X -h p -t- qy = O

Lorsque l’équation est complète

x 3 -t- kx'- Ba: C = 0,

on trouvera ses racines à l’aide des courbes

y = x', xy ky -t- Ba: C = 0.

La première est construite, la seconde est une hyperbole dont les asymptotes x = — A , y = — B peuvent être immédiatement tracées et donnent le moyen de construire l’hyperbole par points à l’aide de cette propriété bien connue : les portions d’une sécante comprise entre une hyperbole et ses asymptotes sont égales. 11 en résulte qu’en déterminant un point de la courbe à l’aide de son équation, on pourra en déterminer graphiquement une infinité d’autres.

123. Equation du quatrième degré. Soit à construire les racines de l’équation

x' -+- A.x* -4- Bx* -+- Cx + D = 0.

A la courbe

on joindra l’hyperbole

xy -h Bæ* ky -+- Cx -f- D = 0,

que l’on construira , comme l’on vient de le dire , à l’aide des asymptotes, dont les équations sont

x = — A y = — Bæ + AB — C.

124. Détermination des racines d’une équation du troisième ou du quatrième degré à l’aide d’une parabole et d’un cercle.

Écrivons l’équation du quatrième degré sous la forme

et posons

à cette équation il faudra joindre

(3) ÿ' ^ B 1 x 1 — f- Cx 4- ü = 0.

Nous allons remplacer cette équation par une combinaison des deux dernières, obtenue en multipliant l’équation (2) par A s

B — j- — 1 et ajoutant membre à membre avec (3), ce qui donne

équation d’un cercle (jui , joint à la parabole représentée par l’équation (2) , détermine les racines cherchées.

Gette méthode a l’inconvénient d’obliger à construire les deux courbes, puisque leurs équations renferment toutes deux des paramètres variables. Ou bien on devra faire disparaître le

second terme (§ 58). Si le second terme manque , faisons dans les équations ci-dessus

et on aura pour déterminer les racines de l’équation : x* -4- px' -(- qx + r = 0 la parabole constante

d’une part, et d’autre part un cercle dont le centre a pour coordonnées

et dont le rayon a pour valeur

R = \ t /f+(r—iy—4r.

Si dans les calculs précédents on suppose r = 0 et si on néglige la racine x = 0 que l’on obtient, on aura par les mêmes constructions les racines de l’équation du troisième degré x 3 px -f- g = 0.

125. Équation du cinquième et du sixième degré. Si dans l’équation du sixième degré on fait disparaître le second terme (S 58), on a:'

x' -f- P x' qx 3 + rx ' -t- sx + t = 0 et on pourra construire ses racines à l’aide de la courbe constante

et d’une courbe du second degré

y 3 + pxy + rx' + qy sx + t = 0.

Dans ces équations faisons / = 0 et négligeons la racine x — 0, nous obtiendrons par les mêmes moyens les racines de l’équation du cinquième degré

x 3 + px? qx' + rx -j- s = 0.

1 26. Exemple I. Construire les racines de l’équation

Sur l’épure où l’on a tracé y = x ’, je construis la droite y — 1,512« 0,476.

en ayant soin de prendre la même unité que dans la ligure déjà construite. On obtient une figure semblable à celle qui

est ici tracée. En mesurant les distances des points A , B , C à

, . 1 l’axe des y, on a pour les trois racines, et environ à un

près, les nombres 1,36, — 0,34, — 1,02.