui suivent sont particulières aux équations algébriques.
Propositions particulières aux équations algébriques.
42. Toute équation de degré impair a au moins une racine de signe contraire à son dernier terme.
43. Toute équation de degré pair, dont le dernier tei'me est négatif, a au moins deux racines réelles, l’une positive, l’autre négative.
44. Une équation algébrique ne peut avoir de racines en dehors de l'intervalle de deux nombres que l’on peut détermine)' a priori (§ 62) et que l’on nomme limites des racines.
45. Une équation du degré m n’a pas plus de m racines (§ 29).
De plus, la règle de Descartes assigne une limite au nombre des racines positives. Si on désigne par le nom de variation la succession de deux signes différents dans le premier membre d’une équation ordonnée, la règle consiste en ce que:
46. Le nombre des racines positives d’une équation ne peut surpasser le nombre des variations que présente le premier membre, et la différence de ces deux nombres est paire.
Il en résulte immédiatement (§ 57) que :
Le nombre des racines négatives ne peut dépasser le nombre des variations de l’équation obtenue en changeant x en — x, et la différence est paire. Ainsi l’équation x' — 4 x' + x 3 — 2 = 0
n’a pas plus de trois racines positives, et si elle en a moins de trois, elle n’en a qu’une. En changeant a; en — x, on a
— æ’ — Ax* — x 3 — 2;
il n’y a aucune variation , l’équation proposée n’a pas de racines négatives.
