DE L'EMPLOI DES COURBES A LA SÉPARATION DES RACINES D UNE

Principes de la méthode.

118. Nous avons vu comment, par le secours seul de l’algèbre, on parvenait d’une maniè.re certaine à séparer les racines

d’une équation algébrique dans tous les cas qui peuvent se présenter, et que les procédés de séparation des racines d’une équation transcendante étaient insuffisants. Nous allons voir maintenant que dans des cas particuliers nombreux on peut employer utilement des constructions graphiques. Ces constructions, en général, non-seulement faciliteront la séparation des racines, mais les feront en même temps connaître avec une approximation suffisante, ou du moins assez grande pour que les méthodes de correction puissent être immédiatement appliquées aux valeurs trouvées.

il 4. Principe de la méthode. L’emploi des courbes repose sur la proposition suivante.

Une équation quelconque à une seule inconnue x peut toujours être considè'ée comme résultant de l'élimination d’une mitre variable y, entre deux équations renfermant x et y.

Nous avons déjà considéré, en effet, les racines d’une équation f (x) = 0 comme étant les abscisses des points d’intersection des deux courbes

y = f{x) cl y — 0,

ce qui revient à dire que l’équation f (x) = 0 a été regardée comme le résultat de l’élimination de y entre les deux équations ci-dessus.

La courbe y = f (x) n’étant pas connue a priori, le tracé de cette courbe équivaut à l’étude de la fonction f ( x); la première question est complètement identique avec la seconde, et la nouvelle manière d’envisager la recherche des racines de f (x) — 0 n’en diminue pas la difficulté.

Mais il n’en sera pas de même si l’on établit une relation choisie entre la variable y et une partie des fonctions qui entrent dans l’équation. Pour bien le faire comprendre, soit à trouver les racines de l’équation

(t) ax — sinx-+-à = 0.

Si nous établissons entre y et x la relation (2) // = sina:,

l’équation (I) pourra être considérée comme résultant de l’élimination de y entre l’équation (2) et celle que l’on obtient en remplaçant dans (1) sin# par y, ce qui donne

(3) y — ax + b.

Imaginons que nous construisions ces deux courbes dont la marche est cônnue. Nous verrous sur la ligure qu’elles se coupent en divers points; soit M l’un de ces points. Pour le point M l’ordonnée y est la même sur les deux courbes, en sorte que l’abscisse de ce point satisfait à l’équation (1) obtenue en égalant les valeurs de y, c’est-à-dire en éliminant y entre les deux équations (2) et (3). Ce raisonnement est. général.

115. Des conditions dans lesquelles il convient de considérer les racines d’une équation comme les abscisses des points d’intersection de deux courbes.

Nous venons de voir comment le tracé d’une courbe inconnue y — ax — sina; 4- b avait été remplacé, pour la recherche qui nous occupe par le tracé de deux courbes, dont l’une, y = sina;, peut-être considérée comme connue et, en outre, ne dépend pas des paramètres variables qui entrent dans l’équation proposée, et dont l’autre est une ligne droite facile à construire. On devra recourir aux courbes dans tous les cas analogues, et comme on peut d’une infinité de manière choisir deux courbes qui, par leur intersection, font connaître les racines d’une équation donnée, il est bon de formuler une règle (fui limite le choix que l’on peut faire.

116. Du choix des courbes à employer. Etant donnée une équation f ( x ) — 0, on établira entre la variable y ou une fonction de y et une partie des fonctions qui entrent dans l’équation une relation y = ç (x) ou ç (x , y) = 0 , telle que la courbe représentée par cette équation soit facile à construire, et telle , en outre , qu’en mettant y à la place de ç (x) dans f (x), on ait aussi une courbe y = F (*) ou F (x, y) = 0 qui puisse être aisément tracée.

Il semble que ces conditions complexes doivent rendre trèsrare l’application de la méthode ; nous verrons plus loin que les cas où elle peut être employée sont cependant très-fréquents.

117. Avantage de l’emploi des courbes. L’emploi des courbeë peut conduire à une séparation certaine des racines d’une équation f (x) — 0 quand la construction de la courbe y = f (x) laisse de l’incertitude sur l’existence des racines dans un certain intervalle.

On conçoit, en effet, que les deux courbes choisies se coupent en des points dont les abscisses soient très-voisines, sans que les points d’intersection soient voisins et, par suite, sans qu’il y ait en général de doute sur leur existence. Les points d’intersection peuvent même être voisins, et néanmoins déterminés d’une manière certaine; il suffit, en effet, qu’en ces points les tangentes aux deux courbes fassent un angle assez grand. On en verra des exemples dans les applications. (Voir §S 129, 130.)

118. Courbes à construire. Pour que la méthode exposée soit prompte et d’un emploi commode , il faut construire d’avance certaines courbes dont le nombre est assez limité , eu égard aux fonctions que l’on rencontre dans les équations. Nous verrons qu’en traçant d’avance les deux courbes

H = x' et ij — a - 3

on pourra construire les racines d’une équation algébrique jusqu’au sixième degré inclusivement, en employant comme seconde courbe une courbe variable du premier ou du second degré.

Dans les cas rares où l’on a à résoudre une équation de degré supérieur au sixième, il faudra avoir recours à des courbes de degré plus élevé.

Dans les équations transcendantes on rencontrera ordinairement, outre les fonctions algébriques x, x \ x*..., les transcendantes sin.r, cos.r, tg.r, e T , C -+- e~ x , e* — c -r , Ix. Nous

supposerons donc construites les courbes (|ui représentent ces fonctions et leurs inverses

x ’ x* ’ x 3 ’ sinx ’ cosx ’ tgx ’ e x ’ e x e~ x ’ l* ’

119. Degré de l’ approximation avec laquelle on obtient les racines dans le tracé des courbes. La plupart des courbes pourront être construites en prenant cinq centimètres pour unité ; ce choix est fixé par la nécessité de pouvoir mesurer à partir de l’origine des abscisses suffisamment grandes et de faire en même temps cette mesure avec assez de précision. D’après cela un demi -millimètre représentera un centième. On peut admettre que les erreurs d’un tracé, fait avec soin sur le papier, seront inférieures à celte limite, et, par conséquent, dans les cas les plus ordinaires on aura chaque racine environ à moins d’un centième. Toutefois, si les courbes se coupent fort obliquement, on pourra commettre une erreur plus grande; si elle pouvait dépasser cinq millimètres ou un dixième , le choix des courbes serait défectueux.

120. Du tracé graphique. Toutes les fois que l’on aura une courbe à tracer, il conviendra de le faire d’abord d’une manière grossière et sans aucune précision pour reconnaître sa marche , et on ne fera un tracé précis que dans les environs des points où Ton estime que l’intersection aura lieu.

121. Inconvénients de cette méthode; comment on peut les éviter. Nous avons déjà dit que la méthode graphique n’était pas toujours avantageuse ; mais dans les cas mêmes où elle peut s’appliquer, il arrivera que cette application ne pourra se faire à l’aide des courbes tracées à l’avance, parce que la grandeur des racines dépassera les limites de l’épure. Il faudra dans ce cas construire tout exprès une figure à une échelle moindre, ce qui diminuera la précision des résultats tout en augmentant la longueur des opérations, ou bien on changera l’inconnue en liant sa valeur à celle d’un autre z, qui pour chaque valeur de x prendra une valeur moindre, et on remplacera dans l’équation x en fonction de z.

Enfin, la méthode exige quelquefois, pour rendre son application facile , des transformations préliminaires. (Exemple , § 135, 148.)

Construction des racines d’une équation algébrique.