OOS.T = — I , COS X
Les valeurs de x ne sont pas comprises entre ^ et ^ > donc
l’équation proposée n’a qu’une racine positive. Et l’on voit aussi qu’elle a une racine négative égale à la première et de signe contraire.
HO. Exemple II. Séparer les racines de l’équation
On peut l’écrire
1 , COS
\gx = 0.
CO
2 sin : ^ — xlgx — 0.
On voit qu’elle n’a pas de racines négatives, car 1g* serait imaginaire ; elle n’a pas non plus de racines positives inférieures à 1 , car tant que x est moindre que 1, lg* est négatif ; x croissant à partir de 1 , valeur pour laquelle le premier membre est positif, la fonction *lg* est continuellement positive et
croissante, tandis que 2sin ! ^x, d’abord supérieur à*lg* et
croissant, décroit ensuite; x atteint donc une valeur pour laquelle les deux fonctions sont égales. Cette valeur est unique. En effet, la dérivée du premier membre
sin x — - lg* — M,
positive pour x = 1 , s’annule ensuite , puis devient négative indéfiniment; donc la fonction, d’abord croissante, atteint un maximum, puis décroit constamment et, par conséquent, ne
peut s’annuler qu’une fois , et on voit aisément que tc et donnent des résultats de signes contraires , la racine est donc comprise entre tc et
111. Exemple III. Trouver les racines de l’équation 2* — x tg x — 0.
Quand x varie de h x à kn
TC
Ig* est positive et prend
toutes les valeurs de 0 à l’infini ; il y a donc dans ret intervalle une valeur du produit xtgx qui est égale à 2 X , donc l’équation a une infinité de racines positives; de même, 1 équation a une infinité de racines négatives dans chaque intervalle de — kn à
— ^kiz -+- La séparation des racines est toute faite , puisqu'il
s’en trouve toujours une et une seule dans les intervalles considérés.
112. Exemple IV. On rencontre dans la théorie des machines à vapeur réquation
dans laquelle a désigne un nombre variable entre 0 et I .
Il est aisé de voir qu’elle a deux racines , l’une plus petite que 1 et l’autre plus grande que 1. En effet, x = 0 donne un résultat négatif, x = 1 , donne 1 — o, qui est positif, et pour une valeur de x, suffisamment grande, on a encore un résultat négatif, car ax croît beaucoup plus rapidement que Ix. D’ailleurs l’équation n’a pas plus de deux racines , car l’équation dérivée
n’en a qu’une.
Ces exemples suffisent pour montrer comment on dévia procéder sur d’autres; nous verrons plus loin comment le tracé de courbes peut souvent faciliter le§ considérations dont on a fait usage.
